例9.1 试将图9.3中所示的非正弦周期信号（称为方波信号）展成傅里叶级数。

解 根据图上所示信号的波形，可知其既对称于纵轴，又具有半波对称性质，所以它是兼有奇谐波函数性质的偶函数。

依照上述定理，此信号的傅里叶级数中必定只含有余弦的奇次谐波项，因此只需按公式
()2
04cos T km A f t k tdt T
ω=
⎰ 计算A km 。

对图上的波形图可以写出
()04
42
T A t f t T T A t ⎧ <⎪⎪=⎨⎪- <⎪⎩≤≤
将上式代入A km ，便得
4
2044cos cos T T km T A A k tdt A k tdt T ωω⎡⎤=-⎢
⎥⎣⎦⎰⎰ 42
0444cos cos T T T A A k tdt k tdt T T
ωω=-⎰⎰ {}
42044sin sin T T T A k k Tk ωωω
=- 41,5,9,43,7,11A
k k A k k ππ
⎧ =⎪⎪=⎨
⎪- =⎪
⎩
于是，信号的傅里叶级数
()4111
cos cos3cos5cos 7357A f t t t t t ωωωωπ⎛⎫
=
-+-+ ⎪⎝⎭
图9.3 方波信号 图9.4 三角波信号
例9.2 试求图9.4所示三角波信号的傅里叶级教。

解 视察一下所给的波形可以知道，它既是原点对称又是半波横轴对称。

因此，其傅里叶级数仅由正弦奇次谐波分量组成。

由于
()404
4242
A
T t t T
f t A T T t A t T ⎧⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩≤≤≤≤
故有
4044444sin 2sin T T km T A A B t k tdt t A k tdt T T T T ωω⎛⎫
=
-- ⎪⎝⎭
⎰⎰ 参照积分公式
211
sin sin cos x axdx ax x ax a a
=
-⎰ 可算出
22
22
81,5,9,83,7,11km A
k k B A k k ππ⎧=⎪⎪=⎨
⎪-=⎪
⎩
于是所欲求的傅里叶级数
()2222
8111
sin sin 3sin 5sin 7357
A f t t t t t ωωωωπ⎛⎫
=
-+-+ ⎪⎝⎭。

例9.3 已知一如图9.5所示的信号波形，试求其傅里叶级数。

图9.5 例9.3用图
解 此信号对原点对称，是奇函数，且又是半波横轴对称，所以其傅里叶级数仅是正弦奇次谐波分量组成。

由于
()022
T A t f t T A t T
⎧
<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩≤≤
故有
{
}20
044sin cos T T km A
B A k tdt k t
T Tk ωωω==-⎰
41,3,5,7,A
k k π
== 于是，所求级数
()4111
sin sin 3sin 5sin 7357A f t t t t t ωωωωπ⎛⎫
=
++++ ⎪⎝⎭。

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