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• 二、轴向放大率（倍率）α 轴向放大率（倍率） • 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。 如果轴上物点移动，那么，像点也必然移动。
如图2.3-2，设物点A沿轴移动 dl ，那么像点移 如图 ，设物点 沿轴移动 动dl' ，则沿轴放大率定义为 dl'
α=
对式(2-12)进行微分得 进行微分得 对式
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• 当角度足够小时，上述角度的正弦值与弧度值 几乎没有差别，此时角度U,I,U',I' 的正弦值可 以用相应的弧度值u,i,u',i' 来代替。为了区别， 也用小写字母 表示，见图2.2-1。因为这种光线 很靠近光轴，所以称为近轴光线。
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对于近轴光线， 对于近轴光线，其光路计算公式可以直接由上 节公式得到， 节公式得到，这只要将其中的角度的正弦值用弧 度值来代替即可
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§2-3 单个折射球面的成像放大率及拉赫不变量
折射面对有限大小的物体成像时， 折射面对有限大小的物体成像时，就产生了 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题， 像的放大率问题，像的虚实、正倒的问题，下 面在近轴区内予以讨论。 面在近轴区内予以讨论。 • 一、垂轴放大率（倍率）β 垂轴放大率（倍率） • 在折射球面的近轴区，如图2.3-1，垂轴小线 在折射球面的近轴区，如图 ， 如果由点B作 段AB，通过折射球面成像 ，通过折射球面成像A'B' 。如果由点 作 一通过曲率中心C的直线 的直线BC，显然， 一通过曲率中心 的直线 ，显然，该直线应 通过点B' 对于该球面来说也是一个光轴， 通过点 。BC对于该球面来说也是一个光轴， 对于该球面来说也是一个光轴 称为辅轴。由辅轴上点B发出沿轴光线必然不 称为辅轴。由辅轴上点 发出沿轴光线必然不 近轴区的物高AB以 表 发生折射地到达像点 。近轴区的物高 以y表 像高以- 。 示，像高以 y'。像的大小和物的大小的比值 称为垂轴放大率 垂轴放大率β 称为垂轴放大率 y' •
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• 物像位置关系式
• 对于以上公式，利用近轴区成立的关系，加以 对于以上公式，利用近轴区成立的关系， 代换 l u=h=l'u' • 可以导出以下三个重要公式
•
n'−n n' u'−nu = h r n' n n'−n − = =Φ l' l r
（2－11） － ） （2－12） － ）
1 1 1 1 （2－13） － ） n' − = n − = Q r l' r l • 以上公式中，Q称为阿贝不变量，这个量在物 以上公式中， 称为阿贝不变量， 称为阿贝不变量 像空间应相等。 为光焦度， 像空间应相等。φ为光焦度，是光学系统的一 个重要参数。 个重要参数。
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角放大率（倍率） 三、角放大率（倍率）γ 在近轴区以内，通过物点的光线经过折射后， 在近轴区以内，通过物点的光线经过折射后，必 然通过相应的像点，这样一对共轴光线与光轴的 然通过相应的像点， 的比值即为角放大率γ 夹角 和u的比值即为角放大率 的比值即为角放大率
u' γ= u
利用关系式 lu=l'u'，可得 ，
dl
n' dl' ndl − 2 + 2 =0 l' l
n n l' 2 α = 2 2 =β n' n' l
2 2
dl' nl'2 α= = 2 dFra bibliotek n' l
n' 2 α= β n
（2－16） － ）
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• 由上式可见在折射系统中,n＞0,n'＞0,沿轴放大 由上式可见在折射系统中, ＞ ＞ 沿轴放大 率恒大于0 这表示在折射系统中dl'与 同号， α率恒大于0，这表示在折射系统中 与dl 同号， 即物、像移动方向相同。 的大小随物体位置而异， 即物、像移动方向相同。〈的大小随物体位置而异， 由于沿轴放大率与垂轴放大率不是线形关系， 由于沿轴放大率与垂轴放大率不是线形关系，除 的一对共轭面之外的任何位置上， 了| β|>1 的一对共轭面之外的任何位置上，都不 能对小正方体成相似的立方像。 能对小正方体成相似的立方像。
得
U' =U + I − I '
（2－3） － ）
sin I ' sin U' = 在CEA'中应用正弦定理 L'−r r sin I ' 故 L' = r + r （2－4）3 － ） sin U'
•
