= l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
共轴球面系统的过渡公式（3-2）
lu l'u' h
l1u1 l'1 u'1 h1 ,l2u2 l'2 u'2 h2 ,
l2u2 l'1 u'1d1u'1 ,l3u3 l'2 u'2 d2u'2 , lkuk l'k1 uk1 dk1uk1
拉格朗日- 赫姆霍兹恒等式
y' nl'
y n'l
lu l'u'
J为拉赫不变量 nuy n'u' y' J
题 例 1：在一直径为30cm的球形玻璃鱼缸内盛满水，鱼缸中
心处有一条小鱼，求缸外观察者看到鱼的位置及放大率！
解： n n n n l' l r
n' 4 ,l 15, r 15代入 3
定义：通过一定光学系统所成的像对光轴的 垂直高度与物本身对光轴的垂直高度的比。
公式：
y'
y
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率----横向放大率
y'
y
y' l'r y l r
n(1 1) n'(1 1)
rl
r l'
物像位置关系式
n l r n' l' r
rl
rl'
l r l' r n' l nl'
n'k 2
n1 n1
n'k
球面反射镜
n' n
n' n n'n l' l r
11 2 l' l r
第二章 共轴球面系统
大纲要求
[内容] 球面和共轴球面系统 符号规则 球面反射镜
[目的要求] 掌握单球面折射时近轴区光路计算公式和放大率计算公式 掌握笛卡儿符号规则 [时间] 4学时 [教学方法]课程讲授
近轴区的放大率
-u
u’
近轴区的放大率——横向放大率 Transverse magnification
ß﹥0，表示成正像，物像位于折射面的同侧，物 像性质相异
︱ß︱﹤1, 为缩小的像；︱ß︱﹥ 1, 为放大的像
近轴区的放大率----轴向放大率 axial magnification
定义：光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的关系。 当物体沿光轴有一微小位移时，其像也将发生变化
公式： dl'
l2 1
1（倒立）
折射球面2第二次成像，以顶点O2为基准点，利用物像公式：
n2 n2 n2 n2
l'2 l2
r2
其中，l2 20cm ，n'2 1.00 ，n2 1.50 ，r2 10cm
解得
l'2 8cm （最终像，实像）
2
n2l'2 n'2 l2
0.6（正立）
最终像高：
y' 12 y 0.6mm
共轴球面系统的过渡公式（2）
物像高度
y2 y'1 , y3 y'2 , yk y'k1
截距
l2 l'1d1,l3 l'2 d2,lk l'k1dk1
共轴球面系统的过渡公式（3-1）
n'u'nu n'n h
h?
r
u2 u'1 ,u3 u'2 ,uk u'k1
×
l2 l'1d1,l3 l'2 d2,lk l'k1dk 1
l’2
l2
-l
l’1
解： 折射球面1第一次成像，以顶点O1为基准点，利用物像公式：
n1 n1 n1 n1
l'1 l1
r1
其中，s1 20cm ，n'1 1.50 ，n1 1.0，r1 5.0cm
解得
s'1 30cm
（中间像，实像）
l’2
利用横向放大- 率l 公式
1
n1s'1 n'1 sl1’1
得 :l' 15cm
nl' 3
n'l 4
n' 2 3
n4
1
例题2. 置于空气中的一粗圆玻璃棒，折射率为1.50，将其左、 右两端分别磨成半径为5.0cm、 10cm的半球面，构成一个双 凸厚透镜，其厚度为10cm。今有一高为1mm的垂轴小物正立 于透镜左半球面顶点左方20cm处。试求最终像的位置并判断 最终像的性质。
n' 2
n
物体为立方体，由于两放大率不同，像不再 是立方体，因此折射球面不可能获得与物体 相似的立体像
轴向放大率总是正值，物体沿光轴移动，其 像也同方向移动
轴上有限距离的轴向放大率
n' n
1
2
A1 A2 -l2
-l1 n
A’2 A’1
l’2 l’1
n’
近轴区的放大率----角放大率
Angular magnification
定义：一对共轭光线与光轴的夹角的比 值。
公式： u'
u
近轴区的放大率----角放大率
u'
u
lu l'u' h
u' l
u l'
近轴区的放大率----角放大率
n n' l n n'l n 1 n' n l' n' nl' n'
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
n
( n' 2 )( n 1 ) n n'
dl
近轴区的放大率----轴向放大率
n' n n'n 进行微分 l' l r
n'dl' l'2
ndl l2
0
dl' dl
nl'2 n'l 2
横向放大率和轴向放大率的关系
dl' dl
nl'2 n'l 2
n
n'
n n'
nl'2 n'l 2
( nl' )2 n'l
2
n' 2
n
横向放大率和轴向放大率的关系
共轴球面系统
共轴球面系统的结构参量
各个折射面的曲率半径：
r1、r2、………rk
各球面顶点的间距：
d1、d2、………dk-1
各球面之间的介质折射率：
n1、n2、………nk+1
共轴球面系统的过渡公式（1）
折射率
n2 n'1 , n3 n'2 ,nk n'k1
孔径角
u2 u'1 ,u3 u'2 ,uk u'k1
h2 h1 d1u'1 , h3 h2 d2u'2 , hk hk1uk1 dk1uk1
共轴球面系统的拉赫不变量
nuy n'u' y' J n1u1y1 n2u2 y2 ,nkuk yk nk'uk' yk' J
共轴球面系统的放大率
12 k 12 k 1 2 k
nl' l' r n' l l r
y' l'r y lr
y' nl'
y n' l
近轴区的放大率
---- 横向放大率
y' nl'
y n'l
ß取决于介质的折射率和物体的距离，与物体的大 小无关
对于一对确定的共轭面， ß为一常数 ß﹤0，表示成倒像，物像分居折射面的两侧，物
像性质相同