第二十五讲 平面向量的数量积一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．设i ，j 是互相垂直的单位向量，向量a ＝(m ＋1)i －3j ，b ＝i ＋(m －1)j ，(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m 的值为( )A ．－2B ．2C ．－12D ．不存在解析：由题设知：a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，∴a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－m －2)．∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，∴m (m ＋2)＋(m －4)(－m －2)＝0，解之得m ＝－2.故应选A.答案：A2．设a ，b 是非零向量，若函数f (x )＝(xa ＋b )·(a －xb )的图象是一条直线，则必有() A ．a ⊥b B ．a ∥bC ．|a |＝|b |D ．|a |≠|b |解析：f (x )＝(xa ＋b )·(a －xb )的图象是一条直线，即f (x )的表达式是关于x 的一次函数．而(xa ＋b )·(a －xb )＝x |a |2－x 2a ·b ＋a ·b －x |b |2，故a ·b ＝0，又∵a ，b 为非零向量，∴a ⊥b ，故应选A.答案：A3．向量a ＝(－1,1)，且a 与a ＋2b 方向相同，则a ·b 的范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－1,1)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，1)解析：∵a 与a ＋2b 同向，∴可设a ＋2b ＝λa (λ>0)，则有b ＝λ－12a ，又∵|a |＝12＋12＝2，∴a ·b ＝λ－12·|a |2＝λ－12×2＝λ－1>－1，∴a ·b 的范围是(－1，＋∞)，故应选C.答案：C4．已知△ABC 中，,,A B a A C b == a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150°解析：∵S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12，又a ·b <0，∴∠BAC 为钝角，∴∠BAC ＝150°.答案：C5．(2010·辽宁)平面上O ，A ，B 三点不共线，设,,O A a O B b == 则△OAB 的面积等于() A.|a |2|b |2－(a ·b )2 B.|a |2|b |2＋(a ·b )2 C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |， sin ∠AOB ＝1－cos 2〈a ，b 〉＝1－⎝⎛⎭⎫a ·b |a |·|b |2，所以S △OAB ＝12|a ||b |sin ∠AOB ＝12|a |2|b |2－(a ·b )2.答案：C6．(2010·湖南)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB AC 等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16解析：解法一：因为cos A ＝AC AB， 故||||AB AC AB AC = cos A ＝AC 2＝16，故选D.解法二：AB 在A C 上的投影为|AB |cos A ＝|A C |，故||||AB AC AC AB = cos A ＝AC 2＝16，故选D.答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．(2010·江西)已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是________． 解析：b 在a 上的投影是|b |cos 〈a ，b 〉＝2cos60°＝1.答案：18．(2010·浙江)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4α·β＋|β|2＝4＋2＋4＝10. 答案：109．已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，要使λb －a 与a 垂直，则λ＝________.解析：由λb －a 与a 垂直，(λb －a )·a ＝λa ·b －a 2＝0，所以λ＝2.答案：210．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则(O A O B O C + )的最小值是________． 解析：令|O M |＝x 且0≤x ≤2，则|O A |＝2－x .()2O A O B O C O A O M += ＝－2(2－x )x ＝2(x 2－2x )＝2(x －1)2－2≥－2.∴()O A O B O C + 的最小值为－2.答案：－2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，求使向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角是锐角的λ的取值范围．解：由|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，则a ·b ＝|a ||b |cos45°＝2×1×22＝1. 而(2a ＋λb )·(λa －3b )＝2λa 2－6a ·b ＋λ2a ·b －3λb 2＝λ2＋λ－6.设向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角为θ，则cos θ＝(2a ＋λb )·(λa －3b )|2a ＋λb ||λa －3b |>0，且cos θ≠1， ∴(2a ＋λb )·(λa －3b )>0，∴λ2＋λ－6>0，∴λ>2或λ<－3.假设cos θ＝1，则2a ＋λb ＝k (λa －3b )(k >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝kλ，λ＝－3k ，解得k 2＝－23故使向量2a ＋λb 和λa －3b 夹角为0°的λ不存在．所以当λ>2或λ<－3时，向量(2a ＋λb )与(λa －3b )的夹角是锐角．评析：由于两个非零向量a ，b 的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝a ·b |a ||b |去判断θ分五种情况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0且cos θ≠1，θ为锐角．12．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝⎝⎛⎭⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝⎛⎭⎫14＋34＝0，故a ＋b 与a －b 垂直．(2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a ·b ＋|b |2＝|a |2－23a ·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a ·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0，则⎝⎛⎭⎫－12·cos α＋32·sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°，即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.13．已知向量a ＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ，sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ， (1)求证：a ⊥b ；(2)若存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2＋3)b ，y ＝－ka ＋tb 满足x ⊥y ，试求此时k ＋t 2t 的最小值． 解：(1)证明：∵a ·b ＝cos(－θ)·cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋sin(－θ)·sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0. ∴a ⊥b .(2)由x ⊥y ，得x ·y ＝0，即[a ＋(t 2＋3)b ]·(－ka ＋tb )＝0，∴－ka 2＋(t 3＋3t )b 2＋[t －k (t 2＋3)]a ·b ＝0， ∴－k |a |2＋(t 3＋3t )|b |2＝0.又|a |2＝1，|b |2＝1，∴－k ＋t 3＋3t ＝0， ∴k ＝t 3＋3t ，∴k ＋t 2t ＝t 3＋t 2＋3t t ＝t 2＋t ＋3＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋114.故当t ＝－12时，k ＋t 2t 有最小值114.。