数列极限和数学归纳法一、知识点整理：数列极限：数列极限的概念、数列极限的四则运算法则、常见数列的极限公式以及无穷等比数列各项的和要求：理解数列的概念，掌握数列极限的四则运算法则和常见数列的极限，掌握公比q 当01q <<时无穷等比数列前n 项和的极限公式及无穷等比数列各项和公式，并用于解决简单的问题。
1、理解数列极限的概念：21,(1),n nn-等数列的极限2、极限的四则运算法则：使用的条件以及推广3、常见数列的极限：1lim0,lim 0(1),lim →+∞→+∞→+∞==<=n n n n q q C C n 4、无穷等比数列的各项和：1lim (01)1→+∞==<<-n n aS S q q数学归纳法：数学归纳法原理，会用数学归纳法证明恒等式和整除性问题，会利用“归纳、猜想和证明”处理数列问题 （1）、证明恒等式和整除问题（充分运用归纳、假设，拆项的技巧，如证明22389n n +--能被64整除，2438(1)9k k +-+-）229(389)64(1)k k k +=--++），证明的目标非常明确； （2）、“归纳－猜想－证明”，即归纳要准确、猜想要合理、证明要规范，这类题目也是高考考察数列的重点内容。
二、填空题1、 计算：112323lim -+∞→+-n n nn n =_____3_____。
2、 有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为ΛΛ，，，，n V V V 21 =+++∞→)(lim 21n n V V V Λ87.3、 20lim______313n n n →∞+=+134、 数列的通项公式，前项和为，则 =______32_______.5、 设{}n a 是公比为21的等比数列，且4)(lim 12531=+⋅⋅⋅+++-∞→n n a a a a ，则=1a 3．6、 在等比数列{}n a 中，已知123432,2a a a a ==，则()12lim n n a a a →∞+++=L _16±______.7、 数列{}n a 的通项公式是13(2)--+=+-n n n a ，则)(lim 21n n a a a +++∞→Λ=___76____ .8、已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，则lim n n S →∞的值为163. {}n a *1 , 1()1, 2(1)n n a n N n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪+⎩n n S lim n n S →∞9、设数列{}n a 满足当2n a n >（*N n ∈）成立时，总可以推出21(1)n a n +>+成立．下列四个命题： （1）若93≤a ，则164≤a ．（2）若310a =，则525a >．（3）若255≤a ，则164≤a ． （4）若2(1)n a n ≥+，则21n a n +>．其中正确的命题是（2）（3）（4）.（填写你认为正确的所有命题序号）10、将直线1l ：01=-+y x ，2l ：0=-+n y nx ，3l ：0=-+n ny x （*N ∈n ，2≥n ）围成的三角形面积记为n S ，则=∞→n n S lim ___12________．11、在无穷等比数列{}n a 中，所有项和等于2，1则的取值范围是a ()()0,22,4U 12、设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若245lim()→∞=+++L n n a a a a ，则13、已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,11n A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+n B 22,0，⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n C 23,12，其中n 为正整数，设n S 表示△ABC 的面积，则=∞→n n S lim ___2.5________．14、下列关于极限的计算，错误．．的序号___（2）___．（1）==（2）（++…+）=++…+=0+0+…+0=0 （3）（－n ）===；（4）已知=（15）已知()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的函数，且对于任意,a b ∈R ，满足()22f =，()()()f ab af b bf a =+，记()()22,22n n n n nf f a b n==，其中*N n ∈．考察下列结论：①()()01f f =；②()f x 是R 上的偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}n b 为等差数列.其中正确结论的序号有①③④．二、选择题：16、已知,,若，则的值不可能．．．是…………（（D ）） （A ） . （B ）. （C ）. （D ）.17、若21lim 12n n r r +→∞⎛⎫⎪+⎝⎭存在，则r 的取值范围是（（A ））0>a 0>b 11lim 5n n n nn a b a b ++→∞-=-b a +78910（A ）1r ≤-或13r ≥-；（B ）1r <-或13r >-；（C ）1r ≤-或13r >-；（D ）113r -≤≤- 观察下列式子：，可以猜想结论为((C) ) .(A)；(B) (C) ；(D)19、已知12120121()20122n n n n a n -- , <⎧⎪=⎨- , ≥⎪⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和（ (A ） ）(A ）lim n n a →∞和lim n n S →∞都存在； (B) lim n n a →∞和lim n n S →∞都不存在。
