A 组1.验证拉格朗日中值定理对函数32452y x x x =-+-在区间[0,1]上的正确性 解析：考查拉格朗日中值定理的应用，只需在[0,1]内找出一点使得=0y '，证明：已知函数在[0,1]内连续，在(0,1)内可导，则其满足拉格朗日中值定理的两个条件 令()y y x =，则(1)2y =-，(0)2y =-又因为2()12101y x x x '=-+，令[(1)(0)]()(10)y y y x '-=-，即()0y x '=，解得1,21052412x ±==则存在(0,1)ξ∈，使得(1)(0)()(10)y y y ξ'-=-2.证明方程3220x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根，其中C 为任意常数 解析：考查罗尔定理的应用，本题可以利用反证法来证明证明：设32()2f x x x C =-+，假设存在两点1x ，2x （12x x >），使得12()()0f x f x == 则在12[,]x x 内，满足罗尔定理，即存在12(,)x x ξ∈，使得()0f ξ'=2()34f x x x '=-，令()0f x '=，解得0x =，x =（不在所设区间内，舍去） 若0ξ=，则1x ，2x 中必有一个不存在，与所设假设不符 则方程3220x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根3.若方程10110n n n a x a x a x --+++=L 有一个正根0x x =，证明：方程12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根解析：考查罗尔定理的应用，判断利用哪个中值定理可以通过所得条件得出，设1011()n n n f x a x a x a x --=+++L ，则由已知条件可得0()(0)0f x f ==，这样满足罗尔定理的第三个条件证明：设1011()n n n f x a x a x a x --=+++L ，0()(0)0f x f == 且12011()(1)n n n f x a nx a n x a ---'=+-++L根据罗尔定理可知，存在一点0(0,)x ξ∈，使得()0f ξ'=即12011(1)0n n n a nxa n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根4.设2350a b -<，证明：方程532340x ax bx c +++=有唯一的实根解析：考查连续函数的性质，分析题干所给条件，2350a b -<正是判断函数53()234f x x ax bx c =+++导数根的存在性的依据，而lim ()x f x →-∞=-∞，lim ()x f x →+∞=+∞，则可以判断函数的根的唯一性证明：设53()234f x x ax bx c =+++，42()563f x x ax b '=++令2t x =，2()563f t t at b '=++（0t ≥）而222(6)543366012(35)0a b a b a b -⋅⋅=-=-<则2()5630f t t at b '=++=没有实数解，且lim ()x f x →+∞'=+∞因此可得()0f x '>恒成立，方程532340x ax bx c +++=有唯一的实根 5.设0a b >>。

证明：ln a b a a ba b b--<< 解析：考查微分中值定理的应用，先对所证不等式进行化简，即1ln ln 1a b a a b b-<<-，很明显需要利用拉格朗日中值定理 证明：设()ln f x x =，1()f x x'=根据拉格朗日中值定理 存在(,)a b ξ∈，使得()()1()f a f b f a b ξξ-'==-又因为在[,]a b 内，1()f x x'=为单调递减函数 则()()()f a f f b ξ'''<<，即111a bξ<< 即证结论6.证明：当1x >时，xe ex >解析：考查微分中值定理的应用，这里并不涉及两个相等的函数值，因此可以不考虑罗尔定理，若设()xf x e ex =-，则(1)0f =，可以考虑拉格朗日中值定理 证明：设()x f x e ex =-，(1)0f =()x f x e e '=+因为函数()f x 在[1,]+∞上连续，在(1,)+∞上可导，根据拉格朗日中值定理 存在一点(1,)x ξ∈，其中(1,)x ∈+∞，使得()(1)()(1)f x f f x ξ'-=-化简()(1)xe ex e e x ξ-=--，因为()(1)0e e x ξ-->，则0xe ex ->即证结论7.若函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则存在(,)a b ξ∈，使得()()()f f a f b ξξξ-'=-解析：考查微分中值定理的应用，先对所要证的等式进行化简()()()()f f b f a ξξξ'+-=，很明显，等式左边为一个函数的导数，即令()()()g x f x x b =-，()()()()g x f x f x x b ''=+-，再利用拉格朗日中值定理证明即可证明：令()()()g x f x x b =-，()()()()g x f x f x x b ''=+-，且()0g b =已知函数()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，根据拉格朗日中值定理，存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()g b g a g b aξ-'=-即()()()()()f a a b f f b b aξξξ--'=+--，也即()()()()f f b f a ξξξ'+-=即证结论8.