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重庆大学出社高等数学题库参考答案

第五章 不定积分1(直接积分法、换元积分法)一、单选题1.设)(x f 是可导函数,则⎰'))((dx x f 为( A ).A.)(x fB.C x f +)(C.)(x f 'D.C x f +')(2.函数)(x f 的( B )原函数,称为)(x f 的不定积分.A.任意一个B.所有C.唯一D.某一个 3.⎰=+=)(,2cos )(x f C x e dx x f x则( A ).A.)2sin 22(cos x x e x -B.C x x e x +-)2sin 22(cosC.x e x 2cosD. x e x2sin4.函数x e x f =)(的不定积分是( B ).A.x eB.c e x +C.x lnD.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是 ( A ).A.c x +sinB.x cosC.x sin -D.c x +-cos 6.函数211)(xx f -=的原函数是( A ).A.c x x ++1 B.x x 1- C.32xD.c x x ++12 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[]='⎰dx x f )(( B )A. x 2B.2C.2x 8.若c e dx e x x +=⎰, 则⎰xd e x22=( A )A.c ex+2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-29.函数x x f sin )(=的原函数是( D )A.c x +sinB.x cosC.x sin -D.c x +-cos 10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数,则均为、=( B )A.)(x fB.0C.)(x FD.)(x f ' 11.函数211)(xx f +=的原函数是( A ) A.c xx +-1B.x x 1-C.32xD.c x x ++1212. 函数211)(xx f -=的原函数是( A )A.c xx ++1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++1213.若函数)(x f 、)(x g 在区间),(b a 内可导,且)()(x g x f '=',则( B ) A.)()(x g x f = B.C x g x f +=)()(C.)()(x g x f ≠D. 不能确定)(x f 与)(x g 之间的关系 14.若)()(x f x F =',则下列等式成立的是( B ). A.C x f dx x F +='⎰)()( B.⎰+=C x F dx x f )()( C.⎰+=C x f dx x F )()( D.C x F dx x f +='⎰)()( 15.经过点)1,0(-,且切线斜率为x 2的曲线方程是( D ).A.2x y =B. 2x y -=C. 12+=x yD. 12-=x y 二.填空题1.)25ln(2125x d x dx --=-.2.)1(212x d xdx --=.3.C aa dx a xx +=⎰ln .4.设)(x f 是连续函数,则dx x f dx x f d )()(=⎰.5.xx cos 2+的原函数是x x sin 2+.6.]4)3[(21)3(2---=-x d dx x .7.C x xdx +=⎰7sin 717cos .8.)1(ln 3133-=x x a d adx a .9.)3(cos 313sin x d xdx -=.10.C x dx x x +=⎰2ln 21ln .11.C x dx x +=⎰4341.12.)C 41(2222+-=--x x e ddx xe .13.C x xdx x +=⋅⎰2sin 21sin cos . 14.C x dx x +=+⎰3arctan 319112. 15.C x x dx x +-=⎰)sin (212sin 2.16.⎰+='C x f dx x f )2(21)2(.17.设⎰+=.)()(C x F dx x f ,若积分曲线通过原点,则常数)0(F C -=.18.)3(arctan 31912x d x dx=+. 19.)(2122x x e d dx xe =.20.已知xx f C x dx x f 2sin )(,sin )(2=+=⎰则.21.设)()()(21x f x F x F 是、的两个不同的原函数,且=-≠)()(,0)(21x F x F x f 则有 C .22.C x x dx x x +-=+-⎰222111 23.Ce dx e xxx +-=⎰1121.24.)1ln(21122-=-x d dx x x .25.若x x f sin )(的导函数是,则)(x f 的原函数为Cx +-sin .26.设)(3x f x 为的一个原函数,则dxx x df 23)(=.27.)2cos 41(812sin x d xdx -=28.x x sin 2+的一个原函数是x x cos 313-.29.)3(cos 33sin x d dx x -=.30.Cx xdx +-=⎰cos ln tan .31.()C x dx x +--=-⎰)21sin(2121cos .32.Cx xdx +=⎰tan sec 2. 33.C x xdx+-=⎰3cot 313sin2.34.设x 2是)(x f 的一个原函数,则⎰='])([dx x f 2 .三.判断题 1.⎰+=cx xdx cos sin ( × ) 2.xx edx e =⎰( × )3.⎰-=.cos sin x xdx ( × ) 4.