第二章数列、极限、数学归纳法（2）等比数列【例题精选】:例1：“b 2 = ac ”是a , b , c 成等比数列的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分又不必要条件 分析：由a , b , c 成等比数列⇒b ac 2=；b ac 2=若a , b , c 中有等于零者，a , b , c 不成等比数列，故选（B ） 说明：只有当a , b , c 均不为零时， b ac 2=⇔ a , b , c 成等比数列。

例2：已知数列{}a n 的前n 次和S k k n n =+3(为常数），那么下述结论正确的是 A ．k 为任意实数时，{}a n 是等比数列 B ．k = －1时，{}a n 是等比数列 C ．k = 0时，{}a n 是等比数列 D ．{}a n 不可能是等比数列分析：给出 s k k n n =+3(为常数），可由s n 求出通项a n 来进行判断：n a s k n a s s k k n n n n n n ===+≥=-=+-+=⋅---13123323211111时，时，()()()当n a ==⋅=1223210时，由（）式当a k k 121321=+==-时代入（）式得得,{}∴=-=⋅∈-当时，数列k a n N a n n n 1231()是等比数列，故选（B ）。

小结：解好本题要准确掌握数列的前n 项和S n 与通项a n 关系式a n =s n s s n n n 1112=-≥⎧⎨⎩- 例3：在等比数列{}a n 中，已知a a a a a 132492040+=-+=,,求解：设等比数列的公比为q ，依题意：()()a a q a q a q 112113201402+=-+=⎧⎨⎪⎩⎪()()()()()1211221442102419188÷=-∴=-=-∴==--=-得代入得q q a a a q例4：（1）在等比数列6，…，1458，…，13122，…中，1458是第n 项， 13122是第2n －4项，求公比q 。

（2）已知等比数列前10项的和是10，前20项的和是30，求前30项的和。

解：（1）依题意6145816131222125⋅=⋅=⎧⎨⎪⎩⎪--q q n n ()()由()()124331得q n -=()()()()()21943427343÷=÷=∴=-得得q q q n（2）等比数列记为{}a q n ,公比为a q q a q q1101201110111302()()()()--=--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()()()()()211321111110124701010301301101020÷+=∴=∴=--=--++=⨯++=得q q s a q q a q qq q例5：试求一个正数，使它的小数部分，整数部分及这个正数自身依次成等比数列。

解：设整数部分为n ，小数部分为t ，则所求正数为n+t ．若成等比数列，则有即且t n n t n t n tnn t t n t ,,+=+=+≠1011212<+<∴<<t n nt即t n t n t <<∴<<<<20201() n N n ∈∴=1 即解得111512t tt =+=-∴+=+n t 512例6：若有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为37，第二个数与第三个数的和是36，求这四个数。

分析：前三个数成等差数列，可没有a －d ，a ，a+d ，那么第四个数用等比中项得()a d a +2；若光考虑后三个数成等比数列，可设后三个数依次为aq，a ，aq ，那么第一个数为2aq－a ，下面用第一种设法给出解答过程，第二种解题过程读者自己完成。

解：设前三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则第四个数为()a d a+2，依题意得()a d a d aa a d -++=++=⎧⎨⎪⎩⎪2371362()()由（2）得d=36－2a 代入（1）得 4a 2－145a ＋362=0 解得 a=16或a=814∴d =4或d= -92∴所求四个数为12，16，20，25或994814634494,,,,例7：已知f (x )是一次函数，f (10)=21 ，且f (2)，f (7)，f (22)成等比数列，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n)以后的式子的表达式解：设f(x)=kx ＋b(k ≠0) 由已知()()()()f k b k b k b k b 1010211722222=+=+=++⎧⎨⎪⎩⎪()() 将（2）化简整理得5102k kb = k ≠0所以k b =23() 由（1）（3）解得k b ==21, ∴f (x )=2x + 1()f f f n n ()()()......1235721++=+++++……()=++⋅=+321222n n n n小结：数列是一类以自然数集或它的有限子集为自变量的函数，运用函数的观点认识数列十分有益。

例8：设一个等比数列的前n 项和Sn ，前n 项积为Pn ，前n 项倒数和为Tn, 求证：P S T n n n n2=⎛⎝ ⎫⎭⎪证明：设等比数列的首项为a 1，公比为q当q =1时，S na n =1P a a q a q a q a n n n=⋅⋅=-1112111T a a q a q a qn a n n =++++=-11111112111 所以p a S T na n a a n nn n nnn2121112=⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=,故p S T nn n n2=⎛⎝ ⎫⎭⎪ 当q ≠1时，()S a q qn n=--111()P a a q a q a q a qn n nn n =⋅⋅=--111211112()()T a a q a q a q a q q q q q a q q n n n n n n n =++++=++++=-------11111111111211111211 ……所以()()p a q a q n n n n n n n 21122121=⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=--()()()()()S T a q a q q q q a q p S T n n nn n nnn n n n n n n⎛⎝ ⎫⎭⎪=----⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=∴=⎛⎝ ⎫⎭⎪--11112121111小结：为了写出S T n n 、的表达式，由等比数列求和公式，必须对q 是否为1作出分类讨论。

