分析：因为三个向量的模 均为1，且已知 OA 与 OB 的夹角，所以，本题可 以考虑利用向量数量积 将向量转化为实数，同 时可将 x y 用三角函数 表示出来，解答如下：
B C
O
A
OC OA xOAOA yOBOA 设AOC ，则有 OC OB xOAOB yOBOB
x y ，得
2 3 2 2 ka (t 3t )b (t kt 3k )a =0， b
∴



t 3 3t 则有 k 4 k t2 1 2 则 t 4 (t 4t 3)
=
则当 t
k t2 =-2时， t
1 7 2 (t 2) 4 4
b （4）非零向量 a b a 0 x1x2 y1 y2 = 0 （注意与向量共线的坐标表示区别）
5.平面向量数量积的应用 （1）把几何学问题转化为向量问题 ：如利 用向量证明平面几何问题；直线的方向向 量等 （2）把物理学问题转化为向量问题 ：数学 中的向量就是物理中的矢量，所以利用向 量可以解决物理学问题
例二.（数量积一第15题第2问）
u r u r u r 已知 | a | 3,| b | 4, 且向量a u r 与 b 的夹角为 60 ，试
u u r r u u r r ka 2b ）与（ 4a 3b ）
求 k 的取值集合，使（ 的夹角为钝角
a 分析：两向量 a, b 的夹角公式为 cos a, b b
例六 .向量应用第15题 给定两个长度为1的平面向量OA 和 OB ，它们 120o. 如图所示，点 C 在以 O 为圆心 的夹角为 的圆弧 AB 上变动.若 OC xOA yOB其中 x, y R , 求 x y 的最大值 .
2 2 即 4ka 6b 3k 8 ab 0且 k ≠ 1 4k 9 6 16 (3k 8) 3 4 0 且 2
∴
8 k 且 3
k
8 3
≠
8 3
k
≠
8 3
思考：两向量夹角是锐角的等价条件是什么？
小结：解题时若计算复杂则容易出错，大家要善于 化繁为简，有时，稍作变动就能大大简化计算， 使问题得以更好的解决.

=1-
c
b a
1 2
思考：设向量 a, b 是两个互相垂直的单位向 量，若向量 c 满足 a c b c =0，求 c 的最
大值.
答案： 2

小结：将题给条件稍作变化，就能得到一个与原 题类似的问题，且所用知识点也大致相同，大 家平时在学习时不妨用这个方法给自己出出题， 以更好的理解知识点.


t ，使
的
得 x a t 3 b, y ka tb ，且 x
2
k t2 y ，试求 t
最小值。
分析：本题是涉及两个字母的最值问题，且不 可用基本不等式，所以考虑利用等量关系互相表 示，转变为关于其中一个字母的函数来处理 .
解答如下:
a a 由条件得： 2, b 1 ，b 0 ，由 2 a t 3 b ka tb =0，即
ab
则当两向量的夹角为钝角时有-1< cos a, b
<0
解右边不等式可得 a b <0,但左边不等式解
答比较复杂，所以，我们可以考虑在余 弦小于0的情况下去掉夹角为180度的情 况，即去掉两向量平行的情况，所以本 题的解答如下：
u r u r u u r r 由题意： u ka 2b ）（ 4a 3b）<0 （ u r r u u r r 且（ka 2b ）与（ 4a 3b ）不平行
4
6
解法二（几何方法） 如图，用 OB 表示 b ， 以O为圆心，2为半径作 圆，则2 a 可看成以O为 起点，终点在圆O上的 向量，由向量减法的几 何意义可知答案为4
y
o
B
x
小结：向量有数和形两种表示方法，有时，数形结合 可使问题的解决更加方便
例四.数量积二第15题
1 3 a 已知： 3, 1 , b 2 , 2 ，存在实数 k 和
1．定义：平面内两个非零向量的数量积（内 积）的定义 a b = a b cos R 向量夹角的概念：平移两个非零向量使它 们起点重合，所成图形中0≤≤180的角称 为两个向量的夹角 规定 0 与任何向量的数量积为0
2．向量的数量积的几何意义：数量积a b等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 b cos 的乘积 3．两个向量的数量积的性质： 设 a ，b 为两个非零向量，e 是单位向量， 是 a 与其它向量的夹角 （1） ea ae a cos ； b （2） a b a 0 ； 2 a （3） 特别的 a | a | 或 | a | a a ； a （4） cos = b ；
例一 .(数量积一第9题) 求
设向量 a ，b ，c 是单位向量，且 a b=0 ，


2 cos a b, c
ac bc
的最小值
解： a c b c
2 = ab (a b)c c
平面向量数量积是高考的重点考察内 容，直接考察的是数量积的概念、运 算律、性质，向量的平行、垂直，向 量的夹角与模等，主要以填空题的形 式出现，在解题时除了要熟练掌握基 本知识外，也要注重利用数形结合解 决问题。
例三. 数量积二第10题 的最大值.
已知向量 a = cos ,sin ，向
解法一（代数方法）
2 2 2a b 4a b 4a b
4 4 4( 3 cos sin ) 8 4 2cos( )
即
1 cos x y 2 ，则 2 1 cos( ) x y 3 2
2 x y 2 cos cos( ) cos 3sin 2sin( ) 2 3 6
小结：向量的数量积是联系向量与实数的纽带，利用 向量的数量积是一个实数，可以将向量问题转化为 实数计算，从而有利于问题的解决.
有最小值
7 4
小结：有一些解答题看似字母比较多，比较复杂， 但如果耐心将题目看完，将题给的每个条件都 稍作化简，联系“已知的是什么?”,“所求的是 什么？”，“中间搭哪一座桥？”，很多问题 都会变得清晰明了，从而迎刃而解了.本题涉及 关于两个字母的表达式的最值问题，这类问题 往往从（1）基本不等式（2）等量代换这两个 方面去考虑.
| a || b |
4.平面向量数量积的坐标表示： （1） （1）设 a x1 , y1 , b x2 , y2 则 a b= x1 x2 y1 y2 2 x, y ） a = x2 y 2 （2） a =（
x1x2 y1 y2 a b （3） cos = = 2 2 2 2 x1 y1 x2 y2 | a || b |
向量数量积的最小值问题，
解答如下：
由基本不等式，得 OAOM 所以，所求最小值为-2
OA(OB OC) =2 OAOM =-2 OAOM 2 OA OM
4
=1 ,
小结：因为向量加法有平行四边形法则，所以进行向 量运算时要充分利用这一点来简化问题，从而有利 于计算.
例五 .向量应用第10题
O 在 ABC 中， 为中线 AM 上的一个动点，若 AM =2，求 OA(OB OC) 的最小值
分析：如图，因为 M 为 BC
A
的中点，所以OB OC 2OM ,
则本题可转化成两个反向
O B M C