1mn4(m n)mn2(m n)【综合能力训练】 一、选择题1•数列｛a n ｝是等比数列，下列结论中正确的是（ ）A. a n • a n+1 >0B. a n • a n+1 • a n+2>0C. a n • a n+2 >0D. a n • a n+2 • a n+4>02.在等比数列｛a n ｝中，a 1=sec 0 （ B 为锐角），且前n 项和S n 满足lim S n = ，那么B 的n a 1取值范围是（）A. （0,）B. （0,）C. （0,）D. （0,2 3 6 43.已知数列｛a n ｝中，a n =p^（n € N ），则数列｛a n ｝的最大项是（ ）n 156A.第12项B.第13项C.第项或13.D.不存在4.三个数成等差数列，如果将最小数乘 2，最大数加上7,所得三数之积为 1000,且成等比数列，则原等差数列的公差一定是（)A.8B.8 或—15C. ± 8D. ± 15112 12 31 2 915.已知数列｛a n ｝：,+ ,++-, + + …+” , ...那么数列｛2 33 44 410 1010a n ?a n 1的所有项的和为（)A.2B.4C.3D.5n 1| nn 1 . n6.已知a 、b €—•a-> lim n，贝V a 的取值范围是（）nanaA. a>1B. — 1<a<1C.|a|>1D.a>1 或一1<a<0..1 7. lim ( + 1 1+ + …+ 1）的值是（)n4 4 6 4 6 84 6 82n111111A.1B.—C.D. —618248.等差数列｛a n ｝中，a 1o <O,a 11>O ,且 |a 10|<|an|, S n 为其前n 项之和, 则（）A. S 1,S 2,…， S 10都小于零，S 11, S 12, …都大于零B. S 1,S 2,…， S 5都小于零，S 6, S 7,…都大于零C. S 1,S 2,…， S 19都小于零，S 20, S 21 , …都大于零D. S 1,S 2,…， S 20都小于零，S 21 , S 22 , …都大于零9.将自然数1, 2, 3,…，n ,…按第k 组含k 个数的规则分组： (1), (2, 3), (4, 5, 6）,…，那么1996所在的组是（）A.第62组B.第63组C.第64组D.第65组10.在等差数列中，前 n 项的和为S n ,若 S m =2n,S n =2m,(m 、 n € N 且m ^ n ）,则公差d 的值为（ ）4(m n) A.—mnB.—2(mC.—n) mnD.—1A.11 B.-21 1C.—D.—3412.a 、b € R , 且|a|<1,|b|<1，则无穷数列：1,(1+b)a,(1+b+b 2)a 2,…,(1+b+b 2+ •- •+b n — 1)a n — 1的和为( )1A.- (1 a)(1 b)1B.-1 ab2C.D.——(1 a)(1 ab)(1 1a)(1 ab)、填空题N)，记 S n =|Z 2— Z l | + |Z 3— Z 2|+…+|Z n+1 — Z n |,贝U lim S n =n14. ............................................... 在等比数列｛a n ｝中，a i =1,|q|z 1,若a m =a i • a 2 • a 3 ................................................................................................................... a io ，贝U m= ________ 。

15. 数列｛a n ｝是公差为d 丰0的等差数列，若a 1,a 2是方程x 2— a 3x+a 4=0的二根，则通项公 工式a *=16.f(x — 1)=X+X 2+X 3+…+x n (x 丰 0,1)，设 f(x)中 X 的系数为S n ,x 3 的系数为 T n , limnT n S ；4 n三、解答题 17.一个含有7项的数列，它的奇数位置的项顺次成等差数列，偶数位置的项顺次成等 比数列，所有奇数位置的项之和减去第 2项与第6项之积所得的差是42，又首项、末项、 中间项之和为27,求第4项。

X18.设 f n (X)=f{[f …f(x)]…} (n 个 f ), f (x)——2V 1 x 2(1) 求 f 2(x),f 3(x)；(2) 猜想f n (x)，并证明你的结论。

11.设数列｛a n ｝｛b n ｝都是公差不为0的等差数列，且limn汁，b nD2D213•设 z n =(O)n (n €219. 已知a>0且1,数列｛a n｝是首项、公比都为a的等比数列，令b n=a n lga n(n € N)。