⎰+-=cx xdx cos sin ( √ ) 5.)21sin()]21[sin(x dx x -=-⎰( × ) 6.⎰+-=cx xdx sin cos ( × )四.计算题1.求不定积分dx x x ⎰+21. 解:原式=C x x d x ++=++⎰23222)1(31)1(1212.求不定积分dx x ⎰-31. 解: 原式=C x +--3ln3.求不定积分⎰+dx e e x x 1. 解:原式=C e e d ex x x ++=++⎰)1ln()1(11 4.求不定积分⎰+-dx xx x)3sin 21(. 解: 原式=C x x x +++ln 3cos 22 5.求不定积分⎰-dx xex 2. 解: 原式=C e x +--221 6.求不定积分dx x x⎰+12. 解: 原式=C x ++)1ln(2127.求不定积分dx x x⎰+2)72(. 解: 原式=C xx x ++⋅+7ln 24914ln 1422ln 24 8.求不定积分⎰+dx x 10)12(. 解: 原式=C x ++11)12(2219.求不定积分⎰+-dx xx x )1)(1(. 解: 原式=C x x x x x +-+-221522210.求不定积分⎰xdx 2sin . 解: 原式=C x x +-2sin 4121 11.求不定积分⎰dx x x 22cos sin 1. 解: 原式=C x x +-cot tan12.求不定积分dx x ⎰+321. 解: 原式=C x ++32ln2113.求不定积分xdx xarctan 112⎰+. 解: 原式=C x +2)(arctan 21 14.求不定积分⎰-dxx x 4313. 解: 原式=C x +--41ln 43 15.求不定积分⎰+dx x 2411. 解: 原式=C x +2arctan 2116.求不定积分⎰+dx x x)5(3. 解: 原式=C x x++5ln 5414 17.求不定积分⎰-dx e x 5. 解: 原式=C e x+--551五.应用题1.设一质点作直线运动,已知其加速度为t t a sin 3122-=,如果0=t 时3,500-==s v , 求(1)t v 与的函数关系; (2)t s 与的函数关系. 解:32sin 3)(2sin 3)2cos 34()(2cos 34)(cos 34)sin 312()(43,04335,032-++=−−−→−+++=++=++=−−→−++=-=-====⎰⎰t t t t s c t t t dt t t t s t t t v C t t dt t t t v s t v t2.求经过点(0,0),且切线斜率为x 2的曲线方程. 解:20,022x y C x xdx y y x =−−−→−+====⎰3.一物体由静止开始运动,t 秒末的速度是23t (米/秒),问(1)在3秒末物体与出发点之间的距离是多少? (2)物体走完360米需多长时间?解:设运动方程为:30,032)(3)(t t S C t dt t t S S s t =−−→−+=====⎰(1)当3=t 时,27)3(=S (米)(2)当.360360)(33秒=⇒==t t t S4.一曲线过原点且在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率等于3x ,求这曲线的方程. 解:40,0434141x y C x dx x y y x =−−−→−+====⎰ 5.已知物体由静止开始作直线运动,经过t 秒时的速度为180360-t (米/秒),求3秒末物体离开出发点的距离.解: t t t S C t t dt t S s t 180180)(180180180)-60t 3()(20,02-=−−→−+-====⎰.当3=t 时,1080)3(=S (米).6.求经过点)1,(e ,且切线斜率为x 1的曲线方程.解:x y C x dx xy y e x ln ln 11,=−−→−+====⎰. 7.求经过点(0,0),且切线斜率为211x+的曲线方程.解:x y C x dx x y y x arctan arctan 110,02=−−−→−+=+===⎰.第五章 不定积分2一.单选题1.下列分部积分法中, dv u ,选择正确的是( A ). A.⎰==xdxdv x u xdx x 2sin 2sin ,, B.xdxdv u xdx ln ,1,ln ==⎰C.dx x dv e u dx e x x x 22,,==--⎰D.xdx dv e u dx xe xx ==⎰,,2.⎰⎰-=)(2arctan d 2arctan Axd x x x x .A.x arctan2B.x arctan4C.x arctan2-D.x arctan4- 3.=⎰2-4d xx ( A ).A.C x +2arcsinB.C x +arcsinC.Cx+2arccos D.C x +arccos二.判断题1.分部积分法u v uv v u d d ⎰-=⎰的关键是恰当的选择u 和v d ,使u v d ⎰应比v u d ⎰容易积分.( √ )2.若被积函数中含有22a x ±,则可利用三角函数代换法化原积分为三角函数的积分.( √ )三.填空题1.Cx dx x ++=+⎰1211.2.设)(x f 有一原函数⎰+-='Cx dx x f x xx cos )(,sin 则.3.C x x x xdx x +-=⎰2241ln 21ln .4.)3(arcsin 31912x d xdx =-.5.Cx x e dx e x x x ++-=⎰)22(22.6.⎰++-=C x x x xdx x 3sin 913cos 313sin .四.计算题1.求不定积分⎰-dx x x232. 解:原式=Cx x d x +--=---⎰2223231)32(321612.求不定积分⎰dxxe x22. 解:原式=Cxxe x++-)21(21223.求不定积分⎰++dxxx11. 