第七章 晶体生长动力学 生长驱动力与生长速率的关系（动力学规律或界面动力学规律），先解决生长机制问题。 §1 邻位面生长——台阶动力学 邻位面生长——奇异面上的台阶运动问题 1． 界面分子的势能

1→2 : 2Φ1+8Φ2; 1→3 : 4Φ1+12Φ2; 1→4 : 6Φ1+12Φ2 分子最稳定位置（相变潜热） 单分子相变潜热： lsf=Ws+Wk

① 流体分子 ⑴ 吸附分子 ⑵ 台阶分子⑶ 扭折 ⑷

邻位面上不同位置的吸附分子[3] 界面上不同位置的势能曲线 体扩散 面扩散

线扩散 ② 流体分子 ⑴ 吸附分子 ⑵ 扭折 ⑷ ③ 流体分子 ⑴ 扭折 ⑷ 2．面扩散 Ws=2Φ1+8Φ2 吸附分子→流体需克服的势垒

sfsl20122 面扩散激活能

υ∥ 吸附分子在界面振动频率 吸附分子在晶面发生漂移的机率为：)/exp(kTs，面扩散系数为：Ds

Ds=[υ∥)/exp(kTs]

吸附分子平均寿命：τs, s1脱附频率 )/exp(/1kTWss

)/exp(1kTWss

Xs: 吸附分子在界面停留的平均寿命τs内，由于无规则漂移而在给定方向的迁移（分子无规则漂移的方均根偏差）

sssDX2 （爱因斯坦公式）

kTWXsss2/]exp[21 由于对一般的晶面：sfsslW45.0 υ∥=υ⊥

体扩散 面扩散

体扩散 ]/22.0exp[21kTlXsfs

Xs 决定了晶体生长的途径。 3． 台阶动力学——面扩散控制 台阶的运动受面扩散控制

界面某格点出现吸附分子的机率：00NNss 界面N0，格点Ns有吸附分子： )/exp(0kTWks

（对单原子或简单原子，可忽略取向效应） 若：Xs >> X0 则到达界面便可到达台阶，扭折

平衡时，脱附分子（单独时间从界面脱附）数为：ss10 平衡时，吸附分子数为：ss10 0/pp 饱和比，在此情况下，吸附分子为：

ss

1

0

Xs >> X0 则吸附分子均能到达台阶 设台阶长度为a,则单位时间到达台阶的分子数为：

aXsss120

考虑脱附分子数：aXsss120 故单位时间达到台阶的净分子数为： aXsss1)1(20

台阶运动速率：

)/exp(2/2)1(/200kTlXXaaXVsfsssssss







gAV 线性规律

汽相生长：)/exp(2kTlkTXAsfs 熔体生长：kTDA3 D：扩散系数 4． 面扩散方程及其解

0/ppV 饱和比；

1VV

饱和度

0/sssnn

1ss

sn:吸附分子在界面上的实际面密度（单位面积吸附分子数） 0sn：吸附分子在界面上的平衡面密度

在Xs >> X0时，流向台阶的吸附分子扩散流sq sossssnDnDq

Ds: 面扩散系数（吸附分子） sV

sssssVVnnq//)(00

较短时间内，台阶两侧分子的分布看作稳态分布： Vsqq

ns0与位置无关系 Ds各向同性 sssDX2 22sX 面扩散方程式

(1) 单根直台阶（一维情况）

222dydXs，)()(yysV（二阶常系数）

)exp()exp()(ssXybXyay 单根直台阶： y=0, 0s , V y=±∞, Vs, 0 当 y>0时，有 a=0, Vb 当 y<0时，有 Va, 0b 单根直台阶的解： )/exp()(sVXyy

y>0 取负， y<0 取正)/exp(1[)(sVsXyy

00//ssVnnpp 代入：

)/exp(1)[()(0ssosssXynnnyn

（吸附分子面密度分布）

sssVysssXDnnDq/2)0(000

（单位时间到达单位长度的台阶上的吸附分子流量） 单位面积格点为n0，则：

sssVsXDnnnqV0002/)0(





ssnn000

利用sssDX2

可得：gAkTlXVsfsV)/exp(2 (2) 一组等间距的平等台阶 边值条件： y=±y0/2, 0s , V 代入：

sV VssXybXya)2exp()2

exp(00

VssXybXya)2exp()2

exp(00

求出a、b待定常数： )]2exp()2[exp(00ssVXyXyba

)2/()/()2/exp()2/exp()exp()exp()(000ssVssssVXyCoshXyCoshXyXyXyXyy

令：20yy，代入：sossssnDnDq， 得：ssssVyysossXXyDnnDyq/)]2/tan(2[)2/(002/00

)2/tanh()2/tanh()/exp(2/)2/(0000sssfsVsXyVXykTlXnyqU



和单根直线台阶比，差一个)2/tanh(0sXy因子 sXy20 1)2/tanh(0sXy

， VU

sXy20 1)2/tanh(0sXy

， VU (3) 单圈圆台阶、同心等距多圈圆台阶的运动速率 二维吉布斯——汤姆逊关系式

crppkT/0)/ln(0， cVrkT/0

γ：台阶棱边能； 0：吸附分子的面积； rc: 吸附分子的临界半径（二维） 在σV下, rr>rc, 台阶圈将离心运动而加大. 估计任意形状分子层中的一个分子所具有的平均能量: 正方形,内切圆半径为r0, 设吸附分子来自扭折,WK

方形层形成能为: 020804rWrK 则平均能量为: 0002)(rWrWKK 对任意形状: 00)(rWrWKK, η:形状因子 如果取η=1, 则: 0002)(rWrWKK

可得: 00)(rrkTWrWcVKK 在低σV下,圆形台阶运动速率不大,吸附分子分布看成稳态分布. )()()(202222rXrdrrdrdrrdr

虚变量零阶贝塞尔微分方程 Ψ（r）=σv-σs 普遍解为： ψ（r）=AI0（r/Xs）+BK0（r/Xs） I0（r/Xs）虚宗量零阶第一类 K0（r/Xs）虚宗量零阶第二类 根据该二函数的性质可确定不同区间的A、B

)/()/()()(0000ssXrIXrIrr ，当r )/()/()()(0000ssXrKXrKrr ，当r>r0 Ψ(r0)为半径r0时，圆台阶处Ψ函数值 于是可得：

1]/exp[]/)(exp[1n)()(00s00kTWkTrWrnrkkss =exp(σv(rc)/r0)-1≈σvrc/r0 ∴Ψ(r0)= σv-σs(r0) Ψ(r0)=σv(1-rc/r0)

0][)(00rrsssdrddrdnDrq

利用贝塞尔函数性质可得：

贝塞尔函数 )1(2)(/)(2)(0002000rrXnrqnXrnDrqcsssvsssssoss

)1(12/)()(000000rrnnXnrqrVcsssvs



)1()/exp(20rrkTIvXcsfsv )1()(00rrVrVc

∵V∞=2σvXsυ⊥exp(-Isf/kT) V(r0)是r0的函数，r0↑,V(r0)↑ r0→∞,V(r0)→V∞ r0→rc, V(r0)→0 r0同心等距多圈圆台阶组：间距为y0 U(r0)=V(r0)·tanh(y0/2Xs)(1-rc/r0) =V(r0)tanh(y0/2Xs) y0>>2Xs r0→∞ U(r0) →V∞ 5.台阶动力学——体扩散控制 XS甚小，台阶运动受流体分子体扩散控制（面扩散忽略不计）设：X-y平面与邻位面一致。

可得圆台阶的推进速