(1) 当a=2时，求数列｛b n｝的前n项之和；(2) 当a=6时，数列｛b n｝中从第几项开始每一项总小于它后面的项。

2x x n n20. 已知函数f(x)= 2 (n € N)的最小值为a n,最大值为b n，且c n= (1+3a n b n)。

x x 1 4(1)求数列｛C n｝的通项公式；(2)求证：3 1 n1 1 2 -n 1<k1C k<2 -n（n》2）。

21. 曲线C: xy=1(x>0)与直线l:y=x相交于A i,作A i B i丄I交x轴于B i,作B1A2// I交曲线C于A2…依此类推。

(1)求点A1, A2, A3和B1, B2, B3 的坐标；(2)猜想A n的坐标，并加以证明；(3)1B n B n 1 1(3) limn B n 1 B n322. 设T n为数列｛a n｝前n项的和，T n= ( a n- 1)(n €N)。

数列｛b n｝的通项公式为b n=4n+32(n € N)。

(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)若c€ ｛a1,a2,a3,…,a n,…｝A ｛b1,b2,b3,…,b n…｝,则c称为数列｛a n｝,｛b n｝的公共项，将数(1 *)列｛a n ｝与｛b n ｝的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列 的通项公式为C n =32n+1(n € N);(3) 设数列｛C n ｝中的第n 项是数列｛b n ｝中的第 m 项，B m 为数列｛b n ｝前m 项的和；D n参考答案【综合能力训练】 721.C2.D3.C4.C5.B6.D7.C 8.C9.B10.A11.C12.D13.1+ ——25 14.46 15.a n =2 n 16.—2417.解 设这7个数为：a 1,a 2,a 3,…,a 7,则a 1, a 3,a 5,a 7，成等差数列,a 2,a 4,a 6成等比数列， 依题意有：*1 *3 *5 *7 *2*6 42a 1 a 4 a 7 27解①、②得：*41 ，13或*4”xx18.解 (1 ) f 2(x)= ------------- - ,f 3(x)= ------------ 2V 1 2x 2 Y 1 3x 2(2)f n (x)=x、1 nx 219.解 (1)依题有 a n =a n , • b n =na n lga 。

—a |g a••• Sn=(1+2a+3a 2+ …+na n 1) • alga,可求得 S n = 7 [1 — (1+n — na) • an]｛C n ｝。

证明：数列｛C n ｝ 为数列｛C n ｝前n 项的和，且A n =B m — D n ；求:limnA n① ②1 .13。

1 当 a=2 时，S n =2[1+(n - 1) • 2n ]lg2。

6、k -1 I 6 |.6^66 k . 6(2)令 b k+i >b k , (k € N ), J 则 b k+i — b k =(k+1)・(一)*|g — k *(— )*|g =() *(—77 7 7 7 71 6 6、k6 6 1—7 k) • lg 7 ,T( 7 )k>O,lg 7 <0，而 b k+1>b k ,「. - — 7 k<0。

二 k>6，故从第七项开始每一项总比它后面的项小。

20.解(1)整理已知得：(y — 1)x 2+(y+1)x+(y — n)=0。

二 x € R,0，即△ =(y+1)2—4(y — 1)(y — n) > 0(y 丰 1)，二 3y 2— (4n+6)y+4n — 1 < 0.1由此知：a n ,b n 就是方程3y 2 — (4n+6)y+4n —仁0的两个根，由根与系数的关系得：a n -b n = 3(4n — 1),二 C n =n 2。

3 1-— (n > 2)2 n 1再用同样方法证：0— <2 —丄⑴> 2)。

k 1C k n (1) A 1 (1, 1), A 2 ( J 2 +1, V 2 — 1), A 3 ( V 3 + J2 , V 3 — V 2 )B 1 (2, 0), B 2 (22 ,0), B3 (2 3 , 0)。

(2) A n ( n + . n 1 , •. n — n 1 ),证明略。

由图：A 1 (1 , 1), B 1 (2 , 0)(3)设A n (丄,a n ),B n (b n ,O)b na nlim n a na nb n 1(A n 在直线 y x b n 1上)|BnB n1 1 = lim 沁=lim |B n1B n | n 2a n n分子分母同乘以n 1当 y=1 时，x= , •/ x2，其中｛x|x只是k 的一个子集，即不是所有(2)先证：n1 3 1kg 右-n IC k>1+k21 k(k 1)=1 +1(k —1 k 1)=1+221.解■/ ai=1,b 1=2 且x € R 都满足y=1 ,•••舍去。

nn n2n 12n 1而 B _(d b m )m _(3 3)(3而 B m = = ------------------------87)27(1 9n )27(32n 1);D n ==—- 8(扁+"市)及 n im #£nJ =122.解(1) 3 ta i = — (a i ——1)，— a i =3。

当 2a nn 》2时，a n =T n ——T n ——1可求得：=3。