解:CxxCttdttttx+--+=+-=-=+⎰1)1(3232)22(132232原式4.求不定积分⎰+)1(xxdx. 解:cxCtdtttx+=+=+=⎰arctan2arctan21222原式5.求不定积分⎰xdxx2sin. 解:原式=Cxxx++-2sin412cos216.求不定积分⎰+dxex x5)2(. 解:原式=Cxe x++)59(5157.求不定积分dxxe x⎰-4. 解:原式Cxe x++-=-)16141(48. 求不定积分⎰++dxx111. 解:原式[]Cxx+++-+=)11ln(129.求不定积分⎰+-dxx1211. 解:原式[]Cxx+-+++=112ln12-10.求不定积分dxe x⎰+11. 解:原式=Ceexx+++-+1111ln11.求不定积分⎰xdxx ln2. 解:原式Cxx+-=)31(ln31312.求不定积分dxxx⎰-1. 解:原式Cxx+---=)1arctan1(213.求不定积分⎰---dxxx22112. 解:原式Cxx+-=)(arcsin214.求不定积分⎰dxax x2)1,0(≠>aa. 解:原式Caaxaxa x++-=)ln2ln2ln(32215.求不定积分dxx⎰-2941. 解:原式Cx+=23arcsin3116.求不定积分dxx⎰sin. 解:原式Cxxx++=sin2cos-217.求不定积分⎰xdx x 3cos . 解:原式C x x x ++=3cos 913sin 31 18.求不定积分dxx x ⎰+2. 解:原式C x x ++-+=2123)2(4)2(32五.应用题 (增加题)第六章 定积分一.单选题 1.)(240Ddx x =-⎰A.⎰⎰-+-4220)2()2(dxx dx x B.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x C.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x D.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x2.=⎰a adx x f )(( C ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定 3.⎰⎰--=+1111)()(dx x f dx x f ( C )A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定 4.定积分⎰badxx f )(是( D )A.一个原函数B.()x f 的一个原函数C.一个函数族D.一个常数 5.定积分⎰badxx f )(的值的大小取决于( C )A.)(x fB.区间 []b a ,C.)(x f 和[]b a ,D.都不正确 6.定积分的值的大小取决于( C )A. B.区间 C.)(x f 和[]b a , D.无法确定 7.⎰⎰=-3234)()(dx x f dx x f ( A )A.⎰42)(dxx f B.⎰24)(dxx f C.⎰43)(dxx f D.⎰32)(dxx f8.下列命题中正确的是( C )(其中)(),(x g x f 均为连续函数) A.在[]b a ,上若)()(x g x f ≠则dxx g dx x f ba ba⎰⎰≠)()( B.⎰⎰≠babadtt f dx x f )()( C.若)()(x g x f ≠,则⎰⎰≠dxx g dx x f )()( D.⎰=badxx f dx x f d )()(9.=⎰dx x f dx d ba)(( B ) A.)(x f B.0 C.)(x f ' D.)(x F 10. 若1)(=x f ,则⎰=ba dx x f )(( C )B.b a -C. a b - 11.定积分⎰badxx f )(是( B )A.任意的常数B.确定的常数C.)(x f 的一个原函数D.)(x f 的全体原函数 12.若⎰=+12)2(dx k x ,则=k ( B ).1 C2 13.=-⎰dx x 5042( C ).12 C二.判断题1.函数在某区间上连续是该函数在该区间上可定积分的必要条件. ( × )2.a b dx ba -=⎰0 . ( × )3.⎰='badx x f 0))(( . ( × )4.x xdx dx d ba sin sin ⎰=. ( × )三.填空题1.设)(x f '在[]b a ,上连续,则)()()(a f b f dx x f b a-='⎰.2.C dx xxx +=⋅⎰6ln 6321. 3.4111022π-=+⎰dx x x .4.ee dx xe x-=⎰2121.5.设⎰⎰==52515)(,3)(dx x f dx x f ,则2)(21-=⎰dx x f .6..0113=⎰-dx x .7.若)(x f 在[]b a ,上连续,且⎰=ba dx x f 0)(,则[]ab dx x f ba-=+⎰1)(.8.由曲线22+=x y ,直线3,1=-=x x 及x 轴围成曲边梯形的面积352)2(312=+=⎰-dx x A .9..0sin 12=⎰dx x dx d .10.11ln4141=+-⎰-dx xx.11.1)1sin(212=⎰dx xx ππ. 12.32112=⎰-dx x .13.0cos 11⎰-=xdx x .14.利用定积分的几何意义填写定积分的值π41112=-⎰dx x .15.22sin sin x dt t dx d x⎰=.16..0sin 222=⎰-xdx x .17..0113=⎰-dx x .18. 的值为积分.21ln 1⎰edx x x 19.2)253(22224⎰⎰=++-dx dx x x .20.11-=⎰e dx e x . 21.431=⎰-dx .22.⎰1212ln xdxx 的值的符号为 负 .四.计算题 1.求定积分.⎰+411xdx 解:原式)32ln 1(2+= 2.求定积分⎰-124x dx. 