全品高考复习方案数学(理科) RJA 第六单元不等式、推理与证明1.编写意图(1)重视不等式本身的知识、方法的讲解和练习力度,以基本的选题和细致全面的讲解进行组织,使学生掌握好不等式本身的重要知识和方法,为不等式的应用打下良好的基础.(2)二元一次不等式(组)所表示的平面区域和简单的线性规划问题,是高考重点考查的两个知识点,我们不把探究点设置为简单的线性规划问题,而是设置为目标函数的最值(这样可以涵盖线性规划和非线性规划),含有参数的平面区域以及生活中的优化问题,这样在该讲就覆盖了高考考查的基本问题.(3)对于合情推理,主要在于训练学生的归纳能力,重点在一些常见知识点上展开.2.教学建议(1)在各讲的复习中首先要注意基础性,这是第一位的复习目标.由于各讲的选题偏重基础,大多数例题、变式题学生都可以独立完成,在基础性复习的探究点上要发挥教师的引导作用,教师引导学生独立思考完成这些探究点,并给予适度的指导和点评.(2)要重视实际应用问题的分析过程、建模过程.应用问题的难点是数学建模,本单元涉及了较多的应用题,在这些探究点上教师的主要任务就是指导学生如何通过设置变量把实际问题翻译成数学问题,重视解题的过程.(3)不等式在高考数学各个部分的应用,要循序渐进地解决,在本单元中涉及不等式的综合运用时,我们的选题都很基础,在这样的探究点上不要试图一步到位,不等式的综合运用是整个一轮复习的系统任务,在本单元只涉及基本的应用,不要拔高.(4)推理与证明是培养学生良好思维习惯,学习和运用数学思想方法,形成数学能力的重要一环.要站在数学思想方法的高度,对多年来所学习的数学知识和数学方法进行较为系统的梳理和提升.务必使学生对数学发现与数学证明方法有一个较为全面的认识.3.课时安排本单元共7讲,一个小题必刷卷(九),建议每讲1个课时完成,小题必刷卷1个课时完成,本单元建议用8个课时完成复习任务.第33讲不等关系与不等式考试说明了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.考情分析考点考查方向考例考查热度不等式的性比较数、式的大小2017全国卷Ⅰ11 ★☆☆质不等式性质求参数的值、范围★☆☆的应用真题再现■[2017-2013]课标全国真题再现[2017·全国卷Ⅰ]设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z[解析] D设2x=3y=5z=t(t>1),则x=log2t,y=log3t,z=log5t,所以2x=2log2t=lo t,3y=3log3t=lo t,5z=5log5t=lo t,又t>1,所以上述三个值中底数大的反而小,故只需比较,,的大小即可.因为()6=8<9=()6,所以<.因为()15=35=243>125=(15,所以<.因为(10=32>25=()10,所以<所以<<所以3y<2x<5z.■[2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·山东卷]若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是()A.a+<<log2(a+b)B.<log2(a+b)<a+C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b)<a+<[解析] B利用特殊值法检验排除,当a=2,b=时,选项A,C,D对应的不等式不成立,故选B.2.[2016·北京卷]已知x,y∈R,且x>y>0,则 ()A.->0B.sin x-sin y>0C.x-y<0D.ln x+ln y>0[解析] C选项A中,因为x>y>0,所以<,即-<0,故结论不成立;选项B中,当x=,y=时,sin x-sin y<0,故结论不成立;选项C中,函数y=x是定义在R上的减函数,因为x>y>0,所以x<y,所以x-y<0;选项D中,当x=e-1,y=e-2时,结论不成立.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)> = < (2)> = <2.(1)b<a (3)> a+c>b+d (4)> < > (5)>对点演练1.a [解析] 因为b-c=--(-)=(+)-(+),(+)2=9+2,(+)2=9+2,所以b-c<0,即b<c.又a-c=-(-)=2-=->0,所以a>c.所以a,b,c中最大者为a.2.f>g[解析] ∵f-g=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,∴f>g.3.③[解析] ①若b>0>a,则<0<,故①正确;②若0>a>b,则ab>0,∴>,即<,故②正确;③若a>0>b,则>0>,故不能推出<,因此③不正确;④若a>b>0,则>,即<,故④正确.综上可知,不能推出<成立的是③.4.