2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 考查方程组 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm （） 分析系数 1
其中 aij ( i 1,2,, m ；j 1,2,, n) 称为系数 ， bi ( i 1,2,, m ) 称为第 i 个方程的常数项 .
若常数项均为0，则称方程组为齐次线性方程组，
否则 ，称为非齐次线性方程组 .
2.
线性方程组的线性组合
线性方程的加法：将两个线性方程
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2
(1)
(2)
的左右两边相加得到如下的新线性方程：
a11 a12 x1 a12 a22 x2 a21 a2n xn b1 b2
称为原来两个线性方程的和。
线性方程乘常数 将线性方程
a1 x1 a2 x2 an xn b,
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
（） 分析系数 1 （ ） 化简 2 （ ） 化为阶梯型方程组： 3
c11 x1 c12 x 2 c1n x n d 1 c22 x 2 c2 n x n d 2 crr x r crn x n d r 0 d r 1 00 00 （I） 有 0 d r 1 , 而 d r 1 0 . 这时原方程组无解；
1a1n 2 a2n xn 1b1 2b2
(3)
称为原来两个方程(1)和(2)的一个 线性组合， 1 , 2 称为这个线性方程的组合系数。 将(1)和(2)看作一个线性方程组，其任意组解一定是 线性组合(3)的解。对给定的两个线性方程组(I)和(II)， 如果(II)中每个方程都是(I)中方程的线性组合，就称 (II)是(I)的线性组合。 若方程组(I)和(II)互为线性组合，则称这两个方程组 等价， 等价的线性方程组一定同解。 将方程组(I)变成 方程组(II)的过程称为同解变换。
（） 分析系数 1
ai1 （ ） 化简：利用初等变换（ 2 3 ），分别把第一个方程 的 倍 a11 加到第 i 个方程 ，则方程组可以变成：
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a m 2 x 2 a mn x n bm
1 2
3
( B1 )
4 1 2
3
2 3 4
21 31

3
( B2 )
4
1 2 2 3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 2 x4 6, x4 3, x1 x2 2 x3 x4 4, x x x 0, 2 3 4 x4 3, 0 0,
（II）当 d r 1 0 或方程组中根本没有0 0 的方程，分两种情形：
（II）当 d r 1 0 或方程组中根本没有0 0 的方程，分两种情形： i） r n . 这时阶梯型方程组为： c11 x1 c12 x 2 c1n x n d1 c22 x 2 c2 n x n d 2 cnn x n d n
x1 x4 40 , x2 x5 20 , x3 x6 10
x1 x4 40 , x2 x5 20 , x3 x6 10 x1 x2 x3 45 , x4 x5 x6 25
再来看总运费，由表1-1：
1 2
总运费S 45x1 58 x2 92 x3 58 x4 72 x5 36 x6 表 1-1 于是，题目要解决的问题是： C ij A1 x , xA,2x , x , A3, x 如何选择非负数 x
表 1-1
C ij
A1
45 58
A2
58 72
A3
92 36
B1 B2ຫໍສະໝຸດ 不妨假设每吨货物每公里的运费为 1 元 ，问各厂 的产品如何调配才能使总运费最少？
解
设各厂到各用户的产品数量如表 1-2
表 1-2
A1 B1 B2 x1 x4
A2 x2 x5
A3 x3 x6
依题意，3个厂的总产量和用户的总用量相等：
由各产地 Ai 到各用户 B j 的距离为 Cij ，如表1 1所示，
引例 有三家生产同一种产品的工厂 A1 、A2 、 A3， 其年产量分别为40t ，20t 和 10t ，该产品每年有 两个用户 B1、B2 ，其用量分别为 45t 和 25t
由各产地 Ai 到各用户 B j 的距离为 Cij ，如表1 1所示，
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 考查方程组 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
c11 x1 c12 x 2 c1n x n d 1 c22 x 2 c2 n x n d 2 crr x r crn x n d r 0 d r 1 00 00
两边同乘以已知常数
a1 x1 a2 x2 an xn b.
线性方程与常数相乘，也称为方程的数乘。 线性方程的线性组合 将线性方程(1)和(2)分别称两个已知常数

， 得到一个新的线性方程：
1 , 2
再将所得的两个方程相加，得到新方程：
1a11 2a21 x1 1a12 2a22 x2
c11 x1 c12 x 2 c1n x n d 1 c22 x 2 c2 n x n d 2 crr x r crn x n d r 0 d r 1 00 00
1 2
3
( B3 )
4 1 2
3
3
4
4 23
( B4 )
4
用“回代”的方法求出解：
x1 x3 4 于是解得 x2 x3 3 其中x3为任意取值. x 3 4
或令x3 c, 方程组的解 也称为通解)可记作 (
x1 c 4 x2 c 3 x , x3 c x 3 4
2、利用初等变换解一般线性方程组(化为阶梯型方程组)
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 考查方程组 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
二、线性方程组的消元法
1、线性方程组的初等变换 例1 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9,
1 2
3
2
(1)
4
解
1 2 3 2
(1)
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x 2 x 2 x 0, 2 3 4 5 x2 5 x3 3 x4 6, 3 x 2 3 x 3 4 x 4 3,
（以
i
3．上述三种变换都是可逆的．
若( A) 若( A) 若( A)
i i i
j
k k
j
(B ), 则(B ) (B ), 则(B ) (B ), 则(B )
i i i
j
( A);
k ( A); k
j
( A).
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程 组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同 解变换． 定理1 线性方程组的初等变换总是把方程组变成 同解方程组 ．
1 2 3 4 5 6
45 58 B1 使之满足方程组 ① 和 ② 58 72 B2 并使总运费最少 .
92 36
几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知 数的个数为 n ，方程个数为 m ，则线性方程组可以写成如 下形式 ：
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
第一章 线性方程组的消元法 和矩阵的初等变换
线性方程组的消元法 矩阵的初等变换
第一节 线性方程组的消元法
一、线性方程组的基本概念
1. 线性方程组的定义
引例 有三家生产同一种产品的工厂 A1 、A2 、 A3， 其年产量分别为40t ，20t 和 10t ，该产品每年有 两个用户 B1、B2 ，其用量分别为 45t 和 25t
（II）当 d r 1 0 或方程组中根本没有0 0 的方程，分两种情形： ii） r n . 这时阶梯型方程组为： c11 x1 c12 x 2 c1r x r c1，r 1 x r 1 c1n x n d 1 c22 x 2 c2 r x r c2，r 1 x r 1 c2 n x n d 2 crr x r cr，r 1 x r 1 crn x n d r