衡阳市八中2017届高三第六次月考试题（理科数学）一.选择题（每小题只有一个正确答案。

本大题共60分） 1已知复数z 满足11zi z-=+，则||z =（ ）A 1 BC 2D 2.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）3.已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x >；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件则下列命题为真命题的是（ ）.A p q ∧.B p q ⌝∧⌝.C p q ⌝∧.D p q ∧⌝4.以下四个命题中：①在回归分析中，用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大,模拟的拟合效果越好； ②设ξ～2(0,)N σ，且1(1)4P ξ<-=，则1(01)4P ξ<<=； ③若数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的方差为1，则12x ，22x ，32x ，…，2n x 的方差为2；④对分类变量x 与y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 45.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：由上表求得回归方程9.49.1y x ∧=+，当广告费用为3万元时销售额为（ ） A ．39万元 B ．38万元 C ．38.5万元 D ．37.3万元6．.执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为()A 3B 4C 5D 67．设()[)[]21,11,1,2x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则()21f x dx -⎰的值为（ ）A. 423π+ B. 32π+C. 443π+ D. 34π+8.在矩形ABCD 中，2AB AD =，在CD 上任取一点P ，ABP ∆的最大边是AB 的概率是（ ）A2B 2119设M 是△ABC 内一点，且23AB AC ⋅=30BAC ∠=︒，定义()(,,)f M m n p =，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若1()(,,)2f M x y =，则14x y+的最小值是（ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．1810.已知函数y=f(x)(x ∈R )满足f(x+1)=f(x-1)且当x ∈[-1,1]时，f(x)=x 2，则函数5()log y f x x =-的零点个数为( ) A. 2B. 3C. 4D. 511.如图，在四面体ABCD 中，DA ＝DB ＝DC ＝1，且DA,DB,DC 两两互相垂直，点O 是△ABC 的中心，将△DAO 绕直线DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与BC 所成角的余弦值的取值范围是（ ） A ．]36,0[ B ．]23,0[ C ．]22,0[ D ．]33,0[12．已知定义在R 上的函数)(x f 和)(x g 分别满足222'(1)()2(0)2x f f x e x f x -=⋅+-⋅，0)(2)('<+x g x g ，则下列不等式成立的是（ ）A.(2)(2015)(2017)f g g ⋅<B.(2)(2015)(2017)f g g ⋅>C.(2015)(2)(2017)g f g <⋅D.(2015)(2)(2017)g f g >⋅二．填空题（每小题5分.共20分）13.若变量,x y 满足约束条件4400y x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值是__ __．14.在5(21)(1)x x +-的展开式中含3x 项的系数是___________（用数字作答）15.如图.小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量OA 围绕着点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则=6+6θcos θsin .16．对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++（0a ≠），给出定义：设'()f x 是()f x 的导数，''()f x 是'()f x 的导数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探索发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数32115()33212f x x x x =-+-，请你根据这一发现，计算1220152016()()()()201720172017217f f f f ++++=…．三．解答题17（12分）在△ABC 中.角A,B,C 所对的边分别为a,b,c. 函数f(x)=2sin(x-A)cosx+sin(B+C) .(x ∈R )，f (x )的图象关于点(,0)6π对称．(Ⅰ)求角A 的大小； (Ⅱ)若a=7且sin sin 14B C +=，求△ABC 的面积． 18.（12分）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的A 县推进光伏发电项目．在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．（1）在抽到的样本中，再从用电量分布在(]600,1000的20户中随机抽取2户作问卷调查。

记该2户用电量在(]800,1000内的户数为ξ，求ξ分布列。

（2）在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，求X 的数学期望；（3）已知该县某山区自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度进行收购．经测算以每千瓦装机容量年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？(注：以统计表中每个区间的中点值（如用电量在(]0,200内，取100度）作为该区间的平均值，进行估计)。

19（12分）．如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，ABE ∆为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，222AB CD BC ===，P 为CE 中点．（1）求证：AB ⊥DE ；（2）求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值；20（12分）．已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n N ∈满足1112n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满足()*21320,5n n n b b b n N b ++-+=∈=，其前9项和为63．（1）令n nn n nb ac a b =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T （2）将数列{}{},n n a b 的项按照“当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，n b 放在前面”的要求进A BECD P·行“交叉排列”，得到一个新的数列：11223344556,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b b ，，求这个新数列的前n 项和n S ．21（12分）．已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴交于点M （M 异于原点），()x f 在M 处的切线为1l ，()1-x g 图象与x 轴交于点N 且在该点处的切线为2l ，并且1l 与2l 平行.