一、运筹学 二十世纪四十年代开始形成，主要分支有对策论、规划论、 排队论、最优化方法和质量控制等。 1、对策论：在竞争性的活动中如何找出制胜对方的最优策略， 是一门研究斗争的数学。 由美籍匈牙利数学家冯· 诺伊曼首创。 1944年，他和摩根斯特嗯合著的《对策论与经济行为》出 版，成为对策论的奠基性著作。 在军事斗争和生产实践中得到广泛应用。
五、公理化思想的发展 19世纪与20世纪之交，产生了公理化运动，提 出以公理系统作为数学统一的基础。 1899年，德国数学家希尔伯特出版《几何基础》 一书，把欧几里德几何学整理为从公理出发的纯粹 演绎系统，并且十分注意公理系统的逻辑结构。他 提出了关于公理系统的三个重要问题，即： 相容性（即公理系中诸公理的无矛盾性）、 独立性 完备性
二、纯粹数学的研究领域 一方面，从更高的抽象上说，发展了 1、实变函数与泛函分析 2、抽象代数 3、拓扑学 4、公理化概率论 另一方面，从更高的统一化上说，发展了 1、微分拓扑与代数拓扑 2、整体微分几何 3、其他学科的融合
三、纯粹数学发展研究的序幕——希尔伯特问题 1900年8月，德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家 大会上作了题为《数学问题》的著名演讲。希尔伯特整 个演说的主体，是根据19世纪数学成果和发展趋势而提 出的23个数学问题，这些问题涉及现代数学的许多重要 领域。一个世纪以来，这些问题一直激发着数学家们浓 厚的研究兴趣。 希尔伯特问题中近一半已经解决或基本解决，有些 问题虽未最后解决，但也取得了重要进展。希尔伯特问 题的解决与研究，大大推动了数理逻辑、几何基础、李 群论、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、 常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、变分法等一系 列数学分支的发展，有些问题的研究还促进了现代计算 机理论的成长。
2、集合论的发展 德国数学家康托尔（1845-1918）创立了集合论， 扩充了数学概念，成为数学的重要基础。数学家们 发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个 数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一 切数学成果可建立在集合论基础上。 1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家 庞加莱就曾兴高采烈地宣称，借助集合论概念，我 们可以建造整个数学大厦，我们可以说绝对的严格 性已经达到了。
六、抽象代数的发展 群论的重大发展主要是体现在群表示论的研究 上。 从1901年起，德国数学家舒尔发展了他的老师 罗贝尼乌斯创立的群表示法； 1941年德国数学家布劳尔创立了模表示论。
六、抽象代数的发展 1910年， 德国数学家施泰尼茨对域论进行统一的抽象处 理，形成了域论的基础。
六、抽象代数的发展 1913年， 法国数学家厄-嘉当、德国数学家魏尔完成了半 单纯李代数有限维表示，奠定了李群表示理论的基 础。 1926年， 卓越的德国女数学家埃米-诺特完成了对近世代 数学有重大影响的理性群论。
五、公理化思想的发展 公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中 出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危 机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为 深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切 的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数 学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻 地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成 了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工 作又都促进了数学的大发展。 罗素悖论已被消除，以自身为元素的集合是不 存在的。
三、计算机科学的发展 30年代： 英国数学家图灵和美国数学家波斯特几乎同时提出了理想 计算机的概念； 40年代： 1944年，美国哈弗大学的艾肯通过IBM公司的资助，建成 了“自动程序控制计算机”MARK—I和MARK—II。 1946年2月，在冯· 诺意曼等人的努力下，世界上第一台电 子计算机诞生。 1949年，英国剑桥大学制成了第一台“电子数据存储自动 计算机”。
五、公理化思想的发展 围绕这些问题，产生了形式化的公理方法，成 为数学发展进程中的一个重要里程碑。 一方面，可以通过公理化方法研究各种可能的 数学结构，如20世纪30年代的法国布尔巴基学派提 出了结构概念；在其出版的《数学原本》中，从公 理结构出发，用代数结构、序结构和拓扑结构作为 全部数学的母结构，把数学统一成为一个整体。 布尔巴基学派是二十世纪最有影响的学派之一。
七、拓扑学的发展 第二次世界大战后，法国和美国的一批数学家 共同努力，创立了微分拓扑学。 1901年，法国数学家勒贝格提出勒贝格测度和 勒贝格积分，为实变函数论奠定了基础。
七、拓扑学的发展 集合论、变分法和积分方程的发展是二十世纪 综合性最强的数学学科——泛函分析产生的背景。 1906年后，开始形成希尔伯特空间理论。 1932年，波兰数学家巴拿赫把希尔伯特空间推 广成巴拿赫空间。 美籍匈牙利数学家冯· 诺伊曼把希尔伯特空间公 理化，深刻研究了算子理论。