例9：在等比数列{}a a a a a a n 中，，，求1937116420=+=的值。

分析：若通过通项公式a n 求a 11，必须先确定首项a 1和公式q ，这就需要二个条件。

解：设等比数列{}a n 的公比为q ，则()()()由，有由，有a a a q a a a q q 191283712464641201202==+=+= 解上方程组必须降次、消元。

若孤立看（1）得a q 148=±，若联系（2），则有a 10>，故a q 140>，从而可得a q 148= (3)（2）÷（3）得15242+=q q即252042q q -+= ∴==q q 22212或 至此先求a 1，再求a 11可以，但从（3）可有()a a a q a q 511565238===，而则可免去求a 1的步骤。

()∴===a a q a q q a q q 111101461423·于是当q a 211328264===时，·，当q 212=时，a 1138121=⎛⎝ ⎫⎭⎪=·例10：若{}a n 是各项都为正数的等比数列，并且a a a a a a 243546216++=，求a a 35+的值。

分析：依据方程的思想，这里为确定通项公式应选确定首项a 1和公比q ，但只给出一个条件，使a 1，q 都被确立不可能，由于由已知可得：a q a q a q a q a q a q 11312141315216···++= 即a qa qa q124126128216++=，故有()a q q12422116+=（1）而()a a a q a q a q q 3512141221+=+=+又由a q n >>00，故，于是由（1）得()a q q 12214+=，从而得到a a 354+=。

小结：设而不求，整体代入，即设元，列式后不去直接求所设各未知数的值，而在已知式和求值式之间寻找联系，从中求得所需。

例11：在一段时期内，若某工厂产值的月平均增长率为p ，那么该厂产值的年平均增长率是多少？若该厂产值的年平均增长率为q ，那么其月平均增长率是多少？ 分析：由某厂产值月平均增长率为p ，那么该厂连续二年中的24个月的产值为()a p 1+，()a p 1+2，()a p 1+3，……()a p 1+12，()a p 1+13，……()a p 1+24。

于是在这段时期内，后一年总产值()()[]()S a p p p 2131211111=++-+-，前一年总产值()()[]()S a p p p 11211111=++-+-，于是其年平均增长率()=-=+-SS S p 2111211。

若该厂产值的年平均增长率是q ，设这段时期内，月平均增长率为r ，由本题上述推理有()1112+-=r q 于是可解得r q =+-1112。

小结：上述第二问运用了方程的思想和第一问推导的结果。

例12：某企业在年度之初借款A 元，从该年度末开始，每年度末偿还一定的金额，恰在n 年间还清，年利率为r ，试问每次须支付的金额是多少？解法1：设每次偿还a 元，则n 年度末本利合计为： ()()()()[]a r a r a r a a r rn n n1111112+++++++=+---…另一方面年度之初借款A 元，到第n 年末，本利和是()A r n1+元。

()[]()()()∴+-=+=++-a r rA r a Ar r r nnnn 111111解之得解法2：设每次偿还a 元，第K 年末偿还a 元之后的债务为A K 元，则： A A a r A a k k 011==+-+()()()()()()()∴-=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪+=-⎛⎝ ⎫⎭⎪+=∴-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪+=++-+A a r r A a r A a r A a r r A a r r A a r A a r r a Ar r r K K n n n n nnn 1011101111依题意，解得【专项训练】：一、选择题： 1、等比数列{}a n 中，已知a a q n 1981323===，，，则n 为 A ．3B ．4C ．5D ．62、等比数列{}a n 中，a a 6969==，，则 a 3等于A ．3B ．32C ． 169D ．43、等差数列{}a n 的首项a 11=，公差d ≠0，如果a a a 125，，成等比数列，那么d 等于A ．3B ．2C ．－2D ．±24、设()b n N a b b b a n nn n n =⎛⎝ ⎫⎭⎪∈=++++12112，，…，则等于A ．112+nB ．212-nC ．2121--n D ．2121-+n5、设由正数组成的等比数列，公比q=2，且a a a 1230302·……=，则a a a a 36930··……等于A ．210B ．220C ．216D ．215二、填空题： 6、等比数列{}a n 满足a a a a 5142156-=-=，，则q =。