以上公式是计算含轴面内光线光路的基本公 式。依次使用以上公式就可由入射光线的值计 算出出射光线的值。 算出出射光线的值。 分析以上公式， 角的函数， 分析以上公式， 是U角的函数，是随着 角 角的函数 是随着U角 的变化而变化的。这样， 的变化而变化的。这样，从A点发出的同心光 点发出的同心光 由于它们的孔径角不同， 变化， 束，由于它们的孔径角不同，而 变化，这将使 被球面折射以后的光线与光轴的交点 不是唯一 的。同心光束经过单个折射球面以后不再是同 心光束， 心光束，因此轴上物点以有限孔径角经单个折 射球面成像时，这个像是不完善的。 射球面成像时，这个像是不完善的。这是一种 由折射球面固有特性引起的成像缺陷，称为球 由折射球面固有特性引起的成像缺陷，称为球 差。
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二、实际光线经过单个折射面的光路计算
在上图中,△AEC中应用正弦定理
sin I sin( −U) = − L+r r
L−r sin I = sin U（2－1） － ） r
n （2－2） － ） 由折射定律 sin I ' = sin I n' n' 在△AEC和 △CEA' 中,有 I = ϕ + (−U),ϕ = I '+U'
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§2-4 共轴球面系统
单个折射球面不能作为一个基本成像元件（反 射镜作为折射面的特例，可以由单个面构成一基 本成像元件）。基本成像元件是至少由两个球面 或非球面所构成的透镜。为加工方便绝大部分透 镜是由球面组成的。
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• 以下是解决如何由一个折射面过渡到下一个面的问 题。一个共轴球面系统的结构参数由下列数值确定 如有k个折射面）：各个折射面的曲率半径 个折射面）：各个折射面的曲率半径r （如有 个折射面）：各个折射面的曲率半径 k; 各个折射球面的顶点之间的间隔为d （k=1,2,3…)各个折射球面的顶点之间的间隔为 k 各个折射球面的顶点之间的间隔为 其中， （k=1,2,3…) 。其中，d1 是指第一个面的顶点 到第 之间的距离，其余类推； 二面顶点 之间的距离，其余类推；各球面间的介质 其中， 折射率n 折射率 k （k=1,2,3…) ，其中，n1 是指第一面的物 方介质折射率，其余类推，其中n 方介质折射率，其余类推，其中 k+1=nk 。 • 有了这些参数以后， 有了这些参数以后，才能对整个光学系统进行光 路计算和成像放大率的计算。 路计算和成像放大率的计算。 • 上图中画出了一个近轴区的物体被共轴球面光学系 统前两个面近轴光线成像的情况。 统前两个面近轴光线成像的情况。
（2－17） － ）
四、以上三个放大率参数之间的关系
l n 1 γ= = ⋅ l' n' β
（2－18） － ）
n' 2 n 1 =β αγ = β ⋅ n n' β
（2－19） － ）
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拉格朗日—赫姆霍兹不变量 五、拉格朗日 赫姆霍兹不变量
l u' y' nl' 在公式 β = = 中，利用 γ = = ，得 l' u y n' l
β=
y
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由图中相似三角形ABC和A'B'C' 可得 和 由图中相似三角形
y' l'−r 或 β= = y l −r y' nl' 由式（ 由式（2-13）可得 ） β= = y n' l
y' l'−r − = y −l + r
(2-15)
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• 讨论： 讨论：
(1)当求出轴上一对共轭点的截距 和l' 以后，可 当求出轴上一对共轭点的截距l和 以后， 当求出轴上一对共轭点的截距 用上式求得通过该共轭点的一对共轭面上的垂轴 放大率。 ＜ 表示成倒像 表示成倒像， ＞ 时成正像 时成正像。 放大率。β＜0表示成倒像，β＞0时成正像。垂轴 放大率仅决定于共轭面的位置，在一个共轭面上， 放大率仅决定于共轭面的位置，在一个共轭面上， 放大率为常数，故像必和物相似。 放大率为常数，故像必和物相似。 • (2)当β＜0时，l和 l'异号，表示物和像处于球面 异号， 当 ＜ 时 和 异号 的两侧，像的虚实必与物一致。 的两侧，像的虚实必与物一致。当β＞0时，l和l' ＞ 时 和 同号，表示物和像处于折射面的同一侧， 同号，表示物和像处于折射面的同一侧，像的虚 实与物相反。 实与物相反。 • (3)当| β|>1时，为放大像，即像比物大。反之为 当 时 为放大像，即像比物大。 缩小像。 缩小像。 •
第二章 共轴球面系统的物像关系
§2-1 光线经过单个折射球面的折射
• 一、符号规则 • 如图2.1-1，规定从左到右是光线的正方向。 规定从左到右是光线的正方向。 规定从左到右是光线的正方向 • 沿轴线段：L、L'、r 等，以折射球面顶点O 沿轴线段： 、 、 以折射球面顶点 为原点，如果由原点O到光线的交点和球心的 为原点，如果由原点 到光线的交点和球心的 方向与规定的光线传播正方向相同，其值为正， 方向与规定的光线传播正方向相同，其值为正， 反之为负；或者说，沿轴线段在顶点O右侧值 反之为负；或者说，沿轴线段在顶点 右侧值 为正， 线段值为负。 为正，在左侧 线段值为负。 • 垂轴线段：以光轴为基准，在光轴之上为正， 垂轴线段：以光轴为基准，在光轴之上为正， 在光轴之下为负。如物、像的高y、 在光轴之下为负。如物、像的高 、y' 、h 等。