第六章不等式推理与证明(时间120分钟，满分150分)、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的)1 .不等式(x + 1) x — 1> 0的解集是 A . {x|x > 1}解析：■/ x — 1> 0, /• x > 1. 同时 x + 1> 0,即卩 x > — 1.二 x > 1. 答案：B2 .下列命题中的真命题是答案:x w 0x 2> 1，从而得 x > 1 或 x W —1.答案：D2x + 14 .若集合 A = {x||2x — 1|v 3}, B = {x| v 0}，贝V A Q B 是3 — x 1A . {x|— 1 v x v — 2或 2v x v 3}B . {x|2v x v 3} 1 1C . {x|—v x v 2}D . {x|— 1v x v — ^}解析：T I2X — 1|v 3, ••• — 3v 2x — 1v 3.A — 1v x v 2. 2x + 1 又v 0,(2x + 1)(x — 3) > 0,3 — x… 1 1…x > 3 或 x v — 2* - - A Q B = {x| — 1 v x v — 2).{x|x > 1}C . {x|x > 1 或 x =— 1}{x|x >— 1 或 x = 1}A门..右C .若 a > b , c > d ,贝U ac > bd a > b ,贝U a 2 > b 2解析: 由 a >|b|,可得 a >|b|>0?2 2B .若 |a|> b ,则 a > b D .若 a > |b|,贝U a 2> b 2a 2>b 2.x 2, x w 03.已知函数 f(x) = 2x — 1, x >0若f(x)> 1，则x 的取值范围是 A . ( — m,— 1] B . [1 ,+m )C . ( — m, 0] U [1,+m ) ( — m, — 1] U [1 ,+m )解析：将原不等式转化为: x > 0检测答案：D5.给出下面类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）：①“若a，b€ R，贝U a —b= 0? a = b” 类比推出“若a, b€ C,贝U a —b= 0? a = b”；②“若a, b, c, d € R,则复数a+ bi= c+ di? a= c, b= d” 类比推出“若a, b, c, d € Q,则 a + b 2= c+ d 2? a= c, b= d”；③“若a, b€ R，贝U a —b>0? a>b” 类比推出“若a, b€ C,贝U a —b>0? a>b”.其中类比得到的结论正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解析：①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，女口 a = 5+ 6i, b= 4 + 6i, 虽然满足a —b= 1> 0,但复数a与b不能比较大小.答案：C6•已知实数a, b,则“ ab> 2” 是“ a2+ b2> 4”的（）A •充分不必要条件B •必要不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件解析：当ab>2时，a2+ b2>2ab>4,故充分性成立，而a2+ b2>4时，当a=—1, b=3时成立，但ab=—3v 2,显然ab> 2不成立，故必要性不成立.答案：A7. 三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②某艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的”中小前提是（）A .① B.② C .①② D .③解析：大前提是①，小前提是②，结论是③.答案：Bx> 0,8. 不等式组』x+ 3y>4 ，所表示的平面区域的面积等于（）3x + y w 4解析：不等式组表示的平面区域如图所示,由X+ 3y= 4，3x+ y= 4得交点A的坐标为（1,1）.又B、C两点的坐标为（0,4）, （0, 3）.3故 S ^ABC = 2(4—3) X 1 = 3 答案：C9.已知函数f(x) = ax 2+ bx + c 的图象过点(—1,3)和 (1,1),若0 v c v 1,则实数a 围是a —b +c = 3,得 b =— 1, •- a + c = 2.a +b +c = 1, 又 O v c v 1, ••• O v 2- a v 1, /• 1v a v 2. 答案：C10 . (2019 淄博模拟)若 f(a) = (3m — 1)a + b- 2m ,当 m € [0,1]时 f(a)w 1 恒成立, 的最大值为,满足此不等式组的点(a , b)构成图中的阴影部分, 1A 时，t 取得最大值 答案：D9 .已知函数 f(x)满足：f(p + q) = f(p)f(q), f(1) = 3, 则 f 2(1) f (2) + f ' f 十 f 二 f .+ f 、则解析：由 f(p + q)= f(p)f(q), 令 p = q = n ,得 f 2(n) = f(2n). 原式=「+ f(3) * f(5) + f(7)—2f(1)亠 2f(1)f(3)亠 2f(1)f(5) , 2f(1)f(7) =2f(1)* f * f + f =8f(1) = 24. 答案：B12 .某公司租地建仓库，每月土地占用费y i 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货的取值范A • [2,3]B . [1,3]C • (1,2)D . (1,3)解析：由题意: 2 B.2C.57 D.7解析：设 g(m)=f(a)=(3a-2)m+b-a ，由于当 m € [0,1]时g(m)=f(a)=(3 a-2) m+b-a w 1 恒成立，于是I g(0) < 1 g(1) w 1,即」其中 A(2,5),3 3a+b=t ,显然直线a+b=t 过点f(1)A . 36B . 24C . 18D . 