不等式、数列、极限与数学归纳法湖南省常德市一中曹继元不等式、数列是高中数学的主干知识，也是高考的重点内容之一，每年都有与此相关的大题。

其中，选择题和填空题一般以考查基础知识、基本方法为主，而解答题以考查数学思想方法、思维能力、以及创新意识为主。

总体看来，本节内容对运算能力和逻辑推理能力有较高的要求。

预测今年高考关于这一部分的内容, 仍然是以考能力为主，稳中有变，“小”中有新。

与往年一样，可能出现基本题型、综合题型、应用题型等，个别题型还将会命出新意，把不等式、数列知识和现实生活、市场经济、理化生知识等紧密结合起来，甚至还会出现有较新创意的应用型题目。

因此，我们必须引起高度重视。

1.不等式.1.1 近三年湖南省高考考查情况统计1.2 近三年考查情况分析从近三年的高考湖南卷来看，虽然每年都有几道不等式的题，但大都是将不等式融入其它知识之中。

一般来讲，选择题、填空题主要考查不等式性质、简单不等式的解法、函数最值的运用。

解答题主要考查与不等式有关的基础知识、基本方法，以及运用相关知识去分析问题和解决问题的能力。

不等式作为工具知识，在高中数学的各个分支中都有广泛的应用。

如确定函数的定义域、值域，确定函数的最值，确定集合的子集关系，确定方程的解等，无一不与不等式有着密切的关系。

而不等式中往往蕴含有多种数学思想方法，如等价转化、分类讨论、数形结合、函数方程的思想方法，极易使得不等式与其它知识融会交融，体现“在知识交汇处设计命题”的特点，符合“多考一点想，少考一点算”的命题理念，也能有效的测试考生的“逻辑思维能力、运算能力、以及分析问题和解决问题的能力”。

所以，我们复习时，要以此为重点，强化训练，提高能力。

1.3 今年考情预测①不等式仍将是高考数学的重点内容之一。

选择题、填空题的难度不会增大，重在基础知识、基本方法的考查，但命题角度会有所变化，设问方式会有所创新，考查内容主要分布在不等式的性质、简单不等式的解法、不等式与集合、不等式与函数、不等式与方程等知识点中。

解答题仍将以能力考查为主，重在考查代数推理能力，常以高中代数的主要内容（函数、方程、不等式、数列、导数、极限、数学归纳法）以及交叉综合内容为知识背景设计问题，主要考查含参数不等式的解法、均值不等式的运用、取值范围的求法等知识点，不排除应用题中直接涉及不等式相关知识的可能。

②以不等式为中心设计函数、方程、不等式的综合题的可能性仍然较大，特别是含绝对值的函数、二次函数、指数函数、对数函数的问题，要注意转化为方程的问题或者是不等式的问题。

③不等式的证明方法仍将以“先分析再综合、先比较再综合”的方法为主，充分体现由知识立意转变为能力立意的命题方向，加大对推理论证能力的考查，重点检测学生的逻辑思维能力和综合素质。

1.4 题型分析与求解策略①关于解不等式。

尽管不会出现单纯解不等式的题，但求解不等式的过程仍然会体现在其它的解题之中。

我们要尽快的通过等价变形，灵活、准确的解出不等式来。

特别是“不等式的解的区间的边界点问题的讨论”、“解含参数的不等式”和“已知不等式的解的集合，求参数的值或范围”的题型要引起高度注意。

例1.若关于x 的不等式a xax >-1的解集为M ，且M ∉2,则a 的取值范围是（ ） ),41.(+∞A ),41.[+∞B )21,0.(C ]21,0.(D 分析：M ∉2，即a a ≤-212，得41≥a 。

选B. 例2.若R b a ∈,,则不等式b x ax +≥+22的解集为R 的充要条件是（ ）A.2±=aB.2±==b aC.,4=ab 且2≤aD.,4=ab 且2≥a 分析：b x ax +≥+22的解集为R 的充要条件是：2222b x ax +≥+对R x ∈恒成立，所以⎩⎨⎧≤∆≥-0042a ，化简得D.例3. 若不等式0)21(log 2>+-x ax a 对]23,1[∈x 恒成立，则实数a 的取值范围 是（ ） A ．)98,21(B ．),23()98,(+∞-∞ C ．),23()98,21(+∞ D ．),21(+∞ 分析：当底数1>a 时，需1212>+-x ax ,对]23,1[∈x 恒成立，那么，分离参数与变量后，就成了：2211x x a ->，再要a 大于它的最大值，令2211x x y -=，求得23max =y ，所以23>a ；同理，当底数10<<a 时，需12102<+-<x ax ,对]23,1[∈x 恒成立，求得9821<<a 。

综上所述，选C 。

例4. 设,2)(2x x f -=若b a <<0,且)()(b f a f =,则ab 的取值范围是（ ） A ．)2,0( B ．(]2,0 C ．(]4,0 D ．)4,0(分析：从图象来看，有2222-=-b a ，即02422>>=+ab b a ，故选A. 例5.若关于x 的不等式0)3)(1(1>+++x x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<<-1,13x a x x 或，,则a 的取值范围是（ ）A.)3,1(B.)1,3(--C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,1D.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31 分析：从边界点来看，需113-<-<-a ，解得131<<a ，故选D. ②关于证明不等式。

