数列的极限、数学归纳法一、知识要点 （一） 数列的极限1.定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|<ε恒成立，则称常数A 为数列{a n }的极限，记作A a n n =∞→lim .2.运算法则：若lim n n a →∞、lim n n b →∞存在，则有lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±；lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅)0lim (lim lim lim ≠=∞→∞→∞→∞→n n n n nn nn n b b a b a 3.两种基本类型的极限：<1> S=⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→)11()1(1)1(0lim a a a a a nn 或不存在 <2>设()f n 、()g n 分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为p a 、p b 且)(0)(N n n g ∈≠,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=∞→)()()(0)()(lim q p q p b a q p n g n f qpn 不存在4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：11a S q=- （|q|<1） 无穷数列{a n }的所有项和：lim n n S S →∞= （当lim n n S →∞存在时）（二）数学归纳法数学归纳法是证明与自然数n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为： ①验证命题对于第一个自然数0n n = 成立。
②假设命题对n=k(k ≥0n )时成立,证明n=k+1时命题也成立. 则由①②,对于一切n ≥ 0n 的自然数,命题都成立。
二、例题（数学的极限）例1.（1）∞→n lim 112322+++n n n = ;（2）数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且n n n b a ∞→lim=3,则122lim nn na a a nb →∞+++=（3）∞→n lim nn a a +-+211(a>1)= ;（4）2221321lim()111n n n n n →∞-++++++= ;（5）)2(lim 2n n n n -+∞→= ;（6）等比数列{a n }的公比为q =─1/3,则nnn a a a a a a 24221lim++++++∞→ = ;例2．将无限循环小数∙∙21.0；1.32∙∙21化为分数.例3．已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值; 例4．数列{a n },{b n }满足∞→n lim (2a n +b n )=1, ∞→n lim (a n ─2b n )=1,试判断数列{a n },{b n }的极限是否存在，说明理由并求∞→n lim (a n b n )的值.例5．设首项为a ，公差为d 的等差数列前n 项的和为A n ,又首项为a,公比为r 的等比数列前n 项和为G n ,其中a ≠0,|r|<1.令S n =G 1+G 2+…+G n ,若有lim()n n n A S n→∞-=a,求r 的值.例6．设首项为1，公比为q(q>0)的等比数列的前n 项之和为S n ,又设T n =1(1,2,)n n S n S +=,求n n T ∞→lim .例7．{a n }的相邻两项a n ,a n+1是方程x 2─c n x+n )31(=0的两根，又a 1=2,求无穷等比c 1,c 2,…c n , …的各项和.例8．在半径为R 的圆内作内接正方形，在这个正方形内作内切圆，又在圆内作内接正方形，如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。
例9．如图，B 1，B 2，…，B n ,…顺次为曲线y=1/x(x>0)上的点，A 1，A 2，…，A n …顺次为ox 轴上的点，且三角形OB 1A 1，三角形A 1B 2A 2，三角形A n─1B n A n 为等腰三角形（其中∠ B n 为直角),如果A n 的坐标为(x n ,0). (1)求出A n 的横坐标的表达式; (2)求||||lim 11n n n n n A A A A -+∞→.二．例题（数学归纳法）例1．用数学归纳法证明2n>n 2(n ∈N,n ≥5),则第一步应验证n= ; 例2．用数学归纳法证明)1,(,12131211>∈<-++++n N n n n ,第一步验证不等式 成立；例3.是否存在常数a,b,c,使得等式1·22＋2·32＋……＋n(n ＋1)2＝12)1(+n n (an 2＋bn ＋c)对一切自然数n 成立？并证明你的结论.(89年) 例 4.已知数列{a n }=n131211++++ ,记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ,用数学归纳法证明S n =(n+1)a n -n. 例5．证明：n 2131211++++>22+n (n ∈N,n ≥2) 例6．证明：x n─na n─1x+(n─1)a n 能被(x─a)2整除(a ≠0).例7.在1与2之间插入n 个正数n a a a a ,,,,321 ，使这2+n 个数成等比数列；又在1与2之间插入n 个正数n b b b b ,,,,321 使这2+n 个数成等差数列．记n n n n b b b b B a a a a A ++++== 321321,．（Ⅰ）求数列{}n A 和{}n B 的通项；（Ⅱ）当7≥n 时，比较n A 与n B 的大小，并证明你的结论．例8．若数列{a n }满足对任意的n 有：S n =2)(1n a a n +,试问该数列是怎样的数列？并证明你的结论.例9．已知数列{}b n 是等差数列，b b b b 112101145=+++=，…。
