第一章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换◆线性方程组的消元法◆矩阵的的初等变化引例（物资调运问题）ijC j B i A 12,,B B 有三个生产同一产品的工厂其年产量分别为40、20和10，单位为吨；该产品每年有两个用户其用量分别为45和25，单位为吨；由各产地到各用户的距离为（千米）假设每吨货物每千米的运费为1（元），问各厂的产品如何调配才能使总运费最少？123,,,A A A ()1,2,3;1,2i j ==表C ij A1A2A3 B1455892 B258723614253640,(1)20,(2)10.(3)x x x x x x +=+=+=1. 对产地来讲，产品全部调出，因而有解：假设到的产品数量，到的产品数量，到的产品数量；3个厂的总产量与两个用户的总用量刚好相等，所以：2A 1A 3A 12,B B 12,B B 25,x x 12,B B 36,x x 14,x x12345645,(4)25.(5)x x x x x x ++=++=123456455892587236.(6)S x x x x x x =+++++2. 对用户来讲，调查的产品刚好为其所需，因而有：3. 考虑总运费S ：（1）－（5）每个方程都是线性方程，几个线性方程联立在一起，称之为线性方程组.因此方程（1）－（5）构成6个未知数5个方程的线性方程组.不少实际问题可以化为线性方程组的问题.这样的方程组所包含的未知数的个数不只是一个两个，而是更多.因此，为了解决这类问题需要讨论含有个n个未知数m个方程的线性方程组.11112211211222221122(7)n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 形式如下：它是第个方程中第个未知量的系数；i j j x ij a (1,2,,;1,2,)i m j n == 这里为已知数i b (1,2,,)i m = i 是已知数，称为第个方程的常数项。

当线性方程组（7）的常数项均为零时，则我们称它为齐次线性方程组，否则，称为非齐次线性方程组所谓方程组（7）的一个解就是指个数n 1122,,,n nx x x ξξξ=== 12n ξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭组成的有序数组方程组（7）的解的全体称为它的解集合解方程组实际上是找出它的全部解;如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为是同解的.2、线性方程的线性组合线性方程的加法：式与式的和(11)(12)1111221121122222,n n n n a x a x a x b a x a x a x b +++=+++= (11)(12)()()()()11211122221212n n n a a x a a x a a x b b ++++++=+ (13)线性方程乘常数：()()()11112211n n a x a x a x b λλλλ+++= 线性方程的线性组合：()()()()1112211112222211221122n n n a a x a a x a a x b b λλλλλλλλ++++++=+ (14)注意为任意常数，也可以为0.λ式与式的一个线性组合。

(11)(12)其中为任意常数。

12,λλ两个线性方程组（1）和（2），如果方程组（2）中的每个方程都是方程组（1）中的方程的线性组合，就称方程组（2）是方程组（1）的线性组合。

方程组（1）的每一个解都是方程组（2）的解。

如果方程组（1）和方程组（2）互为线性组合，就称这两个方程组等价（可互推）。

将方程组（1）变成同解方程组（2）的过程称为同解变换。

123123132314254(8)226x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩1232323231425x x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩例1解线性方程组（消元法）解：第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成将上面的第二个方程与第三个方程互换，即得1232323231542x x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩将第三个方程减去第二个方程的4倍，得1232332315318x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩将第三个方程两边乘，得131232332315(9)6x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩将第一个方程减去第三个方程的3倍，第二个方程加上第三个方程，得122321916x x x x -=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩将第一个方程加上第二个方程,得12321816x x x =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩将第一个方程两边乘得12123916x x x =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩即：12391(10)6x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭上面解方程的过程，从（8）到（9）叫消元过程从（9）到（10）叫回代过程从整个消元过程可以看到，它实际上是对方程组进行了以下3种变换：（１）交换两个方程的次序；（２）用一个非零的常数乘以某个方程（３）把一个方程的适当倍数加到另一个方程.定义2上述三种变换均称为线性方程组的初等变换.定理1线性方程组的初等变换总是把方程组变成同解方程组。