(-7,7)[解析] 由题可知-1<a<2,-3<b<5,∴-2<2a<4,-5<-b<3,结合不等式的性质可得2a-b∈(-7,7).5.S>1[解析] 因为a,b,c∈R+,所以S=++>++=1,则S与1的大小关系是S>1.6.--[解析] 因为2<a<3,-3<b<-2,所以-<<-,所以-<<-.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)考虑利用差值比较法进行判断;(2)先令3a=4b=6c=k,并转化为对数形式,然后作商比较.(1)P>Q (2)C[解析](1)P-Q=---=---=--=-.因为a>b>0,所以2ab>0,a-b>0,a2+b2>0,a+b>0,所以->0,所以P>Q.(2)令3a=4b=6c=k,则a=log3k,b=log4k,c=log6k,则===<1,则3a<4b,又===<1,则4b<6c,所以3a<4b<6c,故选C.变式题(1)M>N (2)C[解析] (1)因为M-N=(2p+1)(p-3)-[(p-6)(p+3)+10]=p2-2p+5=(p-1)2+4>0,所以M>N.(2)=77-a a a-7=-,则当a>7时,0<<1,7-a<0,则->1,∴77a a>7a a7;当0<a<7时,>1,7-a>0,则->1,∴77a a>7a a7.综上,77a a>7a a7.例2[思路点拨] 利用不等式的性质或特殊值法求解.(1)D(2)D[解析] (1)因为a<b<0,所以>>0,所以a2>b2,故a2+1>b2,①正确.a<b<0⇒-a>-b>0⇒-a+1>-b+1>0,故|1-a|>|b-1|,②正确.a<b<0⇒a+b<a<b<0,所以>>,③正确.故选D.(2)取a=,b=4,c=2,则由=,=,知D结论错误.故选D.变式题(1)D(2)D[解析] (1)由a<b<0,得>,A成立;因为a<0,a<b,所以a2>ab,B成立;因为a<b<0,所以>,C成立;当a=-2,b=-1时,-=-1,=-,->不成立.故选D.(2)A中,当x=1,y=-1时,<不成立,所以A错.B中,当x=1,y=时,log2(x-y)=-1,所以B错.C中,当x=1,y=-1时,x2>y2不成立,所以C错.D中,f(x)=在R上单调递减,当x>y时,<成立,故选D.例3[思路点拨] (1)首先将两个已知不等式同时除以a,化为关于,的不等式组,然后利用不等式的性质可求得的取值范围;(2)先令9x+y=a(2x+y)+b(3x+y),然后通过比较系数求得a,b 的值,进而根据条件中两个代数式的取值范围确定出9x+y的取值范围.(1)A(2)-[解析] (1)三个正数a,b,c满足a≤b+c≤2a,b≤a+c≤2b,∴1≤+≤2,≤1+≤,即-≤-1-≤-,∴1-≤-1≤2-,即----即∴≤≤,故选A.(2)设9x+y=a(2x+y)+b(3x+y),则9x+y=(2a+3b)x+(a+b)y,于是比较两边系数得得a=-6,b=7.由已知不等式得-3≤-6(2x+y)≤3,-≤7(3x+y)≤,所以-≤9x+y≤.变式题[解析] 由条件f(a,b)=ax+by,可知f(1,1)=x+y,f(1,-1)=x-y,则1≤x+y≤2,且-1≤x-y≤1.设f(2,1)=2x+y=λ(x+y)+μ(x-y),即2x+y=(λ+μ)x+(λ-μ)y,于是-解得而≤(x+y)≤3,-≤(x-y)≤,所以1≤2x+y≤,即f(2,1)的取值范围是1,.【备选理由】例1将不等式的比较大小应用于数列中的两项之间比较大小;例2为一道作商比较大小的题目,是对探究点一比较大小方法的补充;例3考查不等式性质与实际应用相结合.1[配合例1使用] 在等比数列{a n}和等差数列{b n}中,a1=b1=1,a3=b3,且a3≠a1,试比较a5与b5的大小.解:设等比数列{a n}的公比为q(q≠±1),等差数列{b n}的公差为d(d≠0),由a3=b3,得a1q2=b1+2d,即q2=1+2d,∴a5-b5=a1q4-(b1+4d)=(1+2d)2-(1+4d)=4d2>0,∴a5>b5.2[配合例1使用] 若a=,b=,c=,则()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c[解析] C由a=,b=,c=,得a,b,c都是正数,∴==log89>1,即b>a,==log2532>1,即a>c,则c<a<b.3[配合例3使用] 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元,那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是() A.2枝玫瑰的价格高B.3枝康乃馨的价格高C.价格相同D.不确定[解析] A设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为x元、y元,则6x+3y>24,4x+4y<20⇒2x+y>8,x+y<5,因此2x-3y=5(2x+y)-8(x+y)>5×8-8×5=0,因此2枝玫瑰的价格高,选A.