2.2输出反馈镇定问题
建立动态时不变输出反馈系统：
1



F
BuAxx



''
)(AyxCCFFF



'
A



其中

nnn

M
RRRx,0,,,

，

0





M
A

F
JJJJ

eLyxCLFuExx'-)(


0
xKeFAM'


其中

nnn

M
RRRx,,,

，输出为：


'BuF

xKuJJ

初始条件为

000，
,00,0xx,nRx0， 00,0
,nR0,00,0
,

n
R

0


2,2.1
问题1

我们给出有输出2的系统1，然后寻找是否具有状态KnRkt,的线性动态时
不变输出反馈。我们设系统为
1

a1

FKK

yBA b1

其中


n

M
R,0,

0





c1

JKK

yFE





d1

其中nMR,
输出：

FKFC,

e1

JKCJ,

f1

并且初始条件为00,0，00,0 ，k0nR

这样，让MMAeE成为闭环单色矩阵，
(I) gCM ;
(II)sCsM:，10 ;
(III) 0M;
请注意，如果能够找到问题1.I的解，则动态时不变输出反馈使得闭环系统是渐
近稳定的。另一方面，如果能够找到问题1.II的解，那么，让','x，存在
一个常数0,cRc，使得对于闭环动态系统的任何初始条件0,0，

0,0,kckt
最后，如果能够找到问题1.III的解，那么控制器使得闭环

系统的状态被趋于0。

第三章 实例分析
这章中我的主要贡献是运用已知的理论知识，整理出来算法，结合具体的实
例条件去解决问题。在此，我们将给出一个实例来验证本文中提出的结果的有效
性。这里我们使用 matlab 工具进行仿真实现。假设有半径为r的圆盘， 总质
量m和惯性i，在两个平行壁面之间的水平平面上运动，与运动平面正交，质量
无限大。设rl20l，是两堵墙之间的距离。设ccyx,为圆盘质心的坐标，

表示圆盘的角位置(如下图)。
假设所有撞击都是弹性的，并在预碰撞条件下发生，使圆盘与墙接触的无穷
小间隔包含在第一个滑动区间内。 接着是第二次滚动，即

121,1,ktxuktrktykckkc，



l
mr
2



’


是描述无穷小滑动的动力摩擦系数，另外假设00cx，

0)0()(vxtx
cc


，系统的混杂状态空间描述为






cc
yy
，输入


'21

。
rl2

c
y

c
x

r
















1
0

00

0
1
00
0000
1000
0000
0010

M















1111101001000100001r
r

和00,,,0,0ccyy，假设系统的唯一可测输出是预冲击垂直和角位置
1,ktykc和
1,kt

k


，
0Zk
。

0FC






01000001JC

由此知道系统是强可达和可控的，但不可测。由于定理2中所述的分离原理，矩
阵FK,JK,和FL,JL使得gC可以分离计算。即我们假设设EeAMA~和
][~,BAAFReBM
。为了计算矩阵FK和JK，使得集是gC的子集,这是可求的。
方法是求解以下方程(通常称为代数Riccati方程)：

APBBPBIBPAAPAIP~'~~'~~'~~'~1

通过考虑具有数据的离散线性系统gCKBA~~~是可稳定和可测的矩阵，且我
们知道:

APBPBBIK~'~'~~1
,所以 gCKBA~~~ 。因此，设KKKFJ~'''，则集是

gC的子集。利用上面定理所述的对偶性原理，可以计算FL和JL，使集是g
C
的

子集。因此，时不变动态输出反馈使得闭环系统的特征值是在gC中，闭环系统
是渐近稳定的。

如下图：
第四章 仿真分析
在smvmrkgm/1,5.0,22.0的条件下，对具有时不变动态输出反馈的闭
环系统的解进行了数值模拟。同时ml1，反馈控制器的零初始条件为


'/2.01.0/2.00.100sradradsmm，

然后进行仿真模拟，我们知道：

5.0,5011rm
，则
200112l

mr


；