12物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y i和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A. 5 km 处B. 4 km 处C. 3 km 处D. 2 km 处解析：由题意可设y i = y2= k2x,••• k i = xy i, k2=号,把x = I0, y i= 2 与x = I0, y2= 8 分别代入上式得k i= 20, k2= 0.8,• y i= 20, y2= 0.8x(x为仓库与车站距离),y= y i + y2= 0.8x+ 20> 2 - 0.8x —= 8,费用之和当且仅当0.8X =严，即x= 5时等号成立.答案：A、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共I6分•请把正确答案填在题中横线上)I3 .关于x的不等式x2+ (a* i)x* ab> 0的解集是｛x|x v—I或x> 4｝，则实数a、b的值分别为 ______________ .解析：由不等式的解集为｛x|x v—I或x>4｝可得，—i,4是方程x2* (a* i)x* ab= 0的两根，—i*4 =—(a* i)* ，解得a= —4, b= i.—i x 4 = ab答案：一4,iI4 .关于x的不等式ax2* 4x—i >—2x2 —a恒成立，那么实数a的取值范围是 ___________ 解析：不等式ax2 * 4x—i > —2x2 —a可化为(a* 2)x2* 4x* a—i > 0,当a * 2= 0,即卩a=—2时，不恒成立，不合题意.当a * 2工0时，要使不等式恒成立，需a*2>0，解得a>2.I6—4(a* 2)(a—i)< 0,所以a的取值范围为［2,+^).答案：［2,+^ )15 •某公司租赁甲、乙两种设备生产A, B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为 ___________ 元.解析：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，5x + 6y> 50,10x+ 20y> 140,*x€ N ,y€ N*.目标函数为z= 200x + 300y.作出其可行域，易知当x = 4, y= 5时，z= 200x+ 300y有最小值2300元.答案：230016 .已知点P(a, b)与点Q(1,0)在直线2x- 3y+ 1 = 0的两侧，则下列说法正确的是___________①2a- 3b+ 1 > 0;②a工0时，“有最小值，无最大值；a③？M € R =使.a2+ b2> M恒成立；④当a>0且a^ 1, b>0时，则一岂的取值范围为1 2 、(-汽-3)u(3，)•解析：由已知(2a—3b+ 1)(2 —0+ 1) v 0,即2a—3b+ 1v 0, •••①错;当 a > 0 时，由3b > 2a+ 1,可得b> 2+ —,a 3 3a•••不存在最小值，•②错；,a2+ b2表示为(a, b)与(0,0)两点间的距离，由线性规划知识可得:由线性规划知识可知④正确.a—1a—1表示为(a, b)和(1,0)两点的斜率.•••③正确;答案：③④三、解答题(本大题共6小题，共74分•解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤)217 •(本小题满分 12 分)已知 f(x)=— 3x + a(6 — a)x + b. (1) 解关于a 的不等式f(1)>0;(2) 当不等式f(x)>0的解集为(一1,3)时，求实数a , b 的值. 解：(1)f(1) = — 3+ a(6 — a) + b = — a ?+ 6a + b — 3,T f(1) > 0,a ? — 6a + 3— b v 0.△= 24 + 4b ,当 W 0即b < — 6时，f(1) >0的解集为? 当 b >— 6 时，3 — b + 6v a v 3+ b + 6,••• f(1) > 0 的解集为{a|3— b + 6v a v 3 + b + 6} • (2) •••不等式一3x 2 + a(6— a)x + b >0 的解集为(一1,3),2a18 •（本小题满分 12 分）若 a 1 > 0,a 1^ 1, a n +1= 1 + ； （n = 1,2，…） (1) 求证：a n + 1工 a n ;1⑵令a 1 = ，写出a 2、a 3、a 4、a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式 a n .解：(1)证明：(采用反证法).若a n +1 = a n , 即,.2an = a n ，解得 a n = 0,1. 1 + a n从而a n = a “-1 = ・・・=a2 = a 1 = 0,1，与题设 a 1 >0, a 11相矛盾，故a n + 1工a n 成立.n — 11 2 4 816_2 ___(2) a 1 = 2、a 2= 3、a 3= 5、a 4= 9、a 5= 17 , a n = 2n -1+ 1 ,*n € N .19 .(本小题满分12分)(2019吉林模拟)沪杭高速公路全长 166千米.假设某汽车从上海 莘庄镇进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶到 杭州.已知该汽车每小时的运输成本y(以元为单元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为0.02;固定部分为200元.(1) 把全程运输成本y(元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2) 汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？解之，得> =3 ±3,、b = 9.a （6 — a ）3b 3200200(2)y = 166(0.02 v + 〒)> 166 X 2 =664(元)当且仅当0.02v = 200即v = 100千米/时时取等号v(1)若f(- 2) = 0,求F(x)的表达式；⑵设mn v 0, m + n > 0,试判断 F(m) + F(n)能否大于0? 