第34讲一元二次不等式及其解法考试说明1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.考情分析真题再现■[2017-2013]课标全国真题再现1.[2016·全国卷Ⅱ]已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}[解析] C∵B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z},∴B={0,1},∴A∪B={0,1,2,3}.2.[2016·全国卷Ⅰ]设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=()A.-3,-B.-3,C.1,D.,3[解析] D集合A=(1,3),B=,+∞,所以A∩B=,3.■[2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·山东卷]设函数y=-的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=()A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)[解析] D由4-x2≥0得-2≤x≤2,所以A={x|-2≤x≤2};由1-x>0得x<1,所以B={x|x<1}.故A∩B={x|-2≤x<1},故选D.2.[2016·浙江卷]已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)=()A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)[解析] B易知∁R Q={x|-2<x<2},则P∪(∁R Q)={x|-2<x≤3},故选B.【课前双基巩固】知识聚焦2.{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}R{x|x1<x<x2}⌀⌀对点演练1.[-2,5][解析] ∵x2-3x-10≤0,∴(x-5)(x+2)≤0,∴-2≤x≤5.2.(-∞,1)∪(6,+∞)[解析] 由题意,得Δ=4a2-4×(7a-6)>0,即a2-7a+6>0,解得a>6或a<1.3.{0,1,2}[解析] ∵A={x|-1<x<3},B={-1,0,1,2,3},∴A∩B={0,1,2}.4.x x<或x>7[解析] 2x(x-7)>3(x-7)⇔2x(x-7)-3(x-7)>0⇔(x-7)(2x-3)>0,解得x<或x>7,所以,原不等式的解集为x x<或x>7.5.{x|-3≤x≤1}[解析] (x+3)(1-x)≥0⇔(x+3)(x-1)≤0,解得-3≤x≤1,∴不等式的解集为{x|-3≤x≤1}.6.(-4,0][解析] 当m=0时,mx2+mx-1=-1<0,不等式恒成立;当m≠0时,由解得-4<m<0.综上,m的取值范围是(-4,0].【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)先通过解二次不等式化简集合,再求交集;(2)由根与系数的关系得出a,b 的值,再解不等式.(1)D(2)B[解析] (1)∵M={x|x2+5x-14<0}={x|-7<x<2},N={x|1<x<4},∴M∩N={x|1<x<2},选D.(2)由已知可得----解得-代入不等式bx2-5x+a>0得30x2-5x-5>0,解得x>或x<-,从而所求不等式的解集为x x<-或x>,故选B.变式题(1)3(2)(-1,-lg 2)[解析] (1)∵A={x∈Z|x2-3x-4≤0}={x∈Z|-1≤x≤4}={-1,0,1,2,3,4},B={x∈Z|2x2-x-6>0}=x∈Z x<-或x>2,∴A∩B={3,4},则A∩B的真子集的个数为22-1=3.(2)由题意知,是一元二次方程f=0的两实数根,且方程的二次项系数为负数,所以不等式f>0等价于<10x<,所以x∈(-1,-lg 2).例2[思路点拨] 分a=2与a≠2两种情况,结合二次函数的图像特征建立不等式组进行求解. (-2,2][解析] 当a-2=0,即a=2时,不等式即为-4<0,对一切x∈R恒成立;当a≠2时,需---∴-2<a<2.综上,得实数a的取值范围是(-2,2].例3[思路点拨] 方法一,由二次函数图像可知,若二次项系数大于0,则当x取值在两根之间时函数值恒为负值,故只要x取-1和2时的函数值小于或等于0即可;方法二,把参数a分离出来,转化为求函数的最值.A[解析] 方法一:令f(x)=x2-2x+a,则由题意,得-----解得a≤-3,故选A.方法二:当x∈[-1,2]时,不等式x2-2x+a≤0恒成立等价于a≤-x2+2x恒成立,则由题意,得a≤(-x2+2x)min(x∈[-1,2]).