高三数学基础知识专练 不等式 推理与证明
一．填空题(共大题共14小题，每小题5分，共70分)
1、在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察
2、一元二次不等式ax +bx +c ＞0的解集为(α,β)(α>0)，则不等式cx +bx +a ＞0的解集为
__________________.
3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线.已知直线 b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b //平面α，则直线b //直线a ”，这个结论显然是错误的，这是因为________________(填写下面符合题意的一个序号即可).
(1)大前提错误 (2)小前提错误 (3)推理形式错误 (4)非以上错误
4、设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (n )= .
5、在等差数列{a n }中，公差为d ，前n 项和为S n ，则有等式d n n na S n 2
)1(1-+=成立.类比上述
性质，相应地在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为T n ，则有等式_____成立. 6、下列推理中属于合情合理的序号是_____________.
(1)小孩见穿“白大褂”就哭； (2)凡偶数必能被2整除，因为0能被2整除，所以0是偶数； (3)因为光是波，所以光具有衍射性质； (4)鲁班被草划破了手而发明了锯.
7、设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-2
),1(log 22)(2
21x x x x f x ，则不等式2)(>x f 的解集为____________.
8、若函数13)2(2)(2≥⋅+++=
x a
x a x x
x f 能用均值定理求最大值，则a 的取值范围是____.
9、设a ＞b ＞c ＞0，且
c
a m c
b b a -≥
-+-11恒成立，则m 的最大值为___________.
10、某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋
35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件 下，最少要花费____________元. 11、已知0,0>>b a 且1=+b a ，则)1
)(1(b
b a a ++
的最小值为_______________. 12、设f (x )=x 3+x ,a ,b ,c ∈R 且a +b >0,b +c >0,a +c >0， 则f (a )+f (b )+f (c )的值的符号为____(填“正数”
或“负数).
13、删去正整数数列1,2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，则这个数列的第2019项为__________.
14、下面使用类比推理正确的序号是__________.
(1)由“（a +b ）c =ac +bc ”类比得到：“()()()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅”；
(2)由“在f (x )=ax 2+bx (a ≠0)中，若f (x 1)=f (x 2)则有f (x 1+x 2)=0”类比得到“在等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，若S p =S q ，则有S p+q =0”；
(3)由“平面上的平行四边形的对边相等”类比得到“空间中的平行六面体的对面是
全等的平行四边形”；
(4)由“过圆x 2+y 2=r 2上的点(x 0,y 0)的切线方程为x 0x +y 0y =r 2”类比得到 “过圆(x －x 0)2+(y －y 0)2=r 2上的点(x 0,y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )+(y 0－b )(y －b )=r 2”. 二．解答题
15. 已知f (x )=a 2x －1
2x 3,x ∈(-2,2),a 为正常数。

（Ⅰ）可以证明：定理“若a 、b ∈R +
，则a+b 2≥ab （当且仅当a =b 时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；
（Ⅱ）若f (x )＞0在(0,2)上恒成立，且函数f (x )的最大值大于1，求实数a 的取值范围，并由此猜测y = f (x )的单调性（无需证明）.
参考答案
1、140,85
2、)1
,1(
α
β
3、(1)
4、2
)
2)(1()(-+=
n n n f
5、2
)1(1
-⋅=n n n n q b T
6、(2)(3)
7、
(
)
+∞,5
8、3
1≥
a 9、4
10、500 11、
4
25 12、正数 13、2053 14、(2)(3)(4)
15. 解：（1）若a 、b 、+
∈R c ，则3
3
abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）。

（2）()021212232
>⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=-
=x a x x x a x f 在()2,0上恒成立，即2221x a >在()2,0上恒成立，
∵
()2,02
12
∈x ，∴22≥a ，即2≥a ， ()[]323
22222222222
32321212121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a x a x a x x a x a x x f 2
222
1x a x -
=即
a x 3
6=
时，
26
2646362919623
33m
a x >⇒⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==>⇒>=a a a f ， 又∵a x 3
6
=
()2,0∈，∴()6,0∈a 。

综上，得[
)
6,2∈a 。

易知，()x f 是奇函数，∵a x 36=
时，函数有最大值，∴a x 3
6-=时，函数有最小值。

故猜测：⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈2,3636,2a a x 时，()x f 单调递减；⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈a a x 36,36时，()x f 单调递增。