n' n P r
>0 会聚 ＝0 平面折射 <0 发散
若物点位于左方无限远处的光轴上，此时入射光 线平行于光轴，经球面折射后交光轴的交点记为F 。 这个特殊点是轴上无限远物点的像点，称为折射球面 的像方焦点。此时的像距称为像方焦距，用 f 表示。
13
将l -代入（1-20）式可得
ll
19
如果物点沿轴移动有限距离，如图所示，此距离显 然可以用物点移动的始末两点A1和A2的截距差 l2－l1 来表示，相应于像点移动的距离应为l 2 l 1
l2 l1 l2 l1
20
对A1和A2点分别用（1-20）可得
n n n n n n l2 l2 r l1 l1
n f r n n
像距为无限远时所对应的物点，称为折射球面的物方 焦点或前焦点，记为F，此时的物距称为物方焦距或 前焦距，记为 f，有
ll '
n f r n n
14
由上两式可以看出，折射球面的两焦距符号相反，而且 它们之间还有如下关系：
f f r
单折射球面两焦距和光焦度之间还有如下关系：
物方孔径角:U，像方孔径角：U′ E n
I
h
I′

n´
U′ C L′
4
-U
A -L O D r
2. 符号规则：
光线的传播方向：自左向右为正 线段 沿轴:以O为原点， －L，r，L′ 垂轴 h 球面的曲率半径：球心在球面顶点的右方为正，反之为负 角度 光线与光轴的夹角：光轴转向光线 -U，U′ 光线与法线的夹角：光线转向法线 I，I′ 光轴与法线的夹角：光轴转向法线
U为物方孔径角，是个很小值（<<1rad）,当U<5°，近似代 替误差大约为1%. 近似的有效范围根据精度要求可扩展至 10-30°
10
3.近轴光线经折射球面计算的其他形式
1 1 1 1 ( ) Q n( ) n r l r l
（1-18） （1-19）
n n n n （1-20） l l r 一个公式的三种不同表示形式，便于不同场合的应用
∴单个折射球面对轴上物点成像是不完善的，这种 成像缺陷称为像差，是以后将会讨论到的球差。
8
若物体位于物方光轴上无限远处，这时可认为 由物体发出的光束是平行于光轴的平行光束，即L ＝－∞，U＝0，不能用（1-9）式计算角I，而入射 角应按下式计算
h sin I r
h为光线的入射高度
9
三单个折射球面近轴光线的光路计算
（1-11）
同样，在三角形A sin I r L r sin I 化简后得像方截距 L r r sin U
（1-12）
（1-9）～（1-12）式就是计算子午面内光线光路的 基本公式。给出一组L、U，可计算L′、U′
7
由公式可知，L′是U的函数。不同 U 的光线经折射 后不能相交于一点，点－》斑
u' u
l l
n 1 n'
4. 三个放大率之间的关系
n' 2 n 1 n n' 5. 拉亥不变量J
在公式 y y =nlnl 中，利用公式 =l l=u u，
nuy nuy J
此式称为拉格朗日－亥姆霍兹恒等式，简称拉亥公式。其 表示为不变量形式，用J 表示，简称拉亥不变量。 J 表征了这个光学系统的性能，即能以多高的物、多大孔径角 的光线入射成像。 J 值大，表明系统能对物体成像的范围大， 成像的孔径角大，传输光能多。同时，孔径角还与光学系统分 辨微细结构的能力有关。所以 J 大的系统具有高的性能。
n n nu nu h r
h lu l u
l′和u无关（i、i′、u ′和u成线性关系） 很小，cos 1，光程S和 无关
25
4.细小物平面近轴光成像
①物平面以细光束经球面所成的像
细光束， A—— 》 A'，完善成像 同心球面 A1A A2—— 》曲面 A1' A'A2' ，完善成像 由物象位臵公式， l 变小， l'也变小，平面 B1AB2—》 曲面 B1' A'B2'，不再是平面,像面弯曲 ② 细小物平面以细光束经折射球面成像： 对于细小平面，认为像面弯曲可以忽略，平面物 —— 》 平面像，完善成像
移项整理得
l1 n l2l1 n n2l2l1 n l2 12 2 l2 l1 n l2l1 n n l2l1 n
即
其中1 和2 分别为物在A1和A2两点的垂轴放大率
1 2
n' 12 n
21
3. 角放大率
共轭光线与光轴夹角u 和u 的比值，称为角放大率
26
E
n B -U A -l O
n´
U′ r
l′ C
A′
y ' nl ' y n 'l
确定 物体的成像特性，正 倒、虚实、放大与缩小
dl nl 2 n 2 2 dl nl n
光轴上一对共轭点沿轴 移动量之间的关系 折射前后一对光线与光 轴夹角之间的关系
u' l n 1 r u l ' n'
2
§2.1 近轴光学系统的光路计算 • 大多数光学系统都是由折、反射球面或平面组
成的共轴球面光学系统
• 折射球面系统具有普遍意义 • 光学系统的成像实际上是物体各点发出的光线
经光学系统逐面折、反射的结果
• 所以首先讨论单个折射球面折射的光路计算问
题，再过渡到整个光学系统
• 实际光学系统中，光线和球面的位臵可能是多
位臵外，还会涉及像的正倒、虚实、放大率等 问题。
• 细小物平面以细小光束成像
物平面是靠近光轴的很小的垂轴平面，并以细光束成 像，就可以认为其像面也是平的，成的是完善像，称 为高斯像，我们将这个成完善像的不大区域称为近轴 区
16
一 单个折射球面成像
E
• 1.垂轴放大率
B
n
n´ -U
BC对于该球面来 说也是光轴，称 为辅轴
第二章 共轴球面系统的物像关 系 Coaxial Spherical System
本章是本课程的理论基础
也是本课程的重点。
• §2.1近轴球面光学系统的光路计算 • §2.2球面光学成像系统 • §2.3理想光学系统 • §2.4理想光学系统的基点与基面 • §2.5理想光学系统的物象关系 • §2.6理想光学系统的放大率 • §2.7节点 • §2.8理想光学系统的组合 • §2.9透镜 • §2.10矩阵方法
nyu n' y' u' J
光学系统的性 能
27
二、球面反射镜
§2.2 球面光学成像系统
在折射面的公式中，只要使n = n，便可直接得到反射 球面的相应公式。 1．球面反射镜的物象位臵公式 将n = n 代入（1-17）式，可得
1 1 2 l' l r
n = -n´ -U A C A´