2、集合论的发展 罗素悖论——理发师悖论 某个城市有一位理发师，他的广告词是这样写 的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将 为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些 人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的 人很多，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是， 有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了， 你们看，他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自 己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要 给自己刮脸；而如果他给自己刮脸呢？他又属于 “给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
2、集合论的发展 随后的研究中，数学家们在集合论中纷纷发现 了逻辑矛盾，集合论是有漏洞的！ 1902年英国哲学家、数学家罗素在集合论概括 原则的基础上引出了著名的罗素悖论。 问题涉及的只是集合论中最基本的东西。所以， 罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引 起了极大震动。严重冲击着数学基础的研究，导致 了“第一次数学危机”。
2、集合论的发展 罗素悖论的争论 三大学派： 第一，罗素、怀特海为代表的逻辑主义学派 第二，以荷兰数学家布劳维为代表的直觉主义学派
第三，以德国数学家希尔伯特为代表的形式主义学 派
2、集合论的发展 罗素悖论的争论 三大学派进行了激烈的争论，分析了悖论产生 的根源，人们希望能够通过对康托尔的集合论进行 改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就 需要建立新的原则。 “这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛 盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中 一切有价值的内容得以保存下来。” 争论的结果是使数学获得新的发展，提出了公 理、应用数学与计算机科学
一、涵义 相对于应用数学而言，纯粹数学是一门专门研 究数学本身，不以应用为目的的学问。 纯粹数学以数论为其代表。 纯粹数学研究从客观世界中抽象出来的数学规 律的内在联系，研究数学本身的规律。 它大体上分为三大类， 1、研究空间形式的几何类（微分几何、拓扑学） 2、研究离散系统的代数类（数论、近世代数） 3、研究连续现象的分析类（微分方程、函数论、 泛函分析）
二、应用数学的其他方面发展 20世纪40年代之后，发展起控制论、信息论、系统分析、 可靠性理论等等。 应用数学的范围越来越广，并创立了计算机科学。
三、计算机科学的发展 电子计算机出现的历史背景： 1、算法理论，也称为能行性理论（理论条件） 2、电子技术的发展（技术条件） 3、二战期间迫切需要快速计算（社会条件）
四、集合论的发展史 1、集合论概念 所谓集合论，是研究集合（由一堆抽象物件构 成的整体）的数学理论，包含了集合、元素和成员 关系等最基本的数学概念。在大多数现代数学的公 式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。
四、集合论的发展史 1、集合论概念 集合论是从一个物件o和集合A之间的二元关系 开始：若o是A的元素，可表示为o ∈ A。由于集合 也是一个物件，因此上述关系也可以用在集合和集 合的关系。 另外一种二个集合之间的关系，称为包含关系。 若集合A中的所有元素都是集合B中的元素，则称集 合A为B的子集，符号为A ⊆ B。例如{1,2} 是{1,2,3} 的子集，但{1,4} 就不是{1,2,3} 的子集。依照定义， 任一个集合也是本身的子集。
七、拓扑学的发展 泛函分析为现代科学的发展（量子力学、量子 场论）提供了强有力的工具，是一门具有很大应用 价值的数学学科。
概率论得到很快的发展，在二十、三十年代之 后，形成了： 法国数学家保尔· 莱维为首的法国学派； 苏联数学家柯尔莫哥洛夫、辛钦为首苏联学派； 美国数学家杜布、费勒为首的美国学派。 成为概率论的研究中心。
六、抽象代数的发展 1930-1931年， 荷兰数学家范德瓦尔登出版著名《近世代数 学》。 之后，群、域、环成为抽象代数学的中心，构 成现代数学的基础。
七、拓扑学的发展 研究连续性现象的数学分支 二十世纪初，法国数学家彭加勒首创了组合拓 扑学。 1910年，布劳维发现了不动点原理，后来又发 现了维数定理、单纯性逼近方法。 1914年，德国数学家豪斯道夫第一次抽象使用 了点集的领域概念，正式形成了点集拓扑学。
2、集合论的发展 罗素悖论公式 设性质P(x)表示“x不属于x”，现假设由性质P确 定了一个类A——也就是说“A=\{x|x不属于x\}”。 那么问题是：A属于A是否成立？ 首先，若A属于A，则A是A的元素，那么A具有 性质P，由性质P知A不属于A； 其次，若A不属于 A，也就是说A具有性质P， 而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A属于A。
五、公理化思想的发展 另一方面，公理方法本身成为科学研究的对象， 尤其是数理逻辑的 一个重要研究内容。 希尔伯特创立证明论，经奥地利数学家哥德尔 等人的研究而得到发展，成为数理逻辑和数学基础 的重要分支，在电子计算机科学中有着广泛的应用。 公理化思想深刻地影响着现代数学和现代科学 的发展。
六、抽象代数的发展 抽象代数也称为近世代数学，其研究目标集中 于更为一般的代数运算的规律和性质。 研究内容为：以群、环、域、格、向量空间的 性质和结构，形成各种理论。
概述： 1.二十世纪初，数学发生巨大的变化，其高度抽象 性、严密逻辑性和广泛应用型愈来愈突出地显示出 来； 2.向着高度分化的方向发展，分化出非常多的分支 学科； 3.向着高度综合的方向发展，出现将数学各部分统 一起来的种种新观点和新方案； 4.各门自然学科从定性研究过渡到定量研究，愈发 需要利用数学这一强大分析工具，数学本身的发展 也就有了更充足的动力。