令 L2 (R) 表示在实直线 R 上的可测函数空间，那么对于 L2 (R) 中的任意一个模拟信
号 x(t) 必是能量有限的，其标准的傅立叶变换：
FTx ()
x(t)e j tdt
给出了 x(t) 用范围，都有它的独特的特点和不足。傅立叶变换也 不例外，尽管它是一个可逆的变换，但是这是一个前提，即信号在任何时间上的表现都 是已知的。也就是说，对于时域信号而没有频率信息，而对于变换的结果又不包含时间
现如今，信号处理已经成为当代科学技术的重要组成部分。众所周知，信号处理的 目的是准确的分析、正确的诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确的重构或恢 复。而小波分析的许多应用都可以归结为信号处理的问题。目前，对于平稳的时不变信 号，处理的理想工具仍然是傅里叶分析。但是在实际应用中所遇到的信号绝大多数是非 平稳的，小波分析为分析这种非平稳信号提供了有效的处理工具。
第六章 小波分析的基本原理及其应用
6.1 引言 6.2 连续小波变换 6.3 离散小波变换 6.4 小波分析的应用
6.1 引言
小波分析是当前数学分析和信号处理领域中迅速发展起来的一套新理论、新方法， 至今才仅有十余年的历史。与传统的傅里叶(Fourier)变换、加窗傅里叶变换相比，小波 变换是一个时间和尺度上的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平 移等运算功能对函数或信号进行多尺度分析(Multiscale Analysis)，从而解决傅里叶变换 不能解决的许多问题。因此小波变换被誉为“数学显微镜”。
分辨率与频率分辨率之间的矛盾。根据海森堡的测不准原理, 我们不可能知道在任何一 个时刻存在何种频率分量，最多我们可以了解在某一个时间段上存在的频谱分量。对于
时间，我们可以准确地确定某一个时间点，但是频率则是另外的一个概念，它指的是在
一个时间段内，某一个量的变化次数，这从频率的定义中就可以看得到。
图 6.2.1 是在不同窗宽情况下对分段正弦信号采用短时傅立叶变换得到的结果，其
中图 6.2.1(d)给出了对应不同参数 a 的窗函数， wa (t) exp(at 2 2)， a 分别取为
0.01、0.001 和 0.0001，图 6.2.1(a)—(c)分别为对应于 a 0.01,0.001和0.0001三种不同
窗宽的短时傅立叶变换结果。通过对比我们可以看到：当采用短的窗函数时，得到的结 果具有较好的时间分辨率，而相应的频率分辨率则不高。随着采取的窗函数长度的增加， 窗函数的长度越长，则频率分辨率就会越高，而此时的时间分辨率则会相应地下降。
信息。因此，不能很容易地由 FTx () 得到关于高频脉冲的时间定位信息。而在工作中
希望能够同时得到信号的时间—频率的直观关系的想法是很自然的。
6.2.1 从短时傅里叶变换到小波变换
由第五章时频分析部分的介绍可知，短时傅里叶变换通过引入一个滑动的窗函数
w(t) ，然后对窗函数内的信号与窗函数的乘积进行傅里叶变换，再让窗函数沿时间轴移
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师 J. Morlet 在 1974 年首先提出 的，并且通过物理的直观和信号处理的实际需要经验地建立了反演公式。早在 20 世纪 70 年代，A. Calderon 表示定理的发现、Hardy 空间的原子分解和无条件基的深入研究都 为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且 J. O. Stromberg 还构造了历史上非常类似于 现在的小波基；1986 年，著名数学家 Y. Meyer 偶然构造出一个真正的小波基，并与 S. Mallat 合作建立了构造小波基与多尺度分析。之后，小波分析才蓬勃发展起来，其中， 比利时女数学家 I. Daubechies 撰写的《小波十讲》(Ten Lectures on Wavelets)对小波的普 及起了重要的推动作用。
小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。在许多学科领域， 如：信号分析、图像处理、量子力学、军事电子对抗与武器的智能化，计算机分类与识 别、数据压缩、医学成像与诊断、地震勘探数据处理、边缘检测、音乐与语音人工合成、
大型机械的故障诊断、大气与海洋波的分析、分形力学、流体湍流以及天体力学等方面， 都已获得了广泛的应用。其具体的应用实例包括：数学方面的数值分析、构造快速数值 方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等，信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、 传递等，图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断、去污等，医学成像方面的缩短 B 超、CT、核磁共振成像的时间以及提高分辨率，等等。
w(t) g (t) 2
1
t2
e 4
0
(6.2.3)
则此时窗口傅里叶变换演变成了戈伯(Gabor)变换：
GTx (t,Ω)
[
x(
)e
jΩ
]g (
t)d
(6.2.4)
不论是短时傅里叶变换还是戈伯变换，由于使用了一个可移动的时间窗函数，使其
具有了一定的时间分辨率。但是，它们还存在一些自身的问题，其中最主要的就是时间
在本章中，我们将简单介绍小波变换分析的原理与应用。
6.2 连续小波变换
工程应用领域对原始信号进行数学变换是一个为人熟悉的概念，变换的目的在于从 原始信号中得到更多的信息，而这些信息是原来的信号没有直接提供的。
到目前为止，已经有许多变换形式可以采用，其中最熟悉的莫过于傅立叶变换。实 际中的绝大多数信号是时间的函数，即可以采用时间作为自变量，而信号的幅度作为因 变量，但是这并不总是一个最好的表示方法，因为在很多场合中，信号最重要的信息隐 藏在它的频率分量里面。所以，需要用频谱的方式来表示一个信号内部的频率分量，这 就是傅立叶分析的思想所在。
动，就可得到信号频谱随时间变化的规律。
这样，信号 x(t) 对于给定的窗口函数 w(t) 的短时傅里叶变换：
STFTx (t,Ω)
x( )w( t)e j d
给出了信号 x(t) 的时间和频率的二维分布。
(6.2.2)
对于(6.2.2)式定义的短时傅里叶变换，如果取高斯(Gauss)函数作为窗函数，即