而-x2+2x=-(x-1)2+1,则当x=-1时,(-x2+2x)min=-3,所以a≤-3,故选A.例4[思路点拨] 将已知函数重新整理成关于a的函数,然后利用一次函数的性质求x的取值范围.(-∞,1)∪(3,+∞)[解析] 由题意知,f=x2+(a-4)x+4-2a>0,即(x-2)a+x2-4x+4>0对任意a∈[-1,1]恒成立.令g=(x-2)a+x2-4x+4,则------解得x<1或x>3,故x的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞).强化演练1.B[解析] 若不等式x2-ax+a>0恒成立,则Δ=a2-4a<0,解得0<a<4,则不等式x2-ax+a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要条件应是{a|0<a<4}的一个真子集,故选B.2.B[解析] 由题意知a≥(x2)max.当x∈[1,2]时,(x2)max=4,则a的取值范围是a≥4,故选B.3.D[解析] 函数f(x)的定义域是实数集R,则x2+ax+1≥0恒成立,即Δ=a2-4≤0,解得-2≤a≤2,即实数a的取值范围是[-2,2].故选D.4.(-∞,-1]∪[解析] 由题意知(a-3)x2<(4a-2)x对a∈(0,1)恒成立等价于(x2-4x)a-3x2+2x<0对a∈(0,1)恒成立.令g(a)=(x2-4x)a-3x2+2x,当x=0时,g(a)=0,不满足题意.当x≠0时,则---得x≤-1或x≥.例5[思路点拨] (1)由题意可得出关于x的不等式,解不等式即可;(2)由题意可得出利润u关于x的函数,求二次函数在闭区间内的最值,要比较对称轴与闭区间的关系,结合二次函数的图像即可找到最大值.解:(1)根据题意,有1005x-+1≥1500,即5x2-14x-3≥0,得x≥3或x≤-,又1≤x≤10,所以3≤x≤10.(2)设生产480千克该产品获得的利润为u元,则u=24 0005+-,1≤x≤10,记f=-++5(1≤x≤10),则f=-3-2++5(1≤x≤10),当x=6时f取得最大值,此时u=24 000×=122 000,故该厂以6千克/时的速度生产480千克该产品可获得最大利润122 000元.变式题解:(1)由题意,得AQ=(x+20)m,∵=,∴=,∴AP=m,则S=··(x+20)==15x++40≤x≤80.(2)∵S≥1600,∴3x2-200x+1200≥0,∴0<x≤或x≥60,结合定义域得60≤x≤80.即要使三角形花园APQ的面积不小于1600 m2,则DQ的长的取值范围是[60,80].【备选理由】例1为含参一元二次不等式问题,需要对参数进行分类讨论;例2为不等式恒成立问题,要注意二次项系数是否为0;例3为不等式有整数解的问题.1[配合例1使用] 解关于x的不等式a(a-1)x2-(2a-1)x+1>0,其中a∈R.解:原不等式等价于(ax-1)[(a-1)x-1]>0.①当a<0时,x∈-∞,∪,+∞;-②当a=0时,x∈(-1,+∞);③当0<a<1时,x∈,;-④当a=1时,x∈(-∞,1);⑤当a>1时,x∈-∞,∪,+∞.-2[配合例2使用] 若ax2+ax+a+3≥0对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是.[答案] [0,+∞)[解析] 若a=0,则不等式等价于3≥0,满足条件;若a≠0,要使ax2+ax+a+3≥0对一切实数x恒成a>0.综上可得实数a的取值范围是[0,+∞).立,则需满足-解得3[配合例3使用] 关于x的不等式(ax-1)(x+2a-1)>0的解集中恰含有3个整数,则实数a 的取值集合是.[答案] -,-1[解析] 很明显a<0,则不等式的解集为x<x<1-2a .分类讨论:当-1≤<0 时,有2<1-2a ≤3,据此可得a=-1;当-2≤<-1时,有1<1-2a ≤2,据此可得a=-;当-3≤<-2时,有0<1-2a ≤1,此时没有满足条件的a 的值.综上可得实数a 的取值集合是-,-1.第35讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试说明 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅰ] 设x ,y 满足约束条件- - 则z=3x-2y 的最小值为 . [答案] -5[解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=3x-2y ,得y=x-,当z 最小时,-最大,故在点A 处目标函数取得最小值.由- 解得 -所以z min =-3-2=-5.2.[2016·全国卷Ⅰ] 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元. [答案] 216 000[解析] 设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件,利润之和为z 元,则 即目标函数为z=2100x+900y. 