解：(1)由 f(- 2) = 0,4a + 4= 0? a =- 1,不妨设 m >0且n v 0,贝U m >— n > 0,22F(m) + F (n)= f(m) — f(n)= am + 4— (an + 4) =a(m 2— n 2),当a >0时，F(m) + F(n)能大于0, 当a v 0时，F (m) + F (n)不能大于0.21 .（本小题满分12分）某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志 一一“中国 印舞动的北京”和奥运会吉祥物一一“福娃”.该厂所用的主要原料为 A 、B 两种贵金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料 A 和原料B 的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获 利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A 、B 的量分别为200盒和300盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月 利润最大？最大利润为多少？解：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为x , y 套，月利润为z 元，解：（1）依题意得:y = (200 + 0.02v 2)x 166v=166(0.02 v + )(60 w v w 120).答：当速度为100千米/时时，最小的运输成本为664 元.20.（本小题满分12分）已知函数f （x ） = ax 2+ 4（a 为非零实数），设函数F （x ）= -X 2+4x 2-4(x 0) (x 0)m •v 0m + n > 0,• m , n 一正一负.0.02v X 200v(x > 0) (x v 0)••• F(x)=4x + 5y W 200, 3x + 10y W 300,由题意得x > 0, y > 0,目标函数为 z = 700x + 1200y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图:目标函数可变形为 y =— i^x +1200,4 7 3_ v — — v ——51210'A 坐标为(20,24).将点 A(20,24)代入 z = 700x + 1200y 得 z max = 700 X 20+ 1200 X 24= 42800 元. 答：该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为 20、24套时月利润最大，最大利润为42800 元.b22 .[理](本小题满分14分)已知函数f(x) = ax — 一— 2lnx , f(1) = 0. (1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围；1 2⑵若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且a n +1= f '(a — n + J — n + 1,已 知 a 1= 4，求证：a n > 2n + 2.解：(1)因为 f(1) = a — b = 0,所以 a = b , 所以 f(x)= ax — a — 2lnx , 所以 f ' (x)= a + 為—2.x x要使函数f(x)在定义域(0,+ 8)内为单调函数， 则在(0, +)内f ' (x)恒大于等于0或恒小于等于 0.2当a = 0时，贝U f ' (x)=— -v 0在(0,+)内恒成立；适合题意.当a >0时，要使f ' (x)= ap —片2+ a — ->0恒成立，则a —0,解得a > 1;x a a a 当a v 0时，由f ' (x)= a +為—-v 0恒成立，适合题意.—7 N二当y =^x +孟通过图中的点A 时, —最大, 1200z 最大.解 4x + 5y = 200,3x + 10y = 300,得点卜5y~20020 1010 20 301050X60 1O?F Jx x所以a的取值范围为(一8, 0] U [1, + 8).⑵根据题意得：f ' (1) = 0,即卩a + a — 2= 0，得a = 1, 所以 f ' (x)=(丄一1)2,=a n — 2na n + 1.用数学归纳法证明如下: 当 n = 1 时，a 1= 4 = 2X 1 + 2, 当 n = 2 时，a 2= 9>2X 2+ 2;假设当n = k(k > 2且k € N *)时，不等式 a k > 2k + 2成立，即a k — 2k > 2成立， 则当 n = k + 1 时，a k +1 = a k (a k — 2k)+ 1 >(2k + 2)x 2+ 1 = 4k + 5>2(k + 1)+ 2, 所以当n = k + 1,不等式也成立，综上得对所有n € N *时，都有a n > 2n + 2.［文］(本小题满分14分)已知不等式x 2+ px + 1 > 2x + p.(1) 如果不等式当|p|w 2时恒成立，求x 的范围；(2) 如果不等式当2< x w 4时恒成立，求 p 的范围. 解：(1)原不等式为2(x — 1)p + (x — 1) > 0 ,令f(p) = (x — 1)p + (x — 1)2，它是关于 p 的一次函数， 定义域为［—2,2］，由一次函数的单调性知f( — 2) = (x — 1)(x — 3) > 0<f(2) = (x — 1)(x + 1) > 0 '解得x v — 1或x > 3.即x 的取值范围是{x|x v — 1或x > 3}.⑵不等式可化为(x — 1)p >— x 2+ 2x — 1, 9—x 2 + 2x — 1x — 1对x € [2,4]恒成立，所以 p > (1 — x) max .当 2 w x W 4 时，(1 — X )max =— 1 ,于是p >— 1.故p 的范围是{p|p >— 1}.于是 a n + 1 = f ' (a ；—n^)-n 2+ 1 = (a n - n)2- n 2+1••• p > =1 — x.。