习题1-5 A 组1.求参数a 的值，使得函数24,2()2,2x x f x x a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩在点2x =处连续解析：考查分段函数的连续性，函数在某一点连续的充要条件可以总结为00lim ()()x x f x f x →=解：本题中22224lim ()limlim(2)42x x x x f x x x →→→-==+=- 则4a =2.若函数(sin cos ),0()2,0x e x x x f x x a x ⎧+>=⎨+≤⎩是(,)-∞+∞上的连续函数，求a解析：考查函数在定义域内的连续性，本题中，当0x >和0x ≤时，函数()f x 都是初等函数的复合，因此都在连续的，则判断函数在上连续只需判断函数在点0x =处连续，即使00lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→== 解：已知(0)f a =lim ()lim(2)x x f x x a a --→→=+=，00lim ()lim (sin cos )1x x x f x e x x ++→→=+= 则1a =3.若函数2,0()sin 0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =点处连续，求a 与b 的关系解析：考查分段函数在某点上的连续性，和上题类似，只需使0lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→== 解：已知(0)f a =20lim ()lim()x x f x a bx a --→→=+=，00sin sin lim ()lim lim x x x bx bxf x b b x bx+++→→→===则a b =4.求下列函数的间断点，并指出其类型 （1）2sin ()1x f x x =-（2）1()1x f x x -=-（3）2tan ()1x f x x =+ （4）20,0,01()42,134,3x x x f x x x x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪≥⎩ 解析：考查间断点的类型，首先要找出间断点，一般为无定义点、无极限点和函数值不等于该点的极限值的点。

关于各类间断点的具体判断准则这里就不再赘述，不过通过对其进行分析可以发现，都是利用在某点上左、右极限的值来判断，所以关键在于求解某点上左、右极限 解：（1）很容易找到无定义点1x =，1x =-，即函数的间断点为1x =，1x =-21111sin lim ()lim ()lim ()lim 1x x x x xf x f x f x x +-→→→→====∞-，则1x =为第二类间断点，且为无穷间断点21111sin lim ()lim ()lim ()lim1x x x x xf x f x f x x +-→-→-→-→-====∞-，则1x =-也为第二类间断点中的无穷间断点（2）无定义点1x =，函数的间断点为1x =因为111lim ()lim 11x x x f x x ++→→-==-，111lim ()lim 11x x x f x x --→→-==--则1x =为第一类间断点中的跳跃间断点 （3）无极限点：2x n ππ=+，n Z ∈，则函数的间断点为2x n ππ=+，n Z ∈因为222tan lim ()lim1x n x n xf x x ππππ→+→+==∞+，则2x n ππ=+，n Z ∈ 为第二类间断点中的无穷间断点（4）本题为分段函数，每个分段点都有可能为间断点，需要一一验证 因为0lim ()(0)0x f x f →==，则0x =不是间断点因为11lim ()lim 1x x f x x --→→==，()211lim ()lim 421(1)x x f x x x f ++→→=-+-== 则1x =不是间断点因为33(3)lim ()lim 312x x f f x x ++→→===，()233lim ()lim 421x x f x x x --→→=-+-= 则3x =为第一类间断点中的跳跃间断点 5.证明：方程21xx ⋅=至少有一个小于1的正根解析：考查根的存在定理，根据根的存在定理的条件，需要找到两个点的函数值为异号 证明：设()21xf x x =⋅-，很明显函数()f x 为连续函数，且(0)1f =-，(1)1f =根据根的存在定理，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0f ξ=，也就是21ξξ⋅= 即证结论6.设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续()()f a g a >，且()()f b g b <，试证：存在一点(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ=解析：考查介值定理的应用，上题所说的根的存在定理本质上就是介值定理的一个特例，利用介值定理证明同样需要知道两个点的函数值或函数值取值范围，因此本题可以构建函数()()()h x f x g x =-证明：设()()()h x f x g x =-，则()0h a >，()0h b <根据介值定理，取0c =，则存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()0h f g ξξξ=-= 即()()f g ξξ= 即证结论 B 组1.证明：若函数()f x 在点0x x =处连续，则函数2()f x 与()f x 在0x x =点处也连续。

