A 组1.用洛必达法则求下列极限：（1）02lim 1cos xxx e e x -→+-- （2）arctan 2lim 1x x xπ→+∞-（3）0cos lim sin x x e x x x →- （4）011limcot ()sin x x x x→- （5）10(1)lim xx x ex→+- （6）210sin lim ()x x x x +→ （7）011lim()sin x x x→- （8）sin 0lim xx x +→（9）lim(1)xx a x→∞+ （10）n 其中n 为正整数解析：考查洛必达法则的应用，洛必达法则主要应用于00，∞∞型极限的求解，当然对于一些能够化简为00，∞∞型极限的同样适用，例如00010⋅∞==∞等等，在求解的过程中，同样可以利用前面已经学到的极限的求解方法，例如等价无穷小、两个重要极限 解：（1）本题为型极限的求解，利用洛必达法则求解得 0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x x x x x e e e e e e x x x---→→→+--+===- （2）本题为型极限的求解，利用洛必达法则求解得 22221arctan 12lim lim lim 1111x x x x x x x x x π→+∞→+∞→+∞--+===+-（3）本题为0型极限的求解，利用洛必达法则求解得000cos sin 1lim lim lim sin sin cos 0x x x x x e x e x x xx x x →→→-+===∞+ （4）先化简，得2300011cos sin sin sin limcot ()lim lim lim sin sin sin sin x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x →→→→----=⋅==型极限的求解，利用洛必达法则求解得23220001sin 1cos 12lim lim lim 336x x x xx x x x x x →→→--=== （5）化简1ln(1)00(1)lim limx x xx x x e eexx+→→+--=型极限的求解，利用洛必达法则求解得 0ln(1)ln(1)ln(1)lim 220002000ln(1)(1)ln(1)1lim lim lim(1)(1)ln(1)1ln(1)1ln(1)lim lim lim 222x x x x xxx x x x x x x xx e e x x x x e e x x x x x x x x x e e e e x x x →+++→→→→→→-+--+++=⋅=+-++-+--+====-（6）1∞型极限的求解，首先利用lne ，然后利用洛必达法则求解得222220002322000sin sin sin sin ln ln 11ln 11lim lim lim 001sin cos 112limlimlim 336sin lim ()lim x x x x x x x x x xxx x x x x x x x x x x x x x xxxx e eeexeeee+++→→→+++++→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭→→----========（7）∞-∞型极限的求解，先化简再利用洛必达法则求解得2200000111sin sin 1cos 2lim()lim lim lim lim 0sin sin 22x x x x x xx x x x x x x x x x x x→→→→→----==== （8）00型极限的求解，先利用lne 化简，再利用洛必达法则求解得22002001ln lim limsin cos 1limlimsin ln sin cos sin sin 0lim lim 1x x x x xx xx x x x xx x x xxx x x e e eee++→→++→→++---→→======（9）1∞型极限的求解，先利用重要极限二化简lim(1)lim(1)lim(1)x x a a x a a ax x x a a a e x x x⋅⋅→∞→∞→∞+=+=+= 当然也可以先化简，再利用洛必达法则求解222ln()ln lim1[ln()ln ]1111limlim112limlim()2lim(1)lim()lim x x x x x x a xx x x x a x x x x x x a x x a x ax axax x a xxx aa x a e e x x eeeee →∞→∞→∞→∞→∞+-+-→∞→∞→∞--++--++++========（10）0∞型极限的求解，先化简，利用洛必达法则求解1ln212lim(2)lim lim1nn n nn n n nn e e→∞→∞→∞====2.已知21lim5sinxx bx cxπ→++=，求b，c的值解析：考查洛必达法则的应用，已知1limsin0xxπ→=，要使极限存在，则21lim()0xx bx c→++=同时可以利用洛必达法则求解解：根据上述分析得10b c++=21122lim limsin cosx xx bx c x b bx xππππ→→++++==-则25bπ+=-，解得52bπ=--则51cπ=+B组1.求下列极限（1）2222lim(1)(1cos)x x x xxxxe xe e ee x→+-+--（2）2lim(arctan)xxxπ→+∞⋅（3）1lnlim(cot)xxx+→（4）1111lim()x x xxxa b ca b c+++→++++（5）1limln1xxx xx x→--+（6）11112limnxx x xnxa a an→∞⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L，其中12,,,0na a a>L解析：考查极限的求解，求解极限的方法包括洛必达法则、等价无穷小、两个重要极限还可以利用换元求解，下面结合实例说明解：（1）型极限的求解，先化简再利用洛必达法则求解222200023220022(2)(2)(23)(3)lim lim lim11(1)(1cos)22(44)(4)(84)(5)1lim lim333x x x x x x x xxx x xx x x xx xxe xe e e x e x e x e x ee x x x xx e x e x e x ex→→→→→+-+-++-++==--⋅-++-++===（2）1∞型极限的求解，先化简为型极限，再利用洛必达法则求解222221221arctan ln arctan lim lim121ln arctan 12limarctan 12lim (arctan )lim x x x xx x x xx xx x x x x x x eeeeeππππππ→+∞→+∞→+∞⋅+⋅⋅-⋅→+∞→+∞-⋅-+⋅=====（3）0∞型极限的求解，先化简为型极限，再利用洛必达法则求解00csc cot cot lim 1ln cot 1lim 1sin ln ln 0lim(cot )lim x x x x x x xxxxxx x x e ee e +→+→++---→→====（4）1∞型极限的求解，先化简为型极限，再利用洛必达法则求解 1111111110ln(ln ln ln )1111limln ln ln 1lim()lim ()x x x x x x x x x x a b c a b ca ab bc c x x x a b c a b cxxab cx x a a b b c ca b c a b ca b cab c ee a b cea b c +++++++++→+++++++++++⋅++++→→++++++++==++==（5）型极限的求解，直接利用洛必达法则求解 ln 2ln ln 111121[(ln 1)](ln 1)1limlim limlim211ln 1ln 11x x xx xx xx x x x e x x x e x ex x x x x x x x →→→→++--+-====---+-+- （6）1∞型极限的求解，先化简为型极限，再利用洛必达法则求解 1111111122222121111221112111ln ln ln ln 111lim1112lim ln lim lim x x x n n xxxn x x xn x x x a a a a a a n x x x a a a n n a a a nxx x x n nxnx x x a a a a a a eene→∞→∞⎛⎫---⎛⎫ ⎪⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅⎛⎫⎪ ⎪⎪+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++ ⎪⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭-→∞→∞⋅+⎡⎤+++⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦=L L L L 112ln ln 12x x n n a a a na a a ⎛⎫ ⎪⋅++⋅ ⎪⎝⎭=L L 2.评论函数1(1),0()0,0xx x f x e x ⎧⎡⎤+⎪⎢⎥>⎪⎢⎥=⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪≤⎩在点0x =处的连续性解析：考查函数的连续性，只需证明0(0)lim ()x f f x →=解：已知(0)0f =01ln(1)lim00(1)1lim ()lim 1x x xxx x x f x e e e+→+++→→+==⋅=则函数在点0x =处不连续性。