作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点,即可行域.由图可知当直线z=2100x+900y 经过点M 时,z 取得最大值.解方程组 得M的坐标为(60,100),所以当x=60,y=100时,z max =2100×60+900×100=216 000. 3.[2015·全国卷Ⅱ] 若x ,y 满足约束条件 -- - 则z=x+y 的最大值为 . [答案][解析] 画出可行域如图中阴影部分所示,目标函数可化为y=-x+z ,所以直线z=x+y 过点B 时,z 取得最大值.4.[2014·全国卷Ⅰ] 不等式组-的解集记为D ,有下面四个命题:p 1:∀(x ,y )∈D ,x+2y ≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是()A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3[解析] B不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示,设目标函数z=x+2y,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,-1)处取得最小值,且z min=2-2=0,即x+2y的取值范围是[0,+∞),故命题p1,p2为真,命题p3,p4为假.5.[2013·全国卷Ⅱ]已知a>0,x,y满足约束条件-若z=2x+y的最小值为1,则a= ()A.B.C.1D.2[解析] B直线y=a(x-3)过定点(3,0) .画出可行域如图,易得A(1,-2a),B(3,0),C(1,2).作出直线y=-2x,平移易知直线过A点时直线在y轴上的截距最小,即2+(-2a)=1⇒a=.答案为B.■[2017-2016]其他省份类似高考真题[2017·山东卷]已知x,y满足约束条件-则z=x+2y的最大值是()A.0B.2C.5D.6[解析] C画出约束条件所表示的平面区域,如图,平移直线x+2y=0,当直线过A点时,z取得最大值.由-得A(-3,4),所以z max=-3+8=5,故选C.【课前双基巩固】知识聚焦1.边界边界公共部分2.不等式(组)一次解析式一次解集合最大值最小值最大值最小值对点演练1.[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示.由-得A(-3,0);由---得B(-3,-5);由--得C-,-.∵AB边与y轴平行,∴|AB|=|-5-0|=5,点C到边AB的距离d=--(-3)=,∴S△ABC=×5×=.2.10[解析] 画出可行域如图,由图可知,平移直线2x+y=0经过A(4,2)时,目标函数z=2x+y 取得最大值,最大值为10.3.4.1[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,作直线x-y=0,平移直线经过点A(1,0)时,目标函数z=x-y取得最大值,最大值为1.5.73[解析] 根据约束条件画出可行域,令u=,它表示可行域内的点到原点的距离.由图可知,可行域内的点P到原点的距离最大,由-可得P(3,8),所以|OP|=,所以u max=,所以z=u2的最大值为73.6.1[解析] 画出可行域如图所示,由z=y-ax得y=ax+z,当z取最大值时,直线在y轴上的截距最大.当a≤0时,最优解只有一个,不满足题意;当a>0时,要使最优解有无数个,则有直线y=ax+z与直线AC重合,所以a=1.【课堂考点探究】例1[思路点拨] 首先画出不等式组表示的平面区域,然后根据平面区域的形状求解面积.(1)B(2)-[解析] (1)作出不等式组---所表示的平面区域如图所示,易得B点坐标为(1,0).联立---得A(2,3),则S△OAB=×1×3=,故选B.(2)作出可行域如图所示:直线y=k(x-3)恒过定点(3,0),要使直线y=k(x-3)分平面区域Ω1为面积相等的两部分,则直线必过线段AB的中点C1,,故k=k CD=-.例2[思路点拨] 首先画出不等式组表示的平面区域,然后判断其形状.A[解析] 在平面直角坐标系中,画出不等式组--表示的平面区域,如图中的阴影部分所示,则平面区域的形状是三角形.强化演练1.C[解析] 作出不等式组表示的平面区域,如图所示,易知平面区域的形状为等腰直角三角形.2.A[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,易知其面积为1,故选A.3.C[解析] 作出区域Ω如图所示,易知S△ABC=×2×1=1,则满足ax+y>0的区域面积S△OAD=,据此可得D,,代入ax+y=0可得a=-.