（Ⅰ）求(2)f 的值；（Ⅱ）已知实数R t ∈，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；（Ⅲ）令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分． 22.（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数）相交于不同的两点A 、B ． （I ）若3πα=，求线段AB 的中点的直角坐标；（II ）若直线l 的斜率为2，且过已知点(3,0)P ，求||||PA PB ⋅的值．23（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知函数()|||3|f x x a x =-+-（3a <）． （I ）若不等式()4f x ≥的解集为1{|2x x ≤或9}2x ≥，求a 的值． （II ）若对x R ∀∈，()|3|1f x x +-≥，求实数a 的取值范围．衡阳市八中2017届高三第六次月考试题（理科数学）1A2.B【解析】因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.所以其正视图和侧视图是一个圆，因为俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选B. 3.D 4.B ． 【解析】①：根据相关指数的意义可知①正确；②：根据正态分布的特征可知其是正确的；③：方差应为4，故③错误；④：2k 的观察值越小，x 与y 有关系的把握程度越小，故④错误，故正确的命题有2个，故选B ． 5.A【解析】由题意得，4235742x +++==，49265412944y yy ++++==，即数据的样本中心点为7129(,)24y +，代入回归直线方程，得12979.49.142y +=⨯+，解得39y =，故选A. 6．B 7A【解析】由已知得：212211()(1)f x dx x dx --=+-⎰⎰⎰ ，令y =()2210x y y +=≥，知：曲线y =1为半径的圆处在x 轴上方部分的半圆，由定积分的几何意义知：1211122ππ-=⨯=⎰， 又223233111114(1)()|(22)(11)3333x dx x x -=-=⨯--⨯-=⎰，2122114()(1)23f x dx x dx π--∴=+-=+⎰⎰⎰ 8.D ．分别以A 、B 为圆心，AB 为半径作弧，交CD 于1P 、2P ，则当P 在线段12PP 间运动时，能使得ABP ∆的最大边是AB，易得1．121PP CD=，即ABP ∆的最大边是AB 的概率是9.D【解析】：因23AB AC ⋅=,故32cos =A bc ,即4=bc ,故121421=⨯⨯=∆ABC S ,由题设可得121=++y x ,即21=+y x , 所以14x y+18)225(2)441(2)41)((2=⨯+≥+++=++=y xx y y x y x ,故应选D.10.C11.A试题分析：因为O 为三角形ABC的外心，2sin 60AC OA OA =∴=DA,DB,DC两两互相垂直得3AC OA =∴==由DA ＝DB ＝DC ，点O 是△ABC 的中心可得DO ⊥平面ABC ,所以DA 与平面ABC 所成的角为DAO ∠,cos AO DAO AD ∴∠==,将DAO ∆绕直线DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与平面ABC 所成的角不变；当DA 旋转到'DA 时，过'A 作平行于BC 的直线'A E ,这样直线'DA 与BC 所成角转化为直线'DA 与'A E 所成角；设'A E 与'A O 所成的角为,0,2παα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，直线'DA 与'A E 所成角为θ，由三余弦定理'''cos cos cos DAO OA E DA E ∠⋅∠=∠'cos cos cos DAO αθ∴∠⋅=,因为[]0,cos 0,12παα⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎣⎦cos DAO ∠=cos θ⎡∈⎢⎣⎦因此选A ．A BD PCP 1 P 212.D【解析】：()()()221220x f x f ex f -''=+-，所以()()()11220f f f ''=+-，()01f =，()222x f x e x x =+-，设()()2x F x e g x =，()()()()()22222x x x F x g x e g x e e g x g x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，由于()()20,20x e g x g x '>+<，()0F x '<恒成立，所以()F x 单调递减，所以()()20152017F F >，()42f e =，故有()()220152201720152017e g e g ⨯⨯>，即()()420152017g e g >，因此(2015)(2)(2017)g f g >⋅,故选D.二．填空题（每小题5分.共20分）13. 6 14.223355(1)2(1)10C C -+-=-15.【答案】-116【解析】：由已知可得2'()3f x x x =-+， 令11''()210()122f x x x f =-=⇒=⇒=⇒()f x 的图象关于点1(,1)2，即当121x x +=时，12()()2f x f x +=⇒原式101322016=⨯=．三．解答题17（12分）【解析】(Ⅰ)f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C ) ＝2(sin x cos A －cos x sin A )cos x ＋sin A ＝2sin x cos x cos A －2cos 2x sin A ＋sin A ＝sin 2x cos A －cos2x sin A ＝sin(2x －A )，由函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝0，又0＜A ＜π，故A ＝π3，…………………………6分(Ⅱ)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝143，则sin B ＝314b ，sin C ＝314c ，所以sin B ＋sin C ＝314(b ＋c )＝13314，即b ＋c ＝13， 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得49＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，从而bc ＝40， 则△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3.………………………12分18.（12分）解：（1）ξ的可能值为:0,1,2P(ξ=0)=02515220105190C C C ⋅= P(ξ=1)=1151522075190C C C ⋅= P(ξ=2)=2051522010190C C C ⋅= 即………………………………………………………………………………………4分 （2）记在该县山区居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A ．则3()5P A =． 由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X 服从二项分布，即3~(10,)5X B ，故3()1065E X =⨯=．………………………………8分 （3）设该县山区居民户年均用电量为()E Y ，由抽样可得51510155()1003005007009005005050505050E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（度） 则该自然村年均用电约150000度．又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150000度，能为该村创造直接收益120000元．……………………………………………………………………12分19（12分）．