【自主解答】(1)选B.|a|=|b|，说明a与b模长相等，但方向不 确定；对于a的相反向量b=-a，故|a|=|b|，从而B正确；空间 向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边 形不具有 AB AD AC ，只有平行四边形才能成立.故A，C，D 均不正确.
AN〉， (2)由数量积公式得， AM AN | AM | AN cos〈AM，
主题二 空间向量的坐标运算
【典例2】(1)若向量a=(4，2，－4)，b=(6，－3，2)，则(2a－
3b)·(a+2b)=
.
(2)若A(x，5－x，2x－1)，B(1，x+2，2-x)，当|AB |取最小值
时，x的值等于
.
【自主解答】(1)因为2a－3b=(－10，13，－14)， a+2b=(16，－4，0)，所以(2a－3b)·(a+2b) =(－10，13，－14)·(16，－4，0)＝－212. 答案：－212
1 －x 6y， 2a－ 所以 a 1 －3x－y， 2 2x 4y，
解得x=－7，y=4，a=16.
主题三 空间向量与平行、垂直问题 【典例3】(1)已知A，B，C三点的坐标分别为A(4，1，3)， B(2，－5，1)，C(3，7，λ )，若 AB AC 则λ 等于( ， A．28 B．－28 C．14 D．－14 )
a 2
a ，1，-1)， 2
因为 AD1 B1E = a 〓0+1〓1+(-1)〓1=0，
2
a ，1，0). 2
所以B1E⊥AD1.
②假设在棱AA1上存在一点P(0，0，z0)(0≤z0≤1)，
使得DP∥平面B1AE.
此时 DP =(0，-1，z0).
又设平面B1AE的法向量n=(x，y，z).
d AB＝ AB ＝ a 2－a1 ＋ b 2－b1 ＋ c2－c1 .
2 2 2
5.空间向量的结论与线面位置关系的对应关系 (1)设直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1),平面α 的法向量 v=(a2,b2,c2), 则l∥α ⇔u⊥v⇔u·v=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0, l⊥α ⇔u∥v⇔u=kv⇔(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)⇔a1=ka2,b1=kb2, c1=kc2(k∈R).
算.
【拓展延伸】向量坐标运算的综合应用 向量运算的坐标表示公式要熟记，从而能准确快速地进行 计算.专门运算的题目很少，一般与共面向量定理、共线向量 定理组合出题，熟练掌握这两个定理也是运算的基础 .共面向 量：利用p与a，b向量共面⇒p=xa+yb时，一定要注意a，b不 能共线；反之利用p=xa+yb⇒p与a，b向量共面时，则不需要 a，b不共线的条件. 常见结论：空间任一点O和不共线三点A，B，C，则
【补偿训练】在以下四个式子中a+b·c， a·(b·c)， a(b·c)， |a·b|=|a||b|，表达正确的有( A.1个 B.2个 C.3个 ) D.0个
【解析】选A.根据数量积的定义，b·c是一个实数，a+b·c 无意义.实数与向量无数量积，故a·(b·c)错， |a·b|=|a||b||cos〈a，b〉|，只有a(b·c)正确.
4．模、夹角和距离公式
(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
① | a| ＝
a a＝ a12＋a 2 2＋a 32；
②cos〈a，b〉＝
a1b1＋a 2 b 2＋a 3b3 ab ＝ . 2 2 2 2 2 2 ab a1 ＋a 2 ＋a 3 b1 ＋b 2 ＋b3
(2)设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则
(2)由点A，B坐标，得 AB =(1－x，2x－3，－3x+3)， 所以 AB 1－x 2 2x－32 －3x 32
14x 2－32x 19，
8 时， |AB |取最小值. 7 8 答案： 7
当x=
【方法技巧】熟记空间向量的坐标运算公式 设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), (1)加减运算:a〒b=(x1〒x2,y1〒y2,z1〒z2). (2)数量积运算:a·b=x1x2+y1y2+z1z2. (3)向量夹角:cos<a,b>=
②转化为线面垂直、线线垂直问题.
【补偿训练】如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分 别是C1D1,AB的中点,E在AA1上且AE=2EA1,F在CC1上且CF= 试证明ME∥NF.
1 FC1, 2
【证明】由平行六面体的性质知

AC或PA
CB .