反之，若函数2()f x 与()f x 在点0x x =处连续，能否断言()f x 在0x x =点处连续？若不能，请举出反例解析：考查连续性的证明，需要清楚连续性的充要条件是00lim ()()x x f x f x →=证明：（1）若函数()f x 在点0x x =处连续，则00lim ()()x x f x f x →=002220lim ()lim ()()x x x x f x f x f x →→⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，000lim ()lim ()()x x x x f x f x f x →→==则函数2()f x 与()f x 在0x x =点处也连续（2）而当函数2()f x 与()f x 在点0x x =处连续时，不能得出()f x 在0x x =点处连续 例如函数1,0()1,0x f x x >⎧=⎨-≤⎩，函数2()f x 与()f x 在点0x x =处都连续，但是()f x 在0x x =点处不连续2.设函数()f x 在[,]a b 上内连续，且12n a x x x b <<<<<L 证明：在(,)a b 内必有ξ，使得12()()()()n f x f x f x f nξ+++=L解析：本题考查介值定理和最小最大值定理的应用，已知函数()f x 在[,]a b 上连续，根据最大值和最小值定理，可以确定函数()f x 的取值范围，从而利用介值定理证明解：根据最大值和最小值定理，函数()f x 在[,]a b 上必取得最大值M 和最小值m ，使得()n m f x M <<，则12()()()n nm f x f x f x nM<+++<L 12()()()n f x f x f x m M n+++<<L又根据介值定理，在(,)a b 内必有ξ，使得12()()()()n f x f x f x f nξ+++=L3.若函数()f x 与()g x 在[,]a b 上连续，则max (),()f x g x 与min (),()f x g x 在[,]a b 上也连续解析：考查函数连续性的应用，可以进行分类谈论解：（1）当()()f x g x >（或()()f x g x <）恒成立时， max (),()()(())f x g x f x g x =或，很明显是连续的，对于min (),()f x g x 有同样的结论（2）当存在[,]a b ξ∈（ξ可能有多个）时，使得()()f g ξξ=，题中的max (),()f x g x 可以换成分段函数的形式，即(),()()max (),()(),()()f x f x g x f x g x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩当x ξ=为分段点，因为lim max (),()lim max (),()()()x x f x g x f x g x f g ξξξξ+-→→=== 则max (),()f x g x 在都是连续的，同理可证min (),()f x g x 在[,]a b 上也连续 综上所述，题中所述结论成立题干存在问题解析：考查函数在某点连续性的应用，只需令0lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-→→== 解：0lim ()x f x +→= 5.求下列函数的间断点，并判断其类型（1）11()1x xf x e-=-（2）2()1sin x xf x x x-=-解析：考查间断点的求解和类型判断，首先找出间断点，然后根据间断点上左右极限的值来判断间断点的类型 解：（1）1100xxex --=⇒=，则间断点为0x =，1x =因为011lim ()lim 1xx x xf x e++→→-==-∞-，011lim ()lim 1xx x xf x e--→→-==+∞-则0x =为第二类间断点中的无穷间断点1111lim ()lim 11xx x xf x e++→→-==-，1111lim ()lim 01xx x xf x e--→→-==-则1x =为第一类间断点中的跳跃间断点（2）1x =，x n =（n Z ∈）为无定义点，则函数间断点为1x =，x n =（n Z ∈）221111lim ()lim lim 1sin (1)sin sin1x x x x x x x f x x x x x +++→→→--===--221111lim ()lim lim 1sin (1)sin sin x x x x x x x f x x x x x x---→→→--===---- 则1x =为第一类间断点中的跳跃间断点 当0n =时，即0x =2000lim ()lim lim 11sin sin x x x x x xf x x x x+++→→→--===--，00lim ()lim 1sin x x x f x x -+→→-==- 则0x =为第一类间断点中的可去间断点 当1,2,n =±±L 时2()()lim ()lim 1sin x n x n x x f x x x ππ++→→-==∞-，2()()lim ()lim 1sin x n x n x xf x x xππ--→→-==∞-、 则x n =（1,2,n =±±L ）为第二类间断点中的无穷间断点6.讨论函数()()lim n n n ln e x f x n→∞+=（0x >）在定义域内是否连续解析：考查函数在定义域内的连续性，已知函数的定义域为(0,)+∞，即满足0(0,)x ∀∈+∞，都有00lim ()()x x f x f x →=成立解：0(0,)x ∀∈+∞0000()()()lim ()lim lim lim lim lim n n n n n n x x x x n n x x n ln e x ln e x ln e x f x n n n →→→∞→∞→→∞⎛⎫+++=== ⎪⎝⎭ 00()()lim n n n ln e x f x n→∞+=，则函数()f x 在定义域内连续。