尽管证明不等式的方法有很多，但我们首先要重点掌握好分析法、比较法、综合法、放缩法等多种基本方法的灵活运用，在此基础上。

再适时选择换元法、反证法、数学归纳法、导数法、函数的单调性法、判别式法等其它方法。

在分析要证的不等式时，要先进行有效合理的变形，抓住要害，给出证明。

例6.设ABC ∆是锐角三角形，求证：)sin(1)sin(1)sin(12sin 12sin 12sin 1A C C B B A C B A +++++≥++。

分析：从对称性考虑，先证：)sin(22sin 12sin 1B A B A +≥+. ∵在锐角三角形ABC ∆中，02sin ,2sin >B A , ∴BB A A B A B A cos sin cos sin 12sin 2sin 122sin 12sin 1=≥+ )sin(2sin cos cos sin 2B A B A B A +=+≥。

同理有 )sin(22sin 12sin 1C B C B +≥+,)sin(22sin 12sin 1A C A C +≥+，三式相加，得证。

③关于不等式的应用。

我们要重点掌握：在等式条件下或不等式条件下求取值范围（或最值）的方法；应用均值不等式求最值的方法；应用不等式的相关知识，求解子集问题和函数中的单调性问题；方程的根的范围问题等。

例7. 已知集合A ＝{|(2)[(31)]0}x x x a --+<，B ＝22{|0}(1)x a x x a -<-+. （1）当a ＝2时，求A B ； （2）求使B ⊆A 的实数a 的取值范围.解：（1）当a ＝2时，A ＝（2，7），B ＝（4，5）∴ A B ＝（4，5）（2）若1=a ，则 B=Φ,B ⊆A 成立；若1≠a ，则 B ＝（2a ，a 2＋1），当a ＜13时，A ＝（3a ＋1，2）要使B ⊆A ，必须223112a a a ≥+⎧⎨+≤⎩，此时a ＝－1； 当a ＝13时，A ＝Φ，使B ⊆A 的a 不存在； 当a ＞13时，A ＝（2，3a ＋1），要使B ⊆A ，必须222131a a a ≥⎧⎨+≤+⎩，此时1≤a ≤3. 综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围为[1，3]∪{－1} 。

例8.已知函数()x f 是定义在R 上的增函数，设函数()()()x f x f x g --=2。

（1）若关于x 的方程：0)(2=-+a x x g 有解，求实数a 的取值范围；（2）解不等式：0)1()(log 2>-+x g x g 。

分析：（1）由()x f 是定义在R 上的增函数，得)(x g 也是定义在R 上的增函数，且0)1(=g ， 0)(2=-+a x x g 有解，即12=-+a x x 有解，求得4545≤≤-a 。

（2）由已知式得)1()3(--=-x g x g ，所以x x ->3log 2，得2>x 。

例9.若关于x 的不等式04822>---a x x 在41<<x 内有解，求实数a 的取值范围。

分析：设a x x x f ---=482)(2，则不等式4104822<<>---x a x x 在内无解的充要条件是⎩⎨⎧≤≤0)4(0)1(f f ，求得4-≥a ，取其补集得4-<a 。

例10.已知z y x ,,均为正数，且1=++z y x ，试探求m 的取值范围，使得不等式 m zy x <---)11)(11)(11( 对任意的正数z y x ,,均不成立。

分析：由x yz x z y x 211≥+=-，余同，得8)11)(11)(11(≥---zy x ，所以，8<m 。

1.5 典型题训练：1.若关于x 的不等式 x xa x >-ln 2对一切)1,0(∈x 恒成立，则实数a 的取值范围 是（ D ）A ．)1,0(B ．[)∞+,1C ．)2,0(D ．[)∞+,22.若实数y x ,满足条件 824<+yx ，则点),(y x P 恒在（ D ）A. 直线32=+y x 的右上方B.直线42=+y x 的右上方C.直线32=+y x 的左下方D. 直线42=+y x 的左下方 3.若实数y x ,满足条件1162522≤+y x ，则恒有（ B ） A.1622≤+y x B.2522≤+y x C.1622≥+y x D.2522≥+y x4.若ABC ∆的角A 所对的边之长为a ，且 a a A 1sin 2+=， 则ABC ∆的面积的最大值为（ D ） A. 2 B. 1 C.21 D.41 5.若函数)1(log )(2++=ax x x f a 存在最大值，则实数a 的取值范围是（ B ）A.1>aB.10<<aC.21<<aD.20<<a 且1≠a6.设x 、y R ∈，且2220x y x ++<，则（ ）A ．22680x y x +++<B ．22680x y x +++> C ．22430x y x +++< D ．22430x y x +++> 7.给出命题①：若：12221≤+a a ，则()()()1112221222122211-+-+≥-+b b a a b a b a 。