3.空间向量运算的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). (1)a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3), a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3), λ a=(λ a1,λ a2,λ a3),a·b=a1b1+a2b2+a3b3. (2)重要结论 a∥b⇔a=λ b⇔a1=λ b1,a2=λ b2,a3=λ b3(λ ∈R); a⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.
(2)(2014·银川高二检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AD=1,E为CD的中点.
①求证:B1E⊥AD1. ②在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求 AP的长；若不存在，说明理由.
【自主解答】(1)选D. AB ＝(－2，－6，－2)， AC ＝(－1， 6，λ－3)， 因为 AB AC 所以 AB AC ＝2〓1－6〓6－2(λ－3)＝0， ， 解得λ＝－14.
1 5 cosAMB 5 ， 所以 AM AN 的最大值为6. 5
答案：6
【延伸探究】题(2)中若结论改为 AN AB ，则结果如何？ 【解析】由数量积公式得 AN AB | AN | AB cos〈AN， AB〉，
AN cos〈AN， AB 〉表示向量AN 在向量 AB 的方向上的投影，要使 ， AB 〉最大，又因点N在正方 AN AB 值最大，只需 AN cos〈AN
表示向量 AN 在向量AM 的方向上的投影，要使 AN cos〈AM， AN〉
最大，又因点N在正 ， AN〉 AM AN 值最大， 只需 AN cos〈AM
方形内(含边界)，所以当点N与C重合时，过点C作CH⊥AM，垂 足为H，得 AN cos〈AM， AN〉＝｜ AH ｜最大，故由AB＝2，M为BC 的中点可得 AM 5，｜ AH ｜＝ AM MH 5 CM cosCMH
x1x 2 y1 y 2 z1z 2 x y z
2 1 2 1 2 1
x 2 y2 z2
2 2
2
.
(4)向量长度:设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),
则 M1M 2 x1－x 2 2 y1－y 2 2 z1－z 2 2 .
提醒:在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运
阶段复习课 第 三 章
【答案速填】 ①数乘运算 ⑥线面关系 ②空间向量的数量积 ⑦点面距 ③垂直 ④夹角 ⑤数乘结合律
【核心解读】 1.证明空间任意三点共线的方法 设空间三点P，A，B， (1) PA PB ； (2)对空间任一点O， OP OA t AB ； (3)对空间任一点O， OP x OA yOB x y 1.
(2)①以A为原点，AB， AD， AA1 的方向分别为x轴，y轴，z轴 的正方向建立空间直角坐标系(如图).设AB=a， 则A(0，0，0)，D(0，1，0)， D1(0，1，1)，E( ，1，0)，B1(a，0，1)， 故 AD1 =(0，1，1)， B1E =(
AB1 =(a，0，1)，AE =(
2.证明空间四点共面的方法
设空间四点P，A，B，C，
(1) CP x CA y CB (x，y为有序实数对)；
(2)对空间任一点O，OP OC x CA y CB ； (3)对空间任一点O， OP x OA y OB zOC (x+y+z=1)；
4 PC
AB 或PB
ax z 0， 由 n AB1，n AE，得 ax y 0. 2
a 取x=1，得平面B1AE的一个法向量n=(1， ，-a).
要使DP∥平面B1AE，只要n⊥ DP ，有 解得z0= 1 .
2
a -az0=0， 2
2
又DP⊄平面B1AE，所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时 AP= 1 .
③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量可用平面内两不
共线向量线性表示. (4)线面垂直: ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题 .
(5)面面平行:
①证明两个平面的
(6)面面垂直:
①证明两个平面的法向量互相垂直;
(3)求二面角的大小
(ⅰ)如图①,AB,CD是二面角α -l-β 的两个半平面α ,β 内与棱l
垂直的直线,则二面角的大小θ =< AB ， CD >.
(ⅱ)如图②③,n1,n2分别是二面角α -l-β 的两个半平面α ,β 的法向量,则二面角的大小θ 满足cosθ =cos<n1,n2>或 -cos<n1,n2>.
2
【方法技巧】利用空间向量证明空间中的位置关系 (1)线线平行： 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向 量． (2)线线垂直： 证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直.
(3)线面平行:
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;
②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量 ;