状态反馈镇定(5/12)
| sI (A BK) || sI1 (A11 B1K1) | | sI2 A22 |
(6 20)
比较式(6-18)与式(6-20),可以发现:
引入状态反馈阵 K [K1 K2 ]后,只能通过选择 K1 来
使得 (A11 B1K1) 的特征值具有负实部,从而使能控子 系统 c 渐近稳定。
证明 (1) 若系统(A,B,C)不完全能控,可以通过线性变换将其 按能控性分解为:
A~

Pc1 APc


A~11
A~12 ~

0 A22
B~

Pc1 B


B~1
0

C~ CPc [C~1 C~2 ]
其中,c (A11, B1,C1) 为完全能控子系统; nc (A22 ,0,C2 )为完全不 能控子系统。
1

1 0 1
状态反馈镇定(9/12)
于是可得
1 0 0
A

Pc1 APc

1
2
1 ,
0 0 1
1 0
B

Pc1B

0
1
0 0
原系统的能控性分解为
1 0 0
1 0

x1 x2


1 0
2 0
因此,也就肯定可以通过状态反馈矩阵K将系统的闭环极 点配置在s平面的左半开平面之内,即闭环系统是镇定的。
故证明了,完全能控的系统,必定是可镇定的。
状态反馈镇定(3/12)
定理4-4 若系统(A,B,C)是不完全能控的,则线性状态反馈使 系统镇定的充要条件是系统的完全不能控部分是渐近稳定的, 即系统(A,B,C)不稳定的极点只分布在系统的能控部分。
状态反馈镇定(4/12)
(2) 由于线性变换不改变系统的特征值,故有:
| sI A || sI A | sI1 A11 0
A12 sI2 A22
| sI1 A11 | | sI2 A22 |
(3) 由于原系统(A,B,C)与结构分解后的系统 (A, B,C) 在稳定 性和能控性上等价,假设K为系统的任意状态反馈矩阵,对 引入状态反馈阵 K~ KPc [K~1 K~2],可得闭环系统的系统矩阵 为
具有一组稳定特征值。
步3: 计算原系统(A,B,C)可镇定的状态反馈矩阵
K [K1 0] Pc1
例4-6 给定线性定常系统
0 1 2 0 1 x 0 1 0 x 1 0u
1 1 1 0 1
试设计状态反馈矩阵K,使系统镇定.
状态反馈镇定(8/12)
u Kx v
使得闭环系统状态方程
x (A BK)x Bu
是镇定的,其中K为状态反馈矩阵,v为参考输入。
状态反馈镇定(2/12)
对是否可经状态反馈进行系统镇定问题,有如下2个定理。
定理4-3 状态完全能控的系统(A,B,C)可经状态反馈矩阵镇
定。

证明 根据状态反馈极点配置定理4-1,对状态完全能控的系 统,可以进行任意极点配置。
A
Pc1 APc


A11
0
A12

,
A22
B

Pc1B


B1 0

其中,
(
~ A11,
B~1Biblioteka )为完全能控部分,
(A22,0) 为完全不能控部分但
渐近稳定。
状态反馈镇定(7/12)—例6-6
步2:
利用极点配置算法求取状态反馈矩阵 K1
,使得
~ A11

B~1K~1
系统镇定(2/3)
最后,稳定性往往还是确保控制系统具有其它性能 和条件,如渐近跟踪控制问题等。
镇定问题是系统极点配置问题的一种特殊情况,它只要求把
闭环极点配置在s平面的左侧,而并不要求将极点严格配置
在期望的极点上。
为了使系统稳定,只需将那些不稳定因子,即具有非负实 部的极点,配置到s平面的左半开平面即可。
(
A11
,
B1
)


1
2 , 0
1


设A*
为具有期望特征值的闭环系统矩阵且 A*

~ A11

B~1K~1,
解: 1) 对系统进行能控性分解。
0 1 1 2
rankB AB rank1 0 1 0 2 n 3
0 1 1 2
表明系统不完全能控.
取能控性分解变换矩阵Pc为:
0 1 1 Pc 1 0 0 ,
0 1 0
0 1 0
Pc1 0 0

但
K 的选择并不能影响不能控子系统的

特征值
nc
分布。
因此,当且仅当渐近稳定时(的特征值均具有负实部), 整个系统是状态反馈能镇定的。
从而定理得证。

状态反馈镇定(6/12)
基于线性系统能控结构分解方法和状态反馈极点配置方法, 可得到如下状态反馈镇定算法。
状态反馈镇定算法:
步1: 将可镇定的系统(A,B,C)进行能控性分解,获得变换矩 阵Pc,并可得到
A

BK


A11
0
A12 A22



B1 0


K1
K2



A11
B1K1 0
A12

B1K2

A22

| sI A || sI1 A11 | | sI2 A22 | (6 18)
进而可得闭环系统特征多项式为:
因此,通过状态(输出)反馈矩阵使系统的特征值得到相 应配置,把系统的特征值(即的特征值)配置在平面的左 半开平面就可以实现系统镇定。
下面分别介绍基于 状态反馈 输出反馈
的2种镇定方法。
系统镇定(3/3)
状态反馈镇定(1/12)
4.3.1 状态反馈镇定
线性定常连续系统状态反馈镇定问题可以描述为: 对于给定的线性定常连续系统(A,B,C),找到一个状态反 馈控制律:
1 1

x1 x


0 0
1 u 0
由于该系统的不能控部分只有一个具有负实部的极点-1, 因此不能控子系统是稳定的,系统是可镇定的。
状态反馈镇定(10/12)
2) 对能控部分进行极点配置 由上可知,系统的能控部分为
1 0 1 0