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()bf b af a f f b aξξξ-'=+-解析：考查微分中值定理的应用，从上述几题的求解过程中可以看出，利用微分中值定理解题的过程为分析题干构造函数、找两点、求解，最关键的在前面两步，函数的构造要从已知式子中的得出，本题中，思路比较清晰，直接令()()g x xf x =，题中也很明显的告诉的两点，直接利用拉格朗日中值定理证明证明：设()()g x xf x =，()()()g x f x xf x ''=+因为函数()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，根据拉格朗日中值定理 存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()g b g a g b aξ-'=-带入求解()()()()bf b af a f f b aξξξ-'=+-即证结论9.设函数()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，且123()()()f x f x f x ==，其中123a x x x b <<<<证明：在13(,)x x 内至少有一点0x ，使得0()0f x ''=解析：考查微分中值定理的应用，本题中告诉的三个相等的函数值，很明显需要利用罗尔定理来证明，不过需要两次证明：因为()f x 在(,)a b 内具有二阶导数则在12(,)x x ，23(,)x x 区间内，函数()f x 都满足罗尔定理的三个条件 则存在112(,)x x ξ∈，223(,)x x ξ∈，使得1()0f ξ'=，2()0f ξ'=又因为函数()f x '在12(,)ξξ内也满足罗尔定理的条件，则存在01213(,)(,)x x x ξξ∈∈ 使得0()0f x ''= 即证结论 B 组1.证明不等式：111ln(1)1n n n<+<+，其中n 为正整数 解析：考查微分中值定理的应用，本题可以转化为函数来证明，设1x n=，则就是证明ln(1)1xx x x <+<+，其中0x >，这时就需要利用拉格朗日中值定理 证明：设()ln(1)f x x =+，1()1f x x '=+则存在一点(0,)x ξ∈，其中(0,)x ∈+∞，使得()(0)()(0)f x f f x ξ'-=-化简ln(1)1x x ξ+=+，因为0x ξ<<，则ln(1)11x x x x x ξ>+=>++ 即证结论2.设函数()f x 在[0,1]上可导，且0()1f x <<；对于(0,1)x ∈，()1f x '≠，证明：在(0,1)内仅有一点0x ，使得00()f x x =解析：考查微分中值定理的应用，根据所要证的等式，很容易构造函数()()g x f x x =-，本题要分为两个部分进行证明，首先是证明在(0,1)内存在点0x ，然后证明0x 的唯一性。

证明：设()()g x f x x =-，因为函数()f x 在[0,1]上可导，则()f x 在[0,1]上必连续 同理()g x 在[0,1]上也必连续因为(0)(0)0g f =>，(1)(1)10g f =-<，根据根的存在性定理 在(0,1)至少存在一点0x ，使得000()()0g x f x x =-=设1x ，2(0,1)x ∈，其中12x x >，在12(,)x x 内使用拉格朗日中值定理 即存在一点12(,)x x ξ∈，使得1212()()()()1g x g x g f x x ξξ-''==--因为()1f x '≠，则121212()()0()()g x g x g x g x x x -≠⇒≠-即在(0,1)内，函数()g x 上任意两点的函数值不等 在(0,1)内仅有一点0x ，使得000()()0g x f x x =-= 即证结论3.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，如果方程()0f x =在上有n 个不同的实根，则方程()0f x '=在(,)a b 内至少有1n -个不同的实根解析：考查微分中值定理的应用，题中告诉了n 个函数值相等的点，很明显利用罗尔定理 证明：设n 个不同的实根分别为12,,,n x x x L 分别对相邻的两个根利用罗尔定理，得存在112(,)x x ξ∈，223(,)x x ξ∈L 11(,)n n n x x ξ--∈ 使得1()0f ξ'=，2()0f ξ'=L 1()0n f ξ-'= 则方程()0f x '=在(,)a b 内至少有1n -个不同的实根 即证结论4.