故选C.4.0或1[解析] 直线x+y=0的倾斜角为135°,直线x=0的倾斜角为90°,所以两直线的夹角为45°.而直线kx-y+1=0,即y=kx+1过定点P(0,1),由图可知,当不等式组表示的平面区域的形状为等腰直角三角形时,k=0或k=1.例3[思路点拨] 作出约束条件对应的可行域,再结合图形分析目标函数的最值.(1)C(2)B[解析] (1)作出可行域如图中阴影部分所示,易知直线z=2x+y过点A -,1时,z取得最小值-2,故选C.(2)画出约束条件表示的可行域如图所示,结合目标函数可得,当直线z=2x-y过点B(0,-3)时目标函数取得最大值3,故选B.例4[思路点拨] (1)x2+y2的几何意义为原点到可行域内的点的距离的平方,据此可求最小值;(2)利用的几何意义,即可行域内的点(x,y)与定点(-1,-1)连线的斜率求解.(1)D(2)A[解析] (1)作出可行域(如图所示),z=x2+y2表示可行域内的点M(x,y)到原点的距离的平方.由图可得的最小值为,所以z=x2+y2的最小值为22+12=5,故选D.(2)作出可行域如图所示,z的几何意义为可行域内的点(x,y)与定点A(-1,-1)连线的斜率,由图可知z∈[0,2).例5[思路点拨] (1)作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识,确定目标函数取最优解的条件,即可求出m的值;(2)将不等式中的存在性问题转化为最值问题处理.(1)A(2)C[解析] (1)由目标函数结合可行域可知(图略),目标函数在直线3x-y-1=0与2x-y+2=0的交点(3,8)处取得最大值,则直线mx-y=0恒过定点(3,8),解得m=,故选A.(2)不等式组表示的平面区域D如图所示,存在满足t≤3x-y的点,只需t≤(3x-y)max,令z=3x-y,则问题转化为求目标函数z=3x-y的最大值,显然在点B(2,1)处z取得最大值,最大值为5,所以t≤5,故选C.强化演练1.C[解析] 由题意可知,可行域为图中A,B,C三点,令z=y-2x,当直线y=2x+z过点A(1,2)时,z 取最大值0,故选C.2.A[解析] 画出-表示的可行域如图所示,由图知,目标函数z=2x+y在直线x-y+1=0与直线x+y=0的交点-,处取得最小值-,故选A.可看作点(x,y)与(0,0)连线的3.B[解析] 由约束条件作出可行域如图所示,目标函数z==--斜率,结合图形可知,当两点连线与直线2x-y=0重合时,斜率最大,故z的最大值为2.4.B[解析] 画出可行域如图所示,化z=mx+y为y=-mx+z.由图可知,当-m≥-,即m≤时,目标函数在点A(-4,3)处取得最大值,即z max=m×(-4)+3=5,m=-;当-m<-,即m>时,目标函数在点B(0,1)处取得最大值1,与题意不符.故选B.5.-1[解析] 画出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由图可知,当直线ax+y=0与直线2x-2y+1=0重合,即a=-1时,目标函数z=ax+y取得最小值时的最优解有无数个.6.4[解析] 易知m>3,x,y满足的可行域如图所示.z=x2+y2表示可行域内的点(x,y)与原点(0,0)连线的距离的平方,由图可知,若过O作AB边的垂线,垂足必落在线段BA的延长线上,可得|OB|>|OA|.又B(m-1,1),所以=(m-1)2+12=10,解得m=4或m=-2(舍),故填4.例6 [思路点拨] 设每天应配制甲种饮料x 杯,乙种饮料y 杯,咖啡馆每天获利z 元,建立目标函数z=0.7x+1.2y ,求出x ,y 满足的约束条件,画出可行域,找到最优解.200 240 [解析] 设每天配制甲种饮料x 杯,乙种饮料y 杯,咖啡馆每天获利z 元,则x ,y 满足约束条件 目标函数z=0.7x+1.2y.在平面直角坐标系内作出可行域,如图中阴影部分内的整点所示.作直线l 0:0.7x+1.2y=0,把直线l 0向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上的A 点,由图可知,此时z=0.7x+1.2y 取最大值.解方程组 得A 点坐标为(200,240),故每天应配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯,能使该咖啡馆获利最大.变式题 210 000 [解析] 设分别生产A 款产品和B 款产品x ,y 台,利润之和为z 元,则根据题意可得目标函数为z=1000x+2000y.画出可行域如图,由图可知,当直线y=-+经过点M 时,z 取得最大值.联立得M (30,90).所以当x=30,y=90时,目标函数取得最大值,z max =30×1000+90×2000=210 000.