第2章函数的概念与基本初等函数第八节函数模型及其综合应用模拟创新题文新人教A版选择题1.(2016·广东汕头一中月考)一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则一定正确的是( )A.①B.①②C.①③D.①②③解析由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确.答案A2.(2016·山东青岛调研)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况解析设该股民购这支股票的价格为a，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a ＜a，故该股民这支股票略有亏损.答案B3.(2015·长春联考试题)某机床在生产中所需垫片可以外购，也可自己生产，其中外购的单价是每个1.10元，若自己生产，则每月需投资固定成本800元，并且每生产一个垫片还需材料费和劳务费共0.60元.设该厂每月所需垫片x 个，则自己生产垫片比外购垫片较合算的条件是( ) A.x ＞1 800 B.x ＞1 600 C.x ＞500D.x ＞1 400解析 由题意知，当800＋0.6x ＜1.1x 时，自己生产垫片比外购垫片合算，解之得x ＞1 600. 答案 B4.(2014·湖南岳阳质检)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应为( )A.x ＝15，y ＝12B.x ＝12，y ＝15C.x ＝14，y ＝10D.x ＝10，y ＝14解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 答案 A5.(2015·河北衡水中学模拟)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( ) A.10 B.11 C.13D.21解析 设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y ，x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)， 所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x （x ＋1）x ＝x ＋100x＋1.5，由基本不等式得y ＝x＋100x＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号，所以选A.答案 A创新导向题函数性质新定义问题6.对于函数f (x )，如果存在锐角θ，使得f (x )的图象绕坐标原点逆时针旋转角θ，所得曲线仍是一函数，则称函数f (x )具备角θ的旋转性，下列函数具备角π4的旋转性的是( ) A.y ＝xB.y ＝ln xC.y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD.y ＝x 2解析 函数f (x )的图象绕坐标原点逆时针旋转角π4，相当于x 轴、y 轴绕坐标原点顺时针旋转角π4，问题转化为直线y ＝x ＋k 与函数f (x )的图象不能有两个交点，结合图象可知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与直线y ＝x ＋k 没有两个交点，故选C. 答案 C关于函数的实际应用问题7.司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析( ) A.甲合适B.乙合适C.油价先高后低甲合适D.油价先低后高甲合适解析 设司机甲每次加油量为x ，司机乙每次加油费为y ，两次加油的单价分别为a ，b ，则司机甲两次加油的均价为ax ＋bx 2x ＝a ＋b 2，司机乙两次加油的均价为2y y a ＋y b＝2ab a ＋b 且a ＋b2－2ab a ＋b ＝（a －b ）22（a ＋b ）≥0.又a ≠b ，所以（a －b ）22（a ＋b ）>0，即a ＋b 2>2aba ＋b ，所以这两次加油的均价，司机乙的较低，所以乙更合适，故选B. 答案 B专项提升测试 模拟精选题一、选择题8.(2016·河南实验中学质量检测)某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了n (n ∈N *)年后，年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n ＝( ) A.3 B.4 C.5D.6解析 由题意知，n 年的收入为11n 万元，运营费为2n ＋n （n －1）2×2＝n 2＋n (万元)，则年平均盈利额y ＝1n[11n －(n 2＋n )－9]＝10－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋9n ≤10－2n ·9n＝4，当且仅当n ＝9n，即n ＝3时，等号成立.答案 A9.(2015·衡阳联考(一))某商品在最近100天内的单价f (t )与时间t 的函数关系是f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 4＋22（0≤t ＜40，t ∈N ），－t2＋52（40≤t ≤100，t ∈N ），日销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t 3＋1093(0≤t ≤100，t ∈N ).则这种商品的日销售额的最大值为( ) A.808 B.808.5 C.736D.736.5解析 设日销售额为w ，则当0≤t ＜40(t ∈N )时，w ＝f (t )g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1093＝－112t 2＋74t ＋22×1093，对称轴为t ＝212，故当t ＝10或t ＝11时，w 最大，为808.5；当40≤t ≤100(t ∈N )时，w ＝f (t )g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2＋52×⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1093＝16t 2－2136t ＋52×1093，对称轴为t ＝2132，故当t ＝40时，w 最大，为736.综上，这种商品的日销售额的最大值为808.5. 答案 B 二、解答题10.(2016·山西大学附中月考)经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－13t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N ).前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N )，后60天价格为f (t )＝－12t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N )，试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值.解 当1≤t ≤40，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13t ＋1123⎝ ⎛⎭⎪⎫14t ＋22 ＝－112t 2＋2t ＋112×223＝－112(t －12)2＋25003，所以768＝S (40)≤S (t )≤S (12)＝112×223＋12＝2 5003.当41≤t ≤100，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13t ＋1123⎝ ⎛⎭⎪⎫－12t ＋52＝16t 2－36t ＋112×523＝16(t －108)2－83， 所以8＝S (100)≤S (t )≤S (41)＝1 4912.所以，S (t )的最大值为2 5003，最小值为8.11.(2014·广东重点中学联考)旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15 000元.旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人.设旅行团的人数为x 人，飞机票价格为y 元，旅行社的利润为Q 元.(1)写出飞机票价格y 元与旅行团人数x 之间的函数关系式；(2)当旅行团人数x 为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润. 解 (1)依题意得，当1≤x ≤35时，y ＝800；当35＜x ≤60时，y ＝800－10(x －35)＝－10x ＋1 150；∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧800 （1≤x ≤35且x ∈N ），－10x ＋1 150（35＜x ≤60且x ∈N ）.(2)设利润为Q ，则Q ＝y ·x －15 000＝⎩⎪⎨⎪⎧800x －15 000（1≤x ≤35且x ∈N ），－10x 2＋1 150x －15 000（35＜x ≤60且x ∈N ）. 当1≤x ≤35且x ∈N 时，Q max ＝800×35－15 000＝13 000，当35＜x ≤60时，Q ＝－10x 2＋1 150x －15 000＝－10(x －1152)2＋36 1252，∵x ∈N 当x ＝57或58时，Q max ＝18 060＞13 000，故当旅游团人数为57或58人时，旅行社可获得最大利润为18 060元.创新导向题分段函数模型的综合应用问题12.据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程S (km).(1)当t ＝4时，求S 的值；(2)将S 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由. 解 (1)由题图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴S ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，S ＝12·t ·3t ＝32t 2，当10＜t ≤20时， S ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20＜t ≤35时， S ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上，可知S ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈（10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈（20，35].(3)∵t ∈[0，10]时，S max ＝32×102＝150＜650，t ∈(10，20]时，S max ＝30×20－150＝450＜650，∴当t ∈(20，35]时，令－t 2＋70t －550＝650. 解得t 1＝30，t 2＝40.∵20＜t≤35，∴t＝30.即沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城.。