物体位于有限 远处
三 角 形 AEC中 应 用 正 弦 定 律 有 ： sin I sin( U )
rL
r
由 此 推 出 入 射 角 I公 式 ： sin I L r sin U r
再 由 折 射 定 律 可 以 求 得 折 射 角 I '的 公 式 ： sin I ' n sin I n'
1) 是 有 符 号 数 ： 0 系 统 成 正 像 ， 即 l和 l'同 号 ， 此 时 物 和 像 位 于 折 射 球 面 的
凸球面曲率半径为正，凹球面曲率半径为负
2.1.1 符号规则
❖ 注意，符号规则是人为规定的，不同的书 上可能有所不同，但是在使用时只能使用 其中一种，不能混淆。
❖ 另外，在同一次光路计算当中，正方向 （光线传播方向）的规定也最好是唯一的， 不建议更换方向。
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 的光路计算公式
由 图 可 知 ： ＝ U I U ' I ', 所 以 有 ： U ' U I I '
在三角形A ' EC使用正弦定律得： 则 像 方 截 距 为 ： L ' r r sin I '
sin U '
sin I ' sin U '
L ' r
r
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 的光路计算公式
❖ OA’大小为L’，称为像方截距；角EA’O，大小为U’，称为像方 孔径角。
图2-1 单个折射球面的有关参量
2.1.1 符号规则
❖ 实际计算中，仅仅了解这些参量的大小是不够的，我们需要知道物（像） 点在折射面的左右，折射面的凹凸，光线在光轴的上下。。。等等信息， 所以必须人为再给出一些符号法则来完善这些信息。
❖ 2.1.1 符号规则（重点） ❖ 2.1.2 实际光线经过单个折射球面的光路计算公式 ❖ 2.1.3 近轴光的光路计算公式
2.1.1 符号规则
❖ 图中OE为n和n’的分界面；C为球心；OC为球面曲率半径，大 小为r；通过球心的直线是光轴，和球面的焦点为定点O。
❖ OA大小为L，称为物方截距；角EAO，大小为U，称为物方孔 径角；
2.2.1 垂轴倍率β
❖ 定义：像的大小与物的大小比值。
❖ 其数学表示形式为：β=y' /y
近轴区有限大小的物体 经过单个折射球面的成像
从图中可见，根据三角形ABC与A’B’C相似有：
2.2.1 垂轴倍率β
❖ 又根据阿贝不变量有：
最常使用的公 式
要牢记！
2.2.1 垂轴倍率β
❖ 由之前的公式，可以计算出β的具体数值， β的大小和符号 有着十分重要的意义，我们用其来判断成像的状况！
3 、 n '- n = n ' n l' l r
( 高 斯 公 式 ）
该公式表示折射球面的物像位置l和l’之间的关系，是求 高斯像面位置的公式。
2.2 单个折射球面的成像倍率、拉赫不 变量
❖ 2.2.1 垂轴倍率β ❖ 2.2.2 轴向倍率α ❖ 2.2.3 角倍率γ ❖ 2.2.4 三个倍率之间的关系 ❖ 2.2.5 拉格朗日-赫姆霍兹不变量
1、 n 1 r1 l n' 1 rl1' Q
该公式表示为不变量的形式，Q称为阿贝不变量，对于一 个折射球面，物空间和像空间的Q值是相同的。 不同的共轭关系点会对应不同的Q值，在日后的像差理论 学习中有重要意义。
2 、
n'u'-n un'nh r
该公式表示近轴光折射前后的孔径角u和u’之间的关系。
❖ 根据近轴光路的计算公式有：lu=l’u’=h
同时我们有三个重要的推论公式：
1、 2、 3、
n
1 r
1l
n'
1 r
1 l'
Q
n'u'-nu n'n h r
n' - n =n'n (单折射球面的高斯公式） l' l r
以上三式是我们计算单折射球面物像之间关系的基本公式
2.1.3 近轴光的光路计算公式
当物在无限远时， L = −∞，设一条光 线平行于光轴入射，入射高度为，则 有：
物体位于无限远 处
2.1.2 实际光线经过单个折射球面 的光路计算公式
❖ 由上面提供的公式，我们可以由已知的L和U求出L’和U’。 ❖ 由以上公式可知，当L一定的时候，L’是U的函数，所以A
点发出的同心光束，以不同的U角射到折射面再出射时， 已经不再是同心光束了，同光轴有多个不同交点，说明成 像已经不完善了，这就是所谓“球差”。 ❖ 可见，球差是折射球面的原理性误差。
区域为“近轴区”或“傍轴 区”。
l' r r i' u'
以上近似得到了一个非常大的好处： 现在对于已知的l和u值，无论u为何值，l’为定值。 表明轴上点在近轴区成像时，其像可认为是完善的， 称为高斯像点，过高斯像点垂直于光轴的面称为高斯像面，
构成物像关系的一对点称为共轭点。

一般规定光是自左向右传播 1、对垂轴线段：以光轴为准，在光轴之上为“＋”，光轴之下为“－”； 2、对沿轴线段：以顶点O为原点，顶点到光线与光轴交点的方向与光的 传播方向相同则为“＋”，反之则为“－”； 3、光线与光轴夹角（物方孔径角为U，像方孔径角为U‘）：由光轴转向 光线，以锐角方向进行度量，顺时针为“＋”，逆时针为“－”； 4、法线与光轴的夹角（ϕ）：由光轴以锐角转向法线，顺时针为“＋”， 逆时针为“－”； 5、光线与法线的夹角（入射角I、反射角I’、折射角I”）：由光线以锐 角转向法线， 顺时针为“＋”，逆时针为“－”； 6、折射面之间的间隔（d）：由前一折射面的顶点到后一折射面的顶点方 向与光线的传播方向一致为“＋”，反之为“－”。
球面和共轴球面 系统
2.1 光线经过单个折射球面的折射
一个物体经过特定光学系统的成像过程，实际是光线经过 光学系统各个折射面折射后的综合效果。要知道具体的成像关 系，需要逐个面进行光路计算。因此本章我们首先讨论单个折 射球面的折射成像关系的计算，然后再过渡到整个系统的计算。
本章主要讨论共轴折射球面子午面内的光路计算。
2.1.3 近轴光的光路计算公式
❖ 我们假设A点发出的光线与 光轴夹角U很小，则相应的 角度I、I’和U’都很小，那么
这些角度的正弦值就可以用
弧度值来替代了，用小写字 母i、i’、u和u’来表示。
此时的光路计算公式变为：
i l ru r
i' n 'i n
u ' u i i'
❖ 我们定义可以做这样近似的