（Ⅰ）求数列{}b n 的通项b n ；（Ⅱ）设数列{}n a 的通项a b n a n =+⎛⎝⎫⎭⎪log 11（其中a >0，且a ≠1），记S n 是数列{}a n 的前n 项和。
试比较S n 与131log a n b +的大小，并证明你的结论。
练习（数列的极限）1. 已知{a n }是等比数列,如果a 1＋a 2＋a 3＝18,a 2＋a 3＋a 4＝－9,S n ＝a 1＋a 2＋……＋a n ,那么n n S ∞→lim 的值等于( )(89年)(A)8(B)16(C)32(D)482. )]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 的值等于( )(91年) (A)0(B)1(C)2(D)33.在等比数列{a n }中,a 1＞1,且前n 项和S n 满足nn n a 1S lim =∞→,那么a 1的取值范围是( )(98年) (A)(1,＋∞)(B)(1,4)(C)(1,2) (D)(1,2)7.lim(n n nn →∞++++++236236236222 )等于 ( ) (A)0 (B) ∞ (C)32(D)5 8．122321222)2221(lim -∞→+++++++n nn n n n C C C 等于：（A ）16 （B ）8 （C ）4（D ）29． 已知各项均为正数的等比数列{a n }的首项a 1=1,公比为q ,前n 项和为S n ,nn n S S 1lim +∞→=1,则公比q 的取值范围是：（A ）.q ≥1 （B ）.0<q ≤1 （C ）.0<q <1 （D ）.q >110.⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋯++++∞→32323221lim n n n n n n n n 的值为 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)不存在 11.已知{a n }是公差不为0的等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，那么nnn S na lim ∞→等于___.12.已知等差数列{a n }的公差d ＞0，首项a 1＞0，S n n n1i 1i i n S lim 则,a a 1∞→=+∑=＝______.(93年) 13.如果n n a ∞→lim 存在，且9423lim=+-∞→nn n a a ，则n n a ∞→lim ＝________14.11)2(3)2(3lim+-∞→-+-+n n n n n ＝____________.(86年)15.)1n 2n1n 31n 21n 1(lim 2222n ++++++++∞→ ＝____________.(87年) 16.已知等比数列{an}的公比q ＞1，a 1＝b(b ≠0)，则n876n321n a a a a a a a a lim ++++++++∞→ ＝___.17．求nn nn n a a a a --∞→+-lim = （a >0);18．数列∙∙81.0,∙∙8100.0,∙∙810000.0,…的前n 项和及各项和S= .19.∞→n lim nn n 21)1(21211212121122⋅-+-+-++++.= .20.已知数列a 1,a 2,……a n ,……的前项和S n 与a n 的关系是S n ＝－ba n ＋1－nb)(11+,其中b 是与n 无关的常数,且b ≠－1； Ⅰ.求a n 和a n ＋1的关系式; Ⅱ.写出用n 和b 表示a n 的表达式; Ⅲ.当0＜b ＜1时,求极限lim n →∞S n .(87年)21．在边长为a 的正方形ABCD 中内依次作内接正方形A i B i C i D i (i=1,2,3,…),使内接 正方形与相邻前一个正方形的一边夹角为α,求所有正方形的面积之和.22．已知直线L ：x─ny=0(n∈N),圆M ：(x+1)2+(y+1)2=1,抛物线φ:y=(x─1)2,又L 与M交于点A 、B ，L 与φ交于点C 、D ，求22||||lim CD AB n ∞→.23.设a 1)n(n 3221n +++⋅+⋅= (n ＝1,2,3……),b 1)n(n a nn += (n ＝1,2,3……),用极限定义证明21lim =∞→n n b .(85年)练习（数学归纳法） 1．由归纳原理分别探求：(1)凸n 边形的内角和f(n)= ; (2)凸n 边形的对角线条数f(n)= ;(3)平面内n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n 个圆分平面区域数f(n)= .2．平面上有n 条直线，且任何两条不平行，任何三条不过同一点，该n 条直线把平面分成f(n) 个区域，则f(n+1)=f(n)+ .3．当n 为正奇数时，求证x n +y n被x+y 整除，当第二步假设n=2k─1时命题为真，进而需验证n= ，命题为真。