【备选理由】例1先由不等式演变为不等式组,再确定可行域;例2考查非线性目标函数的几何意义,即考查斜率型目标函数的最值;例3根据目标函数的最值求目标函数中的参数.1[配合例3使用] [2017·长沙模拟]若1≤log2(x-y+1)≤2,|x-3|≤1,则z=x-2y的最大值与最小值之和是()A.0B.-2C.2D.6[解析] C由条件可知----画出可行域如图.z=x-2y,即y=x-表示斜率为的一组平行线,当直线过点A和C时z分别取得最大值和最小值.易知A(2,-1),C(4,3),则z max=2-2×(-1)=4,z min=4-2×3=-2,所以最大值和最小值的和为4+(-2)=2,故选C.2[配合例4使用] [2017·临川实验学校一模]已知变量x,y满足--则的取值范围是()A.B.C.D.[解析] A=+,令k=,则k表示可行域内的点与原点连线的斜率,由图可知,k OA≤k≤k OB,易知A,B(1,3),所以≤k≤3.令z=k+,由函数的单调性求得2≤z≤,所以的取值范围是2,.故选A.3 [配合例5使用] [2017·河南新乡二模] 若变量x ,y 满足 -- 且z=mx-y (0<m<2)的最小值为-,则m 等于( )A .B .C .1D .[解析] C 画出不等式组表示的平面区域如图所示,结合图形可知,当直线y=mx-z 经过点A,3时,其在y 轴上的截距最大,此时z=mx-y 取得最小值,即m-3=-⇒m=1,故选C .第36讲 基本不等式考试说明 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅰ] 已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A ,B 两点,直线l 2与C 交于D ,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为 ( ) A .16 B .14 C .12 D .10[解析] A根据题意可知直线l1,l2的斜率存在且不为零,抛物线C的焦点F的坐标为(1,0),设直线l1的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2+,根据抛物线定义得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=4+.因为l2⊥l1,所以用-代替k,得|DE|=4+4k2,所以|AB|+|DE|=8+4≥8+4×2=16,当且仅当k=±1时,等号成立,故所求的最小值为16.2.[2014·全国卷Ⅰ]已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)·(sin A-sinB)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.[答案][解析] 根据正弦定理和a=2可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,故得b2+c2-a2=bc,根据余弦定理得cos A=-=,所以A=.根据b2+c2-a2=bc及基本不等式得bc≥2bc-a2,即bc≤4,所以△ABC面积的最大值为×4×=.■[2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·天津卷]若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.[答案] 4[解析] 由题意得a2>0,b2>0,ab>0,所以=≥=4ab+≥2=4,当且仅当a2=2b2=时,等号成立.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)a,b∈R+(2)a=b2.(1)2ab (2)23.≥4.(1)2(2)对点演练1.0[解析] 因为x>-2,所以x+2>0,>0,则x+=x+2+-2≥2-2=0,当且仅当x=-1时等号成立.2.[解析] ∵正实数x,y满足2x+y=1,∴xy=(2x)·y≤=,当且仅当2x=y=时等号成立,即xy的最大值为.3.81 m2[解析] 设矩形菜园的长和宽分别为x m,y m,则x>0,y>0,由题意有2(x+y)=36,∴x+y=18,∴矩形菜园的面积S=xy≤==81,当且仅当x=y=9时取“=”.∴当长和宽都为9 m时,最大面积为81 m2.4.0[解析] ∵x<1,∴y=-=--=(x+1)+-=(x-1)+-+2≤-2--+2=0,当且仅当x=0时等号成立.5.[解析] 设x-1=t,则x+-=t++1,又由x≥4得t≥3,而函数y=t++1在[3,+∞)上是增函数,因此t=3时,y取得最小值3++1=.6.3[解析] +=+(x+y)=4+++1≥5+2=3,当且仅当=,即x=2,y=1时,+取得最小值3.【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)根据式子特征凑出积为定值,然后利用基本不等式求解;(2)根据已知等式凑出和为定值,然后利用基本不等式求解.