设函数()y f x =在点0x =的某领域内具有n 阶导数，且(1)(0)(0)(0)n f f f-'===L ，试用柯西中值定理证明：()()()!n n f x f x x n θ=，其中01θ<<解析：考查柯西中值定理的应用，柯西中值定理中存在两个函数，两个点，本题也必须找到这样的条件，()()()!n n f x f x x n θ=中()()n f x θ表示()f x θ的n 阶导数，而!n 可以表示为nx 的n 阶导数，这样就找到了两个函数证明：设()ng x x =，对于函数()f x ，()g x 在(0,)x 内使用柯西中值定理即存在1(0,1)θ∈，使得111()()(0)()0()n n n f x f x f f x x x n x θθ-'-==-同样又对函数()f x '，()g x '使用柯西中值定理，得21(0,)θθ∈，使得112112112()(0)()()()0()(1)()n n n f x f f x f x n x n x n n x θθθθθθ---'''''-==-- L对函数(1)()n fx -，(1)()n g x -使用柯西中值定理，得1(0,)n θθ-∈，使得(1)(1)1111()(0)()()(1)2()0(1)2()!n n n n n n n f x f f x f x n n x n n x n θθθθθ------'-==---L L 综上可得11111()()()()()(1)2()!n n n n n f x f x f x f x x n x n n x n θθθθθ---''====-L L 即证结论5.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()1f a f b ==，试证明：存在ξ，(,)a b η∈，使得[()()]1e f f ηξηη-'+=解析：考查微分中值定理的应用，对[()()]1ef f ηξηη-'+=化简[()()]e f f e ηξηη'+=，已知[()][()()]xxe f x e f x f x ''=+，则等式左边可以利用拉格朗日中值定理 证明： 设()()xg x e f x =，()[()()]xg x e f x f x ''=+ 根据拉格朗日中值定理，存在一点(,)a b η∈，使得()()()[()()]b a g b g a e e g e f f b a b aηηηη--''===+--又因为对于函数()xh x e =，存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()b ah b h a e e h e b a b aξξ--'===-- 综上可得存在ξ，(,)a b η∈，使得[()()]e f f e ηξηη'+= 即证结论6.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()0f x '≠，试证明：存在ξ，(,)a b η∈，使得()()b a f e e e f b aηξη-'-=⋅'-解析：考查微分中值定理的应用，所证的等式中存在两个假设量，这种题目一般的解题思路为：首先化简，将具有相同假设量的值移到一边，然后根据式子判断适用于那种微分中值定理，最后利用多次或多种微分中值定理证明证明：化简等式()()b a e e f f b a e ηηξ'-'=⋅-，因为()f eηη'可以看作是柯西中值定理的右边式子，因此可以进一步化简()()()()()()b a f b f a f b f a f f e e b a eηηξ'--'=⋅--，这样就很明显了对函数()f x ，xe 使用柯西中值定理，即存在(,)a b η∈，使得()()()b af b f a f e e eηη'-=- 然后对函数()f x 使用拉格朗日中值定理，即存在(,)a b ξ∈，使得()()()f b f a f b aξ-'=-上面两式约去()()f b f a -，得()()b a f e e e f b aηξη-'-=⋅'- 即证结论7.利用中值定理求极限2lim [ln arctan(1)ln arctan ]x x x x →+∞+-解析：考查微分中值定理的应用，前面已经提到了，利用中值定理求解的关键在于构造函数和找到两个点，这里考查利用中值定理求解极限，思路也是一样的证明：因为极限中出现了两个函数ln arctan x ，因此可以设()ln arctan f x x = 则211()arctan 1f x x x '=⋅+函数()f x 在区间(,1)x x +内使用拉格朗日中值定理，即存在一点(,1)x x ξ∈+，使得ln arctan(1)ln arctan ()x x f ξ'+-=因为1x x ξ<<+，则当x →+∞时，ξ→+∞222212lim [ln arctan(1)ln arctan ]lim ()lim(1+)arctan 2x x x x f ξξξξξπξξπ→+∞→+∞→+∞'+-====8.设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)0f f ==.证明：对任意的常数k ，存在(0,1)ξ∈，使得()()0f kf ξξ'-=（提示：令()()kxF x ef x -=）解析：考查微分中值定理的应用，本题已经告诉构造的函数，而且两点也很明显，直接利用中值定理求解即可证明：设()()kxF x ef x -=，()[()()]kx F x e f x kf x -''=-由此可知(0)0F =，(1)0F =根据罗尔定理，存在一点(0,1)ξ∈，使得()[()()]0k F e f kf ξξξξ-''=-=因为0k eξ-≠，则()()0f kf ξξ'-=即证结论。