课时考点数列极限数学
归纳法
Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
课时考点6 数列、极限、数学归纳法
考纲透析 考试大纲：
数学归纳法，数列的极限，函数的极限，极限的四则运算，函数的连续性。
高考热点：
数学归纳法，数列的极限 1专题知识整合
1.无穷递缩等比数列(q ?0,|q |<1)各项和1
1a S q
=
- 2.归纳法证猜想的结论，用数学归纳法证等式和不等式。
3.含有n
的无理式，如lim
n →∞
需分子有理化，转化为
0n =
4.指数型，如111lim n n
n n n a b a b
+++→∞-+，分子、分母同除以|a|n +1或|b|n +1转化为求lim n n q →∞
热点题型1：数列与极限 样题1：
(05全国卷II)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，lga 1、lga 2、lga 4成等差数列．又21
n
n b a =
，n=1,2，3，…． （Ⅰ）证明{b n }为等比数列；
（Ⅱ）如果无穷等比数列{b n }各项的和1
3
S =，求数列{a n }的首项a 1和公差d ．
（注：无穷数列各项的和即当n ??时数列前n 项和的极限）
解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，依题意，由 2142lg lg lg a a a =+ 得
2214a a a =
即)3()(1121d a a d a +=+，得d =0 或 d =a 1 因
1
221
+=+n n a a b b n n ∴ 当d =0时，{a n }为正的常数列 就有
11
221
==++n n a a b b n n 当d =a 1时，1112112)12(,)12(1a a a a a a n n n n -+=-+=++,就有
1221+=
+n n a a b b n n 2
1
= 于是数列{b n }是公比为1或
2
1
的等比数列 （Ⅱ）如果无穷等比数列{b n }的公比q =1，则当n →∞时其前n 项和的极限不存在。
因而d =a 1≠0，这时公比q =21，11
2b d =
这样{b n }的前n 项和为11[1()]
22112
n n d
S -=- 则S=11[1()]
122lim lim 112
n n n n d
S d →+∞→+∞-==-
由1
3
S =，得公差d =3，首项a 1=d =3
变式题型1
设数列{a n }是等差数列，a 1=1，其前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，b 2=4，
其前n 项和为T n . 又已知lim n →∞
T n =16,S 5=2T 2+1.求数列{a n }、{b n }的通项公式。
样题2：
(05天津)已知：u n =a n +a n -1b+a n -2b 2+…+ab n -1+b n (n ?N*,a >0,b >0)。
（Ⅰ）当a = b 时，求数列{a n }的前n 项和S n ； （Ⅱ）求1
lim
n
n n u u →∞-。
解：（I ）当a = b 时，u n =(n+1)a n ，它的前n 项和 ()232341n n S a a a n a =+++++ ①
①两边同时乘以a ，得 ()23412341n n aS a a a n a +=+++
++ ②
① - ②，得： ()()231121n n n a S a a a a n a +-=++++-+
若a?1，则：()()()11111n n n a a a S n a a a
+--=
-++-
得：()
()
()()()()1
2122
2
11122111n n n n n a a a n a n a n a a a S a
a a +++--++-+-+=
+
=--- 若a?1，则()()32312
n n n S n n +=++
+++=
（II ）当a = b 时，()()11
11lim lim n
n n n n n n a a n u
a u na n -→∞→∞-++=== 当a?
b 时，设b
q a =（1q ≠），则：()()12111n n n n n a q u a q q q q
--=+++
+=
-
此时：()1
111n n
n n a q u u q
---=- 当q <1时，即a<b 时，1
1
1lim lim
lim 1n
n n n n n n u q a a u q -→∞→∞→∞--===- 当q >1时，即a>b 时，()11111
1lim lim lim lim 11n
n
n n n n n n n n
a q u q a aq
b u q q
q -→∞→∞→∞→∞----=====--
变式题型2
已知{a n }是首项为a 1，公比q 为正数的等比数列，S n =1n
i i a =∑，数列{S n }满足5S 2＝
4S 4.
(1)求q 的值；
(2)若T n =q+S n ，且{T n }是等比数列，求通项公式T n ； (3)求123lim()n n T T T T →∞
++++….
热点题型2：数列、数学归纳法及综合运用
(05浙江理)设点A n (x n ，0)，P n (x n ,2n-1)和抛物线C n ：y ＝x 2
＋a n x ＋b n (n ∈N *)，其中a n ＝-2-4n -1
1
2
n -，x n 由以下方法得到：
x 1＝1，点P 2(x 2，2)在抛物线C 1：y ＝x 2
＋a 1x ＋b 1上，点A 1(x 1，0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离，…，点P n +1(x n +1,2n )在抛物线C n ：y ＝x 2
＋a n x ＋b n 上，点A n ( x n ，0)到P n +1的距离是A n 到C n 上点的最短距离．
(Ⅰ)求x 2及C 1的方程．
(Ⅱ)证明{x n }是等差数列．
解：(Ⅰ)由题意,得A (1,0),C 1：y=x 2-7x+b 1.
设点P (x,y )是C 1上任意一点,则|A 1P = 令f (x )=(x-1)2+(x 2-7x+b 1)2,则21()2(1)2(7)(27).f x x x x b x '=-+-+-由题意得,2()0f x '=,
即2222122(1)2(7)(27)0.x x x b x -+-+-=又P 2(x 2,0)在C 1上,∴2=x 22 -7x 2+b 1 解得x 2=3,b 1=14.故C 1方程为y=x 2-7x +14. (Ⅱ)设P (x,y )是C 1上任意一点,则
|A n P =
令g (x )=(x-x n )2+(x 2+a n x+b n )2,则2()2()2()(2)n n n n g x x x x a x b x a '=-++++,由题意得,1()0n g x +'=,
即211112()2()(2)n n n n n n n n x x x a x b x a ++++-++++=0,
又∵2
112n n n n n
x a x b ++=++,∴(x n +1-x n )+2n (2x n +1+a n )=0(n ≥1), 即(1+2n +1)x n +1-x n +2n a n =0, (*)
下面用数学归纳法证明x n =2n-1. ①当n =1时,x 1=1,等式成立.
②假设当n=k 时,等式成立,即x k =2k -1.
则当n=k +1时,由(*)知(1+2k +1)x k +1-x k +2k a k =0, (*)
又a k =-2-4k -11
2
k +,∴1122112k k k k k x a x k ++-=
=++. 即当n=k+1,时等式成立.
由①②知,等式对n ∈N +成立,∴{x n }是等差数列.
[启思]此题是浙江省2005年高考最后的压轴题，综合性较强：仔细分析，不难发现，若能做好第一问，则第二问的解决方法同第一问的解决方法差不多，有x 1=1，x 2=3，自然可以想到此等差数列的通项为x n =2n -1，解决此题的关键是，用导数的方法对付“点A 1(x 1,0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离”，比起其它方法要简单得多。
变式题型3
已知数列{a n}前n项为S n，且S n=2a n-2(n=1，2，3，…)，数列{b n}中，b1=1，点P(b
，b n+1)在直线x-y+2=0上。
n
(1)求数列{a n}、{b n}的通项a n、b n；
(2)若T n为数列{b n}的前n项和，证明：当n?2时，2S n>T n+3n.
3高考题型设计。