(1)(2)[解析] (1)由题意可知a+=a++-≥2-=,当且仅当a+=,即a=时等号成立.所以a+的最小值为.(2)∵x>0,y>0,∴xy=·x·3y≤=,当且仅当x=3y=时,等号成立,故xy的最大值是.例2[思路点拨] (1)首先利用函数与直线知识确定出关于a,b的等式,然后采用代换法将a+b 代换为a+b=(a+b)+,展开后再利用基本不等式求最值;(2)首先利用数列知识确定出关于m,n的等式,然后采用代换法将+代换为+=+(m+n),展开后再利用基本不等式求最值.(1)C(2)C[解析] (1)由函数的解析式可得M(1,1),即+=1(a>0,b>0),则a+b=(a+b)+=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时等号成立,所以a+b的最小值为4,故选C.(2)由题意可得a5q2=a5q+2a5,则q2-q-2=0,结合q>0,解得q=2.由a m a p=a1q m-1·a1q p-1=16,得m+p=6,则+=+(m+p)=5++≥5+2=,当且仅当m=2,p=4 时等号成立,故选C.例3[思路点拨] 利用不等式性质对已知条件进行变形,进而将u的表达式中的b消去,然后再通过变换结构,结合基本不等式求解.B[解析] ∵a2-b+4≤0,∴b≥a2+4,∴a+b≥a2+a+4.又∵a,b>0,∴≤,∴-≥-,∴u==3-≥3-=3-≥3-=,当且仅当a=2,b=8时取等号.故选B.例4[思路点拨] 先将代数式中第2项的分母利用基本不等式进行变换,再根据结构特征利用基本不等式可求得结果.4[解析] ∵a>b>0,∴a-b>0,∴b(a-b)≤-=,∴a2+-≥a2+≥2=4,当且仅当b=a-b且a2=,即a=且b=时取等号,∴a2+-的最小值为4.强化演练1.[解析] ∵x∈0,,∴y=x(1-4x)=×(4x)·(1-4x)≤×-=,当且仅当x=时等号成立,∴函数y=x(1-4x)的最大值是.2.C[解析] f=x+-=-(2-x)+-+2≤0,当且仅当2-x=-,即x=1时等号成立,故选C.3.C[解析] 由题意得,=(a-1,1),=(-b-1,2).因为A,B,C三点共线,所以2(a-1)-(-b-1)=0,即2a+b=1.又a>0,b>0,所以+=(2a+b)+=4++≥4+2=8,当且仅当b=2a=时等号成立,故选C.4.D[解析] a2++-=(a2-ab)+-++ab≥2--+2=4当且仅当a2-ab=-且=ab,即a=,b=时取等号,故选D.5.B[解析] 由题意得b+c=2-a,∴0<a<2,则+=+-=+-[(a+1)+(2-a)]=5+-+-≥5+2--=3,当且仅当-=-,即a=1时,等号成立,故选B.例5[思路点拨] (1)首先设出对称的两点坐标,并代入函数可得到实数a关于两点横坐标的表达式,然后利用基本不等式求最值即可;(2)首先根据函数解析式与直线方程求得A,B,C,D四点的横坐标,并得到线段AC和BD在x轴上的投影长度,由此得到关于m的表达式,最后利用基本不等式求解.(1)B(2)8[解析] (1)由题意,函数存在奇对称点,即函数图像上存在两点关于原点对称,可设两点为P(x1,y1),Q(x2,y2),即y1=-a,y2=-a.因为关于原点对称,所以x1+x2=0,-a=-+a,则2a=+≥2=2=2,因为x1≠0,且x2≠0,所以a>1,故选B.(2)根据题意得x A=2-m,x B=2m,x C=-,x D=,所以a=|x A-x C|=2-m--,b=|x B-x D|=2m-,即=----=·2m=.因为m>0,所以+m=(2m+1)+-≥2-=,当且仅当(2m+1)=,即m=时取等号,所以的最小值为=8.变式题0,[解析] f(x)=x3+2,则f'(x)=3x2,∵x1x2=1,x1≠x2,∴|x1+x2|>2=2,即(x1+x2)2>4,∴(x1+x2)2+>4+,∴φ(M,N)=---=-<-=,即φ(M,N)∈0,.例6[思路点拨] (1)首先求出第x年年底该车运输累计收入与总支出的差,然后令其大于0,即可得到结论;(2)利用利润=累计收入+销售收入-总支出,可得平均利润,再利用基本不等式可得结论.解:(1)设大货车运输到第x年年底,该车运输累计收入与总支出的差为y万元,则y=25x-[6x+x(x-1)]-50=-x2+20x-50(0<x≤10,x∈N*),由-x2+20x-50>0,可得10-5<x≤10.∵2<10-5<3,∴到第3年年底,该车运输累计收入超过总支出.(2)设年平均利润为m万元,由(1)知m=-=19-x+≤19-10=9,当且仅当x=5时,等号成立,∴在第5年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大.【备选理由】例1是一道利用基本不等式求函数最值题目;例2是基本不等式与直线和圆位置关系的最值结合的问题;例3为多次使用基本不等式问题.。