n´ U′ C A′
-L
L′
Lr sin U r n 在E点，由折射定律得 sin I sin I n
r
sin(180 I ) sin I rL rL
或
sin I
（1-9） （1-10）
由图可知
I U I U
6
所以
U I U I
i
-i´
-U´ O
-r
-L
-L´
2．球面反射镜的焦距
r f f 2
球面反射镜的二焦点重合， 凹球面反射镜: r< 0，f< 0，实焦点，光束会聚 凸球面反射镜: r > 0 , f'>0 ，虚焦点，光束发散
3． 球面反射镜的放大率公式
y l y l dl 2 dl u 1 u
n n f f f n f n
所以，焦距和和光焦度一样也是折射面的特征量。 以后将会看到，对折射球面得出的这两个关系， 对任何光学系统都是适用的。
15
§2.2球面光学成像系统 • 本节讨论有限大小的物体经过折射球面在近轴
区的成像情况
• 有限大小的物体经折射球面的成像，除了物象
E
n -U A O D r I h I′

n´ U′ C
-L
L′
5
二 单个折射球面的光路计算
在给定单个折射球面 的结构参量 n、n 和 r 时，由已知入射光 线坐标 L 和U，计算 折射后出射光线的坐 A 标L 和U
在ΔAEC中，应用正弦定 理有 sin(U ) n -U O D r I E h I′
种多样的，为使推导出的公式在各种情况下都 适用，对参数符号做了规定
3
一 基本概念和符号规则
1.基本概念
E
•
• • •
光轴：若光学系统由球面组成，它们的球心位于同一直线 上，则称为共轴球面系统，这条直线为该光学系统的光轴。 实际上，光学系统的光轴是系统的对称轴 子午面：通过物点和光轴的截面
物方截距：L＝OA，像方截距：L′=OA′
n ' dl ' ndl 由（1-20）式微分得到： 2 0 '2 l l
讨论：
dl dl
dl nl 2 n 2 2 dl nl n
① 恒为正，当物点沿轴向移动时，像点沿轴同向移动 ②一般， ，即空间物体成像后要变形。如正方体 ③只有在dl 很小时才适用
AB＝y，AB=-y
U′
O
A′ B′
A -l