证方程组进行3种初等变换11112211211222221122(7)n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 不妨设把第二个方程的倍加到第一个方程得到新方程组k()()()11211122221212211222221122n n n n n m m mn n m a ka x a ka x a ka x b kb a x a x a x b a x a x a x b++++++=+⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ (16)1111221121122222n n n n a c a c a c b a c a c a c b +++=+++= 设是的任一解，则满足的前两个方程(7)12(,,,)Tn c c c (7)()()()11211122221212n n n a ka c a ka c a ka c b kb ++++++=+ k 把二式的倍，再与第一式相加，即12(,,,)Tn c c c (16)(16)(7)因此满足的第一个方程，又和的后个方程相同，所以也是的解。

(16)方程组的第二个方程乘以倍加到第一个方程，得到方程组，因此，的任一解也是的解。

方程组和是同解的。

(16)(16)(16)k -(7)(7)(7)线性方程组的初等变换是一种同解变换。

2、利用初等变换解一般线性方程组方程组，如果的系数全为0，方程组可以看成是的方程组；如果的系数不全为0，假设。

(7)(7)1x 2,,n x x 110a ≠1x 利用初等变换，把第一个方程的倍分别加到第个方程，则111i a a -(2,,)i i m = ()iii 11112211'''22222'''22n n n n m mn n m a x a x a x b a x a x b a x a x b +++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩ (17)对按类似的方法进行变换，最后得到一个阶梯形方程组。

(17)111122*********100000r r n n r r n n rr r rn n rr c x c x c x a x d c x c x a x d c x c x d d ++++++=⎧⎪++++=⎪⎪⎪++=⎪⎨=⎪⎪=⎪⎪⎪=⎩(18)(7)其中，方程组与是同解的。

0,1,2,,ii c i r ≠= (18)1、若中有方程，而，则矛盾，方程组无解，所以无解。

(18)10r d +=10r d +≠(7)(18)2、当或没有时：10r d +=00=（1），阶梯形方程组为r n =1111221122222n n n n nn n n c x c x a x d c x a x d c x d +++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪=⎩ (19)(7)其中，方程组与有唯一解。

0,1,2,,ii c i n ≠= (19)（2），阶梯形方程组为r n <11112211,111122222,1122,11r r r r n n r r r r n n rr r r r r rn n r c x c x c x c x a x d c x c x c x a x d c x c x c x d ++++++++++++=⎧⎪+++++=⎪⎨⎪⎪++=⎩111122111,111222222,112,11r r r r n n r r r r n n rr r r r r r rn n c x c x c x d c x a x c x c x d c x a x c x d c x c x +++++++++=---⎧⎪++=---⎪⎨⎪⎪=---⎩(20)其中，方程组为0,1,2,,ii c i r ≠= 由知，可以通过表示出来，这样一组表达式称为方程组的一般解，称为一组自由未知量。

12,,,r x x x 1,,r n x x + (20)(7)1,,r n x x +)1(123412341234123422,24,46224,36979.x x x x x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪+-+=⎪⎨-+-=⎪⎪+-+=⎩1342例：分析用消元法解下列方程组的过程．解：)(1B 2÷3↔12)(2B32-2-133-14)(1B )1(2÷3↔12)(1B)(2B 32-2-133-14)(3B 221⨯5+323-42)(2B )(3B 221⨯5+323-42)(4B ↔342-43用“回代”的方法求出解：.3为任意取值其中x )(3B )(4B ↔342-43.3为任意取值其中x 3,x c =令方程组的解可记作,3344321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c c c x x x x x .为任意常数其中c ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30340111c x 即该解表示方程组的任一解，为线性方程组的通解定理2在齐次线性方程组111122121122221122000n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ，那么它必有非零解。