解:原式6arcsin 10π==x3.求定积分⎰-+-01)32)(1(dxx x . 解:原式21-=4.求定积分dxx⎰--2121211 解:原式3arcsin 2121π==-x5.求定积分⎰-+12511x dx 解:原式=2ln 54)511ln(5112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-x6.求定积分dx x ⎰+9411解:原式[])2ln 1(2)1ln(232+-=-+-=t t7.求定积分dxex⎰-1. 解:原式ee x1101-=-=- 8.求定积分dxx ⎰212 解:原式3712313==x9.求定积分θθπd ⎰402tan 解:原式[]4104tan ππθθ-=-=10.求定积分.dx x x ⎰+402sin 12sin π解:原式232ln 04)sin 1ln(=+=πx 11.求定积分dxx x ⎰-ππ23sin . 解:原式=012.求定积分()dxxx ⎰--2121221arcsin . 解:原式=324)(arcsin 31321213π=-x 13.求定积分dxx x ⎰+911. 解:原式2ln 213)1ln(2=+=x14.求定积分dxe x x ⎰12. 解:原式201)22(2-=+-=e x x e x15.求定积分⎰+104)1(x dx 解:原式24701)1(31-3=+=-x 16.求定积分dxxe x ⎰2. 解:原式102)1(2+=-=e x e x17.求定积分⎰-1dxxe x . 解:原式ex e x2101)1(--=+=-18.求定积分dx x ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+πππ33sin . 解:原式0)3cos(3=+-=πππx19.已知⎩⎨⎧≤<-≤≤=31,210,)(2x x x x x f ,计算⎰20)(dx x f . 解:原式⎰⎰-=-+=2110261)2(dx x dx x 20.求定积分()d x x x +⎰194. 解:原式627149)2132(223=+=x x21.求定积分⎰1arctan xdxx . 解:原式=214)arctan arctan (21102-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-πx x x x22.求定积分⎰1arcsin xdx . 解:原式121)1arcsin (2-=-+=πx x x23.求定积分⎰262cos ππudu. 解: 原式836)2sin 21(2162-=+=πππu u24.求定积分()dx x x x ⎰+2sin π. 解: 原式18sin cos 21202+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ππxx x x 25.求定积分dx x x ⎰-121221. 解: 原式[]41cot sin 24πππ-=--=t t t x26.求定积分dx x x 1sin 1212⎰ππ. 解: 原式11cos12==ππx27.求定积分dx x ⎰+11210. 解: 原式10ln 4950110ln 21012==+x 28.求定积分xdxx ⎰23cos sin π解: 原式410cos 41-24==πx29.求定积分⎰124dx xx . 解: 原式10ln 710ln 810=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x 30.求定积分dx x x e⎰-1ln 1. 解: 原式21ln 21ln 12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ex x31.求定积分dxx x ⎰+31)1(1. 解: 原式[]6arctan 2312π==t t x32.求定积分xdxx cos sin 203⎰π. 解: 原式410sin 4124==πx33.求定积分⎰--1321dx x . 解: 原式[]5ln 2ln -13=-=-x34.求定积分dx x x x ⎰++21222)1(12 解: 原式4212arctan 1arctan 21π-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x x 35.求定积分⎰+21ln 1e x x dx. 解: 原式[])13(2ln 1221-=+=e x36.求定积分dxe x x ⎰22. 解: 原式)1(21214202-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=e e x37.求定积分dxx ⎰20sin π. 解: 原式10cos 2=-=πx38.求定积分⎰++10)32)(1(dx x x . 解: 原式211252132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=x x x39.求定积分dttet ⎰-1022. 解: 原式212112---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=e e t 40.求定积分dx x x ⎰+102212. 解: 原式[]22)arctan (210π-=-=x x41.求定积分⎰πsin xdxx . 解: 原式[]ππ=+-=0sin cos x x x42.求定积分dx x xe⎰12ln . 解: 原式311ln 313==e x43.求定积分⎰2cos sin 3πxdxx . 解: 原式230sin 2322==πx44.求定积分()⎰ωπωω20sin 为常数tdt t 解: 原式2022sin 1cos 12ωπωωωωωω-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t45.