(C) lim n n a →∞存在，lim n n S →∞不存在； (D)lim n n a →∞不存在，lim n n S →∞存在。
20、设双曲线22*(1)1()nx n y n N -+=∈上动点P 到定点(1,0)Q 的距离的最小值为n d ，则lim nn d →+∞的为（ (A ） ） （A）2 （B ）12（C ） 0 （D ）1 三、综合题：Λ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+2221112n 1123n n++++⋅⋅⋅+<(n N*)∈2221112n 1123(n 1)n -+++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈2221112n 1123(n 1)n 1++++⋅⋅⋅+<++(n N*)∈2221112n 1123n n 1++++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈22、已知数列{}n a 满足0n a >，双曲线221:1()n n n x y C n N a a *+-=∈。
（1）若121,2a a ==，双曲线n C 的焦距为2n c ，41n c n =-， 求{}n a 的通项公式；（2）如图，在双曲线n C 的右支上取点(,)n n P P x n ，过n P 作y 轴的 垂线，在第一象限内交n C 的渐近线于点n Q ，联结n OP ，记n n OP Q ∆ 的面积为n S 。
若lim 2n n a →∞=，求lim n n S →∞。
（关于数列极限的运算，还可参考如下性质：若lim (0)n n n u A u →∞=≥，则lim n n u A →∞=。
）29.（1）21,22,n n n is odd a n n is even-⎧=⎨-⎩；（2）12数列综合题1. 定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形” 数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，.(1)已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；(2)已知数列的首项为2010，n S 是数列的前n 项和，且满足，证明是“三角形”数列。
解：(1)显然，对任意正整数都成立，即是三角形数列．因为k>1，显然有，由得，解得.{}n a {}n a {}n a ()=y f x ()n n b f a =()=y f x {}n a (n N*)∈{}n a (),(1)xf x k k =>{}n c {}n c 1438040+-=n n S S {}n c所以当时，是数列的“保三角形函数”.(2) 由得,两式相减得所以，，经检验，此通项公式满足显然，因为，所以是“三角形”数列．2. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，n 1n 3a 4S 3++=（n 为正整数）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记ΛΛ++++=n a a a S 21，若对任意正整数n ，n kS S <恒成立，求k 的取值范围? （3）已知集合{}0,)1(2>+≤+=a x a a x x A ，若以a 为首项，a 为公比的等比数列前n 项和记为n T ，问是否存在实数a 使得对于任意的n n N ,T A *∈∈均有.若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.23．(1) 由题意知，当2≥n 时，n 1n n n 13a 4S 33a 4S 3+-+=⎧⎨+=⎩两式相减变形得:n 1n a 1(n 2)a 3+=-≥又1=n 时，21a 3=-，于是21a 1a 3=-………………1分故}{n a 是以11=a 为首项，公比1q 3=-的等比数列*n n 11a ,(n N )(3)-∴=∈-…………………4分 (2) 由13S 1413==+得n n 41k S 13(3)<=--=)(n f …………5分当n 是偶数时，)(n f 是n 的增函数，于是98)2()(min ==f n f ，故98<k ……7分当n 是奇数时，)(n f 是n 的减函数，因为n lim f (n)1→∞=，故k≤1．……………………9分综上所述，k 的取值范围是)98,(-∞…………10分（3）①当a 1,A {x |1x a}≥=≤≤时，22T a a =+，若22T A,1a a a.∈≤+≤则⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≥-+1,0,0122a a a a 得此不等式组的解集为空集.即当a 1,≥时不存在满足条件的实数a. ……13分 ②当}.1|{,10≤≤=<<x a x A a 时而2n n n aT a a a (1a )1a =+++=--L 是关于n 的增函数.且n n n a alim T ,T [a,).1a 1a →∞=∈--故…………15分因此对任意的,*∈N n 要使n 0a 1,T A,a 1.1a <<⎧⎪∈⎨≤⎪-⎩只需解得.210≤<a ……………18分3. 已知抛物线，过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，，如此继续。