A 组一、填空题： 1.函数lnsin y x =在5[,]66ππ上满足罗尔定理中的____ξ=解析：考查罗尔定理的应用，要求解ξ，即在区间5(,)66ππ内，求=0y '的解解：cos =sin x y x '，令=0y '，则2x π= 2.函数4()f x x =，2()F x x =在[1,2]上满足柯西中值定理中的____ξ=解析：考查柯西定理的应用，要求解ξ，即在区间(1,2)内，求(2)(1)()(2)(1)()F F F x f f f x '-='-的解解：已知(2)(1)1(2)(1)5F F f f -=-，()2F x x '=，3()4f x x =则即求32145x x =，解得2x =，2x =-（舍去）则ξ=3.设函数3x y e -=，[5,5]x ∈-，则该函数的最大值_____M =，最小值_____m =解析：考查函数最值的求解，由于函数中存在绝对值，则可以化为分段函数，然后在区间内的最值解：化为分段函数33,5335x x e x y e x --⎧≥>=⎨≥≥-⎩已知xe 和3x +都为恒增函数，则3x e -也为恒增函数即当53x ≥>时，最大值为25x y e ==，31x y==因为3x -为恒减函数，则3x e-也为恒减函数当35x ≥≥-时，最大值为85x ye =-=，31x y ==综上可知，最大值8M e =，最小值1m =4.曲线1ln()y x e x=+（0x >）的渐近线方程为_____解析：考查函数渐近线的求解，渐近线包括垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线，前面已经介绍过各类渐近线的定义，则只需一一验证各类渐近线是 否存在解：01ln()1ln()lim lim ln()limlim 1x x x x e e x x y x e x xx-→-∞→-∞→-∞→++=+===∞ 则不存在水平渐近线因为存在不可导点0x =，虽然0x =不再定义域内，但是还需验证又因为0001ln()1ln()1lim lim ln()limlim lim 01x x x x x e e x x y x e x xe x x+++→+∞→+∞→→→++=+====+ 则不存在垂直渐近线设存在斜渐近线y kx b =+，则1ln()1lim lim lim ln()1x x x x e y x k e x x x→+∞→+∞→+∞+===+= 001ln()11ln()1lim ()lim [ln()]lim lim111lim x x x x x e e x x b y kx x e x x x xe x e++→+∞→+∞→+∞→→+-+-=-=+-====+则存在斜渐近线1y x e=+5.记R 为曲率半径，s 为弧长。

已知2y x =（0x ≥），则曲率_____K =；_____dR ds = 解析：考查曲率的求解，本题已知的是直角坐标方程，则利用方程求解322[1()]y K y ''='+求解，而曲率半径对弧长的导数可以利用1dR dR dsds dx dx=⋅来求解 解：2y x '=，2y ''= 则3322222[1()](14)y K y x ''=='++由此可得曲率半径为322(14)2x R +=则138622dR x dx =⋅=dsdx ==则16dR dR x dsds dx dx=⋅=6函数2,0(),0x x x f x xe x ⎧≤=⎨>⎩在点_____x =处取得极小值解析：考查分段函数的极值，需要分段考虑，同时要判断分段点是否为极值，解题步骤为先求出分段函数的导数，然后求出驻点，最后利用极值的充分条件判断 解：当0x ≤时，()2f x x '=，得驻点0x =当0x >时，()(1)xf x x e '=+，令()0f x '=，得驻点1x =-（不在区间内，舍去）在0x =的去心领域(,)δδ-中，当0x >时，()0f x '>；当0x <时，()0f x '< 则在点0x =处取得极小值 二、选择题：1.若函数()f x 在区间(,)a b 内可导，1x 和2x 是区间(,)a b 内任意两点，且12x x <，则至少存在一点ξ，使()（A ）()()()()f b f a f b a ξ'-=⋅-，其中a b ξ<< （B ）11()()()()f b f x f b x ξ'-=⋅-，其中1x b ξ<< （C ）2121()()()()f x f x f x x ξ'-=⋅-，其中12x x ξ<< （D ）22()()()()f x f a f x a ξ'-=⋅-，其中2a x ξ<<解析：考查中值定理的应用，使用拉格朗日中值定理时，一定要满足三个条件解：本题中告诉函数()f x 在区间(,)a b 内可导，并没有告诉函数在[,]a b 内连续，则不知道()f a ，()f b 是否存在，自然不能在点x a =，x b =上使用拉格朗日中值定理，这样可以排除（A ）（B ）（D ）选项至于（C ）选项，因为函数()f x 在区间(,)a b 内可导，则函数()f x 在区间(,)a b 内连续，自然可得1()f x ，2()f x 存在 答案：C2.当0x >时，曲线1siny x x=()（A ）有且仅有水平渐近线 （B ）有且仅有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线，又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线，又无垂直渐近线解析：考查渐近线的求解，利用各类渐近线的定义一一判断即可解：01sin1sin lim sinlim lim 11x x x x x x x x x+→+∞→+∞→===，则存在水平渐近线1y = 01sin lim sin lim 0x x xx x x+→+∞→==，则不存在垂直渐近线 答案：A3.