求定积分dxx ⎰230cos π. 解: 原式[][]3sin sin 2322=-=πππx x46.求定积分dxx ⎰--2221. 解:原式43131231213113123=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=---x x x x x x47.求定积分⎰+331211dx x . 解:原式[]6arctan 331π==x48.求定积分⎰+161 4x x dx . 解:原式23ln 2)1ln(2142124+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=t t t t x五.应用题1.已知生产某产品x (百台)时,总收入R 的变化率x R -='8 (万元/百台),求产量从从1(百台)增加到3(百台)时,总收入的增加量. 解:由已知x R -='8得总收入的增加量为:12218)8(R 3131312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='=⎰⎰x x dx x dx R2.试描画出定积分⎰ππ2cos xdx所表示的图形面积,并计算其面积.解:[]1sin cos 22=-=-=⎰ππππx xdx S . (图形略)3.试描画出定积分⎰ππ2sin xdx 所表示的面积图形,并计算其面积.解:[]1cos sin 22=-==⎰ππππx xdx S . (图形略)4.计算曲线3x y =,直线3,2=-=x x 及x 轴所围成的曲边梯形面积.解:4974141340243323=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-=--⎰⎰x x dx x dx x S .(图形略) 5.计算抛物线24x y -=与x 轴所围成的图形面积. 解: 24x y -=与x 轴的交点为(-2,0),(2,0)3323142)4(203222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰-x x dx x S6.已知生产某产品x (百台)时,总成本C 的变化率为x C +='2(万元/百台),求产量从1(百台)增加到3(百台)时总成本的增加量.解:.8212)2(31312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰x x dx x C7.计算函数x y sin 2=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的平均值. 解:[]πππππ4cos 222sin 2202=-==⎰x xdxy8.计算函数x y cos 2=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的平均值.解:[]πππππ4sin 222cos 22020===⎰x xdxy第七章 定积分的应用一.单选题1.变力使)(x f 物体由],[b a 内的任一闭区间]d ,[x x x +的左端点x 到右端点x x d +所做功的近似值为( C ).A.)(x df -B.)(dx fC.dx x f )(D.dx x f )(-2.一物体受连续的变力)(x F 作用, 沿力的方向作直线运动,则物体从a x =运动到b x =, 变力所做的功为( A ). A.⎰b a x x F d )( B.⎰a b x x F d )( C.⎰-ab x x F d )( D.⎰-ba x x F d )(3.将曲线2x y =与x 轴和直线2=x 所围成的平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积可表示为=y V ( C ).A.dx x ⎰204π B.⎰4ydyπ C.()dyy ⎰-44π D.()dyy ⎰+44π二.判断题 1.定积分⎰badxx f )(反映在几何意义上是一块[a,b]上的面积. ( ╳ )2.已知边际利润求总利润函数可用定积分方法. ( √ )三.填空题1.计算曲线x y sin =与曲线2π=x 及0=y 所围成的平面图形的面积可用定积分表示为⎰=20sin πdxA .2.抛物线3x y =与x 轴和直线2=x 围成的图形面积为⎰23dxx .3.由曲线2x y =与直线1=x 及x 轴所围成的平面图形,绕x 轴旋转所的旋转体的体积可用定积分表示为⎰=14dxx V x π.四.计算题1.求抛物线3x y =与x 轴和直线3=x 围成的图形面积.2.把抛物线ax y 42=及直线)0(>=b b x 所围成的图形绕x 轴旋转,计算所得旋转体的体积. 3.一边长为a m 的正方形薄板垂直放入水中,使该薄板的上边距水面1m ,试求该薄板的一侧所受的水的压力(水的密度为, g 取2m/s 10).4.计算抛物线2x y =与直线轴和x x x 3,1=-=所围成的平面图形绕x 轴旋转所得到的旋转体体积.5.由22x y x y ==和所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积.6.求由曲线x y 1=与直线x y =及2=x 所围成的图形的面积.7.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.8.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.9.用定积分求底圆半径为r ,高为h 的圆锥体的体积.10.计算曲线3x y =和x y =所围成的图形面积.11.计算抛物线24x y -=与x 轴所围成的图形面积.12.求曲线2x y =与x y =所围成的图形的面积。

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