合肥皖智高复学校2020届高三上学期第三次半月考数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合{}(){}0,1,2,,210x-2y-1MN x y x y ==-+≥≤∈且0，x,y M ，则N 中的元素个数为（ ）A.9B.6C.4D.2 2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+ B ．2y x =- C ．1y x= D ．||y x x = 3.函数33()11f x x x =++-,则下列坐标表示的点一定在函数f (x )图象上的是（ ）A ．(,())a f a --B ．(,())a f a -C ．(,())a f a -D ．(,())a f a --- 4．若ab c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( ) A. (),b c 和(),c +∞内 B.(),a -∞和(),a b 内 C.(),a b 和(),b c 内 D.(),a -∞和(),c +∞内5．如图是导函数y=f′（x ）的图象，则下列命题错误的是（ ）A ． 导函数y=f′（x ）在x=x 1处有极小值B ． 导函数y=f′（x ）在x=x 2处有极大值C ． 函数y=f （x ）在x=x 3处有极小值D ． 函数y=f （x ）在x=x 4处有极小值6．若曲线()cos f x a x =与曲线2()1g x x bx =++在交点(0,)m 处有公切线， 则a b += ( )A ．1-B ．0C ．1D ．2 7．将函数x x y sin cos 3+=的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A.12π B.6π C.3π D.65π 8．已知函数00,4,4)(22<≥⎩⎨⎧---=x x x x x x x f ，若()2()0f a f a -+>，则实数a 的取值范围是( )A ．13a <-- 或13a >-+B ．1>aC ．33a <- 或 33a >+D ．1<a9. 函数()f x 的定义域为D ，若对任意12,x x D ∈且12x x ≤，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-，则1138f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于（ ） A.34 B. 12 C. 1 D.2310．已知f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足xf′（x ）﹣f （x ）≥0，对任意正数a ，b ，若a ＞b ，则必有（ ） A ． a f （a ）≤bf（b ） B ． b f （b ）≤af（a ） C ． a f （b ）≤bf（a ） D ． b f （a ）≤af（b ）第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在答题卡上。

11.若周期为2的函数f （x ）满足当x ∈[1，3]时，，且，则ab 的值为 ．12.设当x θ=时，函数x x x f cos 2sin )(+=取得最大值，则cos θ= ．13．设22cos sin 0,0,,x ya x yb x yθθ>>=+=⋅，则a 与b 的大小关系是 ．14. 方程x 3－3x ＝k 有3个不等的实根, 则常数k 的取值范围是 .15. 关于函数)0(||1lg )(2≠+=x x x x f ，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ③f (x )的最小值是lg 2；④f (x )在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是． ．三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分） 设函数)0π( )2sin()(<<-+=ϕϕx x f ，)(x f y =图像的一条对称轴是直线8π=x ．（1）求ϕ及函数)(x f y =的单调增区间（2）证明：直线025=+-cy x 与函数)(x f y =的图像不相切．17．（本小题满分12分）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x≤0时，f （x ）=x 2+2x ．现已画出函数f （x ）在y 轴左侧的图象，如图所示，并根据图象 （1）写出函数f （x ）（x ∈R ）的增区间； （2）写出函数f （x ）（x ∈R ）的解析式；（3）若函数g （x ）=f （x ）﹣2ax+2（x ∈[1，2]），求函数g （x ）的最小值．18．（本小题满分12分）某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A 处的救生员发现海中B 处有人求救，救生员没有直接从A 处游向B 处，而是沿岸边自A 跑到距离B 最近的D 处，然后游向B 处。

若救生员在岸边的行进速度是6米/秒，在海中的行进速度是2米/秒。

（不考虑水流速度等因素） （1）请分析救生员的选择是否正确；（2）在AD 上找一点C ，使救生员从A 到B 的时间最短， 并求出最短时间.19. （本小题满分12分） 设正有理数x 是3的一个近似值，令xy ++=121． （Ⅰ）若3>x，求证：<y 3；（Ⅱ）求证：y 比x 更接近于320．（本小题满分13分） 设()ln(1)f x x ax =++（a R ∈且0a ≠）．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若1a =，证明：(0,5)x ∈时，9()1xf x x <+成立． 21．（本小题满分14分） 已知函数2()ln(1)1xf x a x x -=+--（a R ∈）．（1）若函数()f x 在区间[2,)+∞上是单调递增函数，试求实数a 的取值范围； （2）当2a =时，求证：112ln(1)241x x x -<-<--（2x >）； （3）求证：11111...ln 1 (46221)n n n +++<<+++-（*n N ∈且2n ≥）．数学试卷（理科）参考答案 C D B C C C B D A C 11. 24 12.552 13. a b > 14. -2<k<2 15. ①③④ 16.解：（Ⅰ）∵8π=x 是函数y=f （x ）的图象的对称轴，∴1)82sin(±=+⨯ϕπ，∴Z k k ∈+=+,24ππϕπ， ……………2分∵0<<ϕπ，∴43πϕ-=。