（1）证明：取AB 中点O ，连结,OD OE ， 因为△ABE 是正三角形，所以AB OE ⊥.因为四边形ABCD 是直角梯形，12DC AB =，//AB CD ， 所以四边形OBCD 是平行四边形，//OD BC ，又AB BC ⊥，所以 AB OD ⊥.所以AB ⊥平面ODE ，所以AB DE ⊥.……………………………………………4分 （2）解：因为平面ABCD ⊥平面ABE ，AB OE ⊥，所以OE ⊥平面ABCD ，所以OE OD ⊥.如图所示，以O 为原点建立空间直角坐标系.………………6分 则(1,0,0)A ，(1,0,0)B -，(0,0,1)D ，(1,0,1)C -，E 所以 =(1,0,1)AD -,1)DE -， 设平面ADE 的法向量为1n 111=(,,)x y z ，则1100DE AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 111100z x z -=⇔-+=⎪⎩， 令11z =，则11x =,1y =.所以1n =.…………………………8分同理求得平面BCE 的法向量为2n =(,0)，…………………………10分 设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ，则cos θ1212⋅=n n n n =.…11分 所以平面ADE 与平面BCE ……………12分20（12分）．解：（1）∵1112n n A A n n +-=+，∴数列n A n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列， ∴()11111222n A A n n n =+-⨯=+，即()()*12n n n A n N +=∈， ∴()()()()*11121122n n n n n n n a A A n n N +++++=-=-=+∈，又11a =，∴()*n a n n N =∈．…………………………2分∵2120n n n b b b ++-+=，∴数列{}n b 是等差数列， 设{}n b 的前n 项和为n B ，∵()3799632b b B +==且35b =， ∴79b =，∴{}n b 的公差为()*73951,27373n b b b n n N --===+∈--…………4分 2112222n n n n n b a n n c a b n n n n +⎛⎫=+=+=+- ⎪++⎝⎭，∴12111112213242n n T c c c n n n ⎛⎫=+++=+-+-++- ⎪+⎝⎭1111122123221212n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=+-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，…………………8分（2）数列{}n a 的前n 项和()12n n n A +=，数列{}n b 的前n 项和()52n n n B +=， ①当()*2n k k N =∈时，()()215322n k k k k k k S A B k k ++=+=+=+； ②当()*41n k k N =+∈时， ()()()2212212222548122n k k k k k k S A B k k ++++=+=+=++， 特别地，当1n =时，11S =也符合上式；③当()*41n k k N =-∈时，()()22122122254422n k k k k k k S A B k k --+=+=+=+． 综上：22*213,24263,43,465,414n n n n k n n S n k k N n n n k ⎧+=⎪⎪+-⎪==-∈⎨⎪⎪++=-⎪⎩…………………………12分 21（12分）【解析】（1）()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =- (1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1'(1)1g x x -=- 由题意可得12l l k k =，即1a =，∴2(),f x x x =-，2(2)222f =-=………………2分（2）2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+- 令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>，∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤ 22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122t u -=，抛物线开口向上①当1202t u -=≤即12t ≥时，2min 0|u y y t t ===- ②当122t u e -=≥即122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ③当1202t e -<<即12122e t -<<时， 22min 12212121|()(21)224t u t t y y t t t -=--==+-+-=- 综上：当122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ； 当12122e t -<<min 14y =-； 当12t ≥时，2min 0|u y y t t ===-…………7分 1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x -=-=≥1x ≥得 所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0 ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈，∴ 由)(x f 的单调性知0<1()()F x F α<、2()()F F x β<从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设.②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤，∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符.∴综合①、②、③得(0,1)m ∈………………………………12分22.（10分）解：（I ）由曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数），可得C 的普通方程是221x y -=． ……2分 当3πα=时，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入曲线C 的普通方程，得26160t t --=，……3分得126t t +=，则线段AB 的中点对应的1232t t t +==， 故线段AB的中点的直角坐标为9(2．……5分 （II ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得222(cos sin )6cos 80t t ααα-++=，……7分 则21222288(1tan )||||||||||cos sin 1tan PA PB t t αααα+⋅===--，……9分 由已知得tan 2α=，故40||||3PA PB ⋅=．……10分 23（10分）解：（I ）由已知得23,()3,323,3x a x a f x a a x x a x -++<⎧⎪=-≤<⎨⎪-->⎩，……2分 当x a ≤，即34a x x -+-≥，得12a x -≤；……3分 当3x >，即72a x +≥，……4分 由已知()4f x ≥的解集为1{|2x x ≤或9}2x ≥，则显然2a =．……5分 （II ）不等式()|3|1f x x +-≥恒成立，即||2|3|1x a x -+-≥恒成立．……6分当x a ≤时，即350x a -++≥恒成立，得350a a -++≥，解得52a ≤；……7分 当3a x <≤，即50x a --+≥恒成立，得350a --+≥，解得2a ≤；……8分 当3x ≥，即370x a --≥恒成立，得970a --≥，解得2a ≤．……9分 综上得2a ≤．……10分。