罗尔定理 若函数f ( x)满足: (1)在 闭 区间[a, b]上 连 续; (2)在开区 间(a, b)内 可 导;
(3)f (a) f (b),则在开区间(a, b)内至少存在一点 ,
使得 f ( ) 0.
注：(1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立.
y
y
y
1
O1
O 1x
1 O 1 x
基本思路是令待证等式中的常数为k，通过 恒等变形将含有的式子写成 F(a) F(b)的形式， 则 F( x)就是需要的辅助函数, 然后用罗尔定理 进行证明.
例5 设 f ( x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明
在(a,b)内至少存在一点 ,使得
bf (b) af (a) f ( ) f ( )
x
f ( x) x (0 x 1) f ( x) | x |, x [1,1] f ( x) x3, x [1,1]
(1),(2)满足 (3)不满足 结论不成立.
(1),(3)满足 (2)不满足 结论不成立.
(1),(2)满足 (3)不满足 结论成立.
例1. 验证函数 f ( x) x2 2x 3 在区间[1, 3] 上满足罗尔定理条件, 并求出一个 .
例6 设 f ( x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且 f (1) 0, 证明在(0,1)内至少存在一点 ,使得
分析: 问题转化为证 f ( ) 2 f ( ) 0, [ x2 f ( x)]x 0
证 设辅助函数 F(x) x2 f (x),
F ( x)在[0, 1]上用罗尔定理, (0,1) , 使得
至少存在一个 (介 于 x0 , x1 之 间), 使 得
f ( ) 0.
但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1))矛盾, 故假设不真！
有 唯 一 实 根.
例4 若 在[0, 1]上二阶可导, 且 F( x) xf ( x), 则在 内至少存在一点
使得 F ( ) 0.
f (x)
证设
f (x)
c0 x
c1 2
x2
cn n1
x n1 ,
f ( x)在[0,1]上连续, 在(0, 1)内可导,
且 f (0) f (1) 0,
由罗尔定理
在(0,1)内至少存在一个实根 , 使得 f ( ) 0,
即 c0 c1 cn n 0,
即 x 为所求实根.
例3. 证明方程x5 5x 1 0 有且仅有一个小于1 的 正 实 根.
f ( x) 在 以x0 , x1 为 端 点 的 区 间 上 满 足 罗尔 定 理
例3. 证明方程x5 5x 1 0 有且仅有一个小于1 的 正 实 根.
证: (2)唯一性
假 设 另 有x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x) 在 以x0 , x1 为 端 点 的 区 间 上 满 足 罗尔 定 理
证: (1)存在性
设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连 续,
且 f (0) 1, f (1) 3. 由零点定理 x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即方程有小于1的正实根. (2)唯一性
假 设 另 有x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0.
F ( ) 2 f ( ) 2 f ( ) 0
即有
x1 1, 取 1 (1,3) 符合要求. 即 f ( ) 0.
例2 设常数c0 , c1 , , cn 满足:
c0
c1 2
cn n1
0
试证方程 c0 c1x cn xn 0
在(0, 1)内至少存在一个实根.
分析： 注意到
c0
x
c1 2
x2
cn n1
xn1
c0 c1 x cn x n
(1) 若M m, 则x [a,b], f ( x) M ,
(a, b), 有 f ( ) 0.
(2) 若M m,则最大、最小值有一个在(a,b)内取得,
设 M f ( ), (a, b), 则x [a,b], f ( x) f ( ),
由费尔马引理 f ( ) 0.
推论: 可微函数 f ( x) 的任意两个零点之间至少有 f ( x) 的一个零点．
证 对 F ( x) xf ( x)在[0,1]上 使用罗尔定理,
1 (0,1), 使得 F (1 ) 0. F( x) f ( x) xf ( x), F(0) F(1 ) 0 对 F( x)在[0,1]上使用罗尔定理, (0,1) (0,1), 使得 F ( ) 0.
两种常用的构造辅助函数的方法： 1. 常数k 法构造函数
ba
2. 通过对待证等式的恒等变形寻找辅助函数
因为等式中出现的中值 一定是对某个函数 使用中值定理得到的, 因此, 可以首先把 还原为 x，
然后再观察所得函数是哪个函数的导数，这个函数 就是我们需要的辅助函数. 如果待证等式出现 f ( x)u( x) f ( x)v( x) 的形式，
则可以考虑形如 F( x) f ( x)g( x)的 (a) k, 整理得 bf (b) kb af (a) ka,
ba
证 设F ( x) xf ( x) kx，对 F ( x)在[a,b]上使用
罗尔定理, (a ,b), 使得 F( ) 0. 即 f ( ) f ' ( ) k 0， 故 bf (b) af (a) f ( ) f ( ).
解: (1) 验证定理的假设条件满足 因 为 f ( x) 在 [1,3] 上 连 续, 在(1,3)上 可 导,
又因为 f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1),
所以 f (1) f (3) 0, 所以满足罗尔定理条件. (2)结论正确
方程 f ( x) 0 即 f ( x) 2( x 1) 0, 有实根