……………4分 ∴)432sin(π-=x y 。

由题意得Z k k x k ∈+≤-≤-,2243222πππππ，所以函数)432sin(π-=x y 的单调增区间为Z k k k ∈++],85,8[ππππ。

………7分（Ⅱ）证明：∵｜/y ｜=|（/))432sin(π-x |=|)432cos(2π-x |≤2所以曲线y=f （x ）的切线的斜率取值范围是[-2,2]， ……………10分 而直线5x -2y+c ＝0的斜率为25＞2， 所以直线5x-2y+c ＝0与函数)432sin(π-=x y 的图象不相切。

……………12分 17 解：（1）如图，根据偶函数的图象关于y 轴对称，可作出f （x ）的图象，（2分），则f （x ）的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）；（4分）（2）令x ＞0，则﹣x ＜0，∴f （﹣x ）=x 2﹣2x ∵函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，∴f （x ）=f （﹣x ）=x 2﹣2x ∴解析式为f （x ）=（9分）（3）g （x ）=x 2﹣2x ﹣2ax+2，对称轴为x=a+1， 当a+1≤1时，g （1）=1﹣2a 为最小；当1＜a+1≤2时，g （a+1）=﹣a 2﹣2a+1为最小； 当a+1＞2时，g （2）=2﹣4a 为最小； ∴g （x）=．18. 解析：（1）从A 处游向B 处的时间)(2150223001s t ==， 而沿岸边自A 跑到距离B 最近的D 处，然后游向B 处的时间)(200230063002s t =+=而2002150>，所以救生员的选择是正确的. ……4分 （2）设CD=x ，则AC=300-x,22300x BC +=，使救生员从A 经C 到B 的时间3000,2300630022≤≤++-=x x x t ……………………6分290000261xx t ++-='，令275,0=='x t又0,300275;0,2750>'<<<'<<t x t x ， ……………………9分 知)(210050,275min s t x +== ……………………11分 答：（略） …………………12分19.证明：（I ）xx x x x x y +--=+-+-=-++=-1)3)(31(133331213 ∵x 3>，∴03>-x ，而031<-，∴<y 3； ………………（6分） （II ）∵|3|1)3)(31(|3||3|--+--=---x xx x y)123(|3|)1113(|3|xxx x x +---=-+--=， ∵0>x ，023<-，0|3|>-x ，∴0|3||3|<---x y ，即|3||3|-<-x y ，∴y 比x 更接近于3． ………………（6分） 20．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，1()1f x a x '=++， 当0a >时，()0f x '>，∴函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数；当0a <时，1()1ax a f x x ++'=+，又11a a+->-；由()0f x '>得，11a x a +-<<-；由()0f x '<得，1a x a+>-∴函数()f x 在1(1,)a a +--上是增函数；在1(,)a a+-+∞上是减函数．………4分（Ⅱ）当1a =时，()ln(1)f x x x =++， 要证(0,5)x ∈时9()1xf x x <+成立，由于10x +>， ∴只需证2(1)ln(1)80x x x x +++-<在(0,5)x ∈时恒成立， 令2()(1)ln(1)8g x x x x x =+++-，则()ln(1)27g x x x '=++- 设()ln(1)27h x x x =++-，1()201h x x '=+>+，(0,5)x ∈ ∴()g x '在(0,5)上单调递增，∴(0)()(5)g g x g '''<<，即7()ln 63g x '-<<+； 即0(0,5)x ∃∈，使()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,5)x 上单调递增， 而2(0)0,(5)6ln 6156ln 1562150g g e ==-<-=⨯-<，∴当(0,5)x ∈时，2(1)ln(1)80x x x x +++-<恒成立，即原命题得证．………12分21． （1）因为'2(1)1()(1)a x f x x --=-，若函数()f x 在区间[2,)+∞上是单调递增函数，则' ()0f x ≥ 恒成立，即11a x ≥-恒成立，所以max 1()1a x ≥-． 又[2,)x ∈+∞，则1011x <≤-，所以1a ≥．（2）当2a =时，由（Ⅰ）知函数2()2ln(1)1xf x x x -=+--在[2,)+∞上是增函数，所以当2x >时，()(2)f x f >，即22ln(1)01x x x -+->-，则212ln(1)111x x x x -->=---．令()242ln(1)g x x x =---，则有'22(2)()211x g x x x -=-=--， 当(2,)x ∈+∞时，有'()0g x >，因此()242ln(1)g x x x =---在(2,)+∞上是增函数，所以有()(2)0g x g >=，即可得到242ln(1)x x ->-．综上有112ln(1)241x x x -<-<--（2x >）． （3）在（2）的结论中令11t x t+-=，则1112ln 21t t t t +<<⋅+，取*1,2,,1,(,2)t n n N n =-∈≥L 时，得到(1)n -个不等式，将所得各不等式相加得，1112311...2(ln ln ...ln )2(1...)2312121n n n n +++<+++<+++--， 所以11111...2ln 2(1...)2321n n n +++<<+++-，即11111...ln 1 (46221)n n n +++<<+++-（*n N ∈且2n ≥）。