下列各式哪些是曲线322x y xy ++=的水平渐近线或垂直渐近线？ （1）32x =-，（2）2x =-，有错误（3）1y =-，（4）3y = （A ）都不是 （B ）（1）（2） （C ）（2）（3） （D ）（2）（4） E ）全是 解析：考查曲线的渐近线，曲线方程可以化为322x y x +=-，然后求出函数的水平渐近线和垂直渐近线 解：232lim2x x x →+=∞-，32lim 32x x x →∞+=-则存在垂直渐近线2x =，水平渐近线3y = 答案：D4.若lim ()x f x k →∞'=，则lim[()()]x f x a f x →∞+-=()（A ）ka （B ）k （C ）a （D ）不存在 解析：考查泰勒公式的应用解：根据泰勒展开式，()()()[()]()()f x a f x f x a x f x af ξξ''+=++-=+ 则()()()f x a f x af ξ'+-=，其中(,)x x a ξ∈+lim[()()]lim ()x x f x a f x af ξ→∞→∞'+-=因为当x →∞时，ξ→∞，则lim[()()]x f x a f x ka →∞+-=答案：A5.设函数()y f x =有二阶连续导数，且(0)0f '=，0()lim1x f x x→''=，则()（A ）(0)f 是函数()y f x =的极大值 （B ）(0)f 是函数()y f x =的极小值 （C ）(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点（D ）(0)f 不是函数()y f x =的极大值，(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点解析：考查函数的拐点和极值，已知在极值点处，()0f x '=，()0f x ''≠；在拐点处()0f x ''= 根据此来判断(0,(0))f 是不是极值点和拐点 解：因(0)0f '=为，则0x =为驻点，又因为0()lim10x f x x→''=>，根据极限的局部保号性，在0x =的某个去心领域(,)δδ-内，()0f x ''>，则lim ()(0)0lim ()x x f x f f x δδ→-→'''<=< 由此可得(0)f 是函数()y f x =的极小值函数()y f x =有二阶连续导数，则0()lim ()0x f x f x →''''==，但是在0x =的某个去心领域(,)δδ-内，()0f x ''>，则(0,(0))f 不是曲线()y f x =的拐点答案：B三、计算题： 1.求下列极限： （1）20cot 1limx x x x →-； （2）lim cos n n →∞ （3）011lim[]ln(1)x x x →-+； （4）lim a xx a x a x a x a →--； （5）210sin lim()x x x x→； （6）2lim (arctan )x x x π→+∞ 解析：考查极限的求解，本章主要学习的两种解极限的方法，一种是洛必达法则，一种是泰勒公式，洛必达主要针对00，∞∞型，或者可以化为这两种形式极限的求解；泰勒公式一般利用常用函数的麦克劳林公式替换，然后求解，下次结合具体的极限来说明 解：（1）先化简，再利用洛必达法则和等价无穷小求解2230002200cot 1cos sin cos sin lim=lim limsin cos sin cos sin 1lim lim 333x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x →→→→→---=---===-（2）1∞型极限的求解，可以利用lne 化简ln lim coslim n n nnn n ee→∞→∞→∞==20002n n n n n nπ→∞→→→→=====则22limcos nn e π→∞=（3）∞-∞型极限，先化为型极限，再利用洛必达法则求解2000001111ln(1)ln(1)111lim[]lim lim limlim ln(1)ln(1)22(1)2x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→--+-++-=====+++（4）00型极限，直接利用洛必达法则求解1ln ln 1ln lim lim (ln 1)(ln 1)1ln a x a x a a x a x a x a x a x a ax a a a a a a x a x x a a a-→→----===-+++ （5）1∞型极限的求解，可以利用lne 化简2220sin sin lnln1lim00sin lim()lim x xx x x x xxx x x e ex→→→==22320000sin cos sin ln cos sin sin 1sin limlim lim lim 2266x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x →→→→-⋅--====- 21160sin lim()x x x e x-→= （6）1∞型极限的求解，可以利用lne 化简+2ln arctan lim21ln arctan +2lim (arctan )lim x xx xxxx x x eeπππ→∞→+∞→∞==因为222+++2121221lnarctan arctan 22limlim lim 111x x x x x xx x xx πππππ→∞→∞→∞⋅⋅+==-=-+- 则22lim (arctan )xx x e ππ-→+∞=2.在半径为R 的圆内作内接矩形，何时矩形面积最大？解析：考查最值的应用，解题步骤为设变量、列函数表达式、解函数、求最值 解：设矩形的长为x ，面积为S则面积()S x = 0x >22()S x '==令()0S x '=，解得驻点x =因为当)x ∈时，()0S x '>；当,)x ∈+∞时，()0S x '<则x ==时，矩形面积最大3.试求曲线32y ax bx cx d =+++中的a ，b ，c ，d ，使得在点2x =-处曲线有水平切线，点(1,10)-为拐点，且点(2,44)-在曲线上解析：考查曲线函数表达式的求解，已知需要求解四个未知数，则至少要列出四个方程式，然后解方程组即可解：232y ax bx c '=++，62y ax b ''=+因为点2x =-处曲线有水平切线，即20x y =-'=因为点(1,10)-和点(2,44)-都在曲线上，则110x y ==-，244x y=-=且点(1,10)-为拐点，则10x y =''=综上可列出方程组12401084244620a b c a b c d a b c d a b -+=⎧⎪+++=-⎪⎨-+-+=⎪⎪+=⎩，解得132416a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎩4.求椭圆223x xy y -+=上纵坐标最大和最小的点解析：考查最值的求解，本题告诉的是隐函数，上诉方程所确定的函数()y y x =为某一闭区间上的连续函数，即求解y 的最大值和最小值，则最值点必是()y y x =的驻点 解：对方程两边同时对x 求导，得220x y xy yy ''--+= 即22x yy x y-'=-，令0y '=，得2y x =带入原方程得21x =，即1x =±当1x =-时，2y =-；当1x =时，2y =则纵坐标最大的点为(1,2)，最小的点(1,2)-- 5.求数列的最大项解析：考查数列的最大值，可以转化为求解函数的最大值解：设函数()f x =（0x >，且x 为整数）21ln ()xf x x-'=，令()0f x '=，得x e = 当x e >时，()0f x '<；当x e <时，()0f x '>则函数()f x =x e =上取得极大值，本题中即为最大值因为 2.718e =1.414=1.442=数列6.求非零常数a ，b ，使得012arctan ln1limax xx x b x →+--=解析：考查函数的极限，求解函数中的未知量，首先分析一下极限的类型，然后根据一些限制条件列出方程，最后求解方程组（限制条件，例如当极限为0型且极限值为常数，则分子分母都会趋向于0）解：极限012arctan ln1limax xx x x →+--为00型，则可以直接利用洛必达法则化简，即222211410*********arctan ln 4411(1)1lim lim lim lim (1)a a a a x x x x x x x x x x x x x x x x ax ax x ax---→→→→--+++-⋅---++--===- 因为2104lim a x x b ax -→-=，124a b a -=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得343a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩ 7.已知函数32(1)x y x =-，求： （1）函数的单调区间及极值； （2）函数图形的凹凸区间及拐点； （3）函数图形的渐近线解析：考查函数图形的一些性质，前面已经求解过这类题目，且在绘制函数图像时，这些性质是关键的依据 解：（1）原函数定义域为1x ≠2232324333(1)2(1)3(1)2(3)(1)(1)(1)x x x x x x x x x y x x x -+--+-'===---232222644(63)(1)3(3)(1)(63)(1)3(3)6(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x xy x x x --+----+-''===--- 0y '=，0y ''=解得驻点0x =，3x =，拐点0x =同时存在原函数、一阶和二阶导数都不存在的点1x =点0x =，1x =，3x =，将定义域分为四个子区间，y ，y '，y ''的变化趋势如下表则函数的单调增区间为(,1)-∞，(1,3)，单调减区间为(3,)+∞ 存在极大值3274x y==（2）函数的凹区间为(,0)-∞，凸区间为(0,1)，(1,)+∞ 以及拐点(0,0)（3）因为3211lim lim(1)x x x y x →→==∞-，32lim (1)x x x →∞=∞- 则存在垂直渐近线1x =，不存在水平渐近线又因为3222(1)lim lim 1(1)x x x x x x x →∞→∞-==-，32222lim()lim[]lim 2(1)(1)x x x x x x y kx x x x →∞→∞→∞--=-==-- 则存在斜渐近线2y x =+ 四、证明题：1.设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上可微，且()0g x '≠。