第1讲 不等关系与不等式
1．(2016·安徽省淮北一模)设a ＝30.5，b ＝log 32，c ＝cos 2，则( )
A ．c <b <a
B ．c <a <b
C ．a <b <c
D ．b <c ＜a 解析：选A.由题意知a ＝30.5>30＝1，b ＝log 32，
因为1<2<3，所以0<b <1.
又因为π2<2<π，所以c ＝cos 2<0，所以c <b <a . 2．(2016·石家庄质检)如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A ．－1a <－1b B ．ab <b 2 C ．－ab <－a 2 D ．|a |<|b | 解析：选A.利用作差法逐一判断．因为1b －1a ＝a －b ab <0，所以－1a <－1b ，A 正确；因为ab －b 2＝b (a －b )>0，所以ab >b 2，B 错误；因为ab －a 2＝a (b －a )<0，所以－ab >－a 2，C 错误；a <b <0⇒|a |>|b |，D 错误，故选A. 3．(2016·江西省重点中学盟校联考)已知a >0且a ≠1，则“a b >1”是“(a －1)b >0”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C.由a b >1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a>1，b>0或⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，b<0；
由(a －1)b >0⇒⎩⎪⎨⎪
⎧a －1>0，b>0或⎩⎪⎨⎪
⎧a －1<0，b<0，又a >0且a ≠1，所以“a b >1”是“(a －1)b >0”的充要
条件．
4．(2016·西安质检)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6
C ．(0，π) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π
解析：选D.由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6
， 所以－π6≤－β3≤0，
所以－π6<2α－β3
<π. 5．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和
小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是( )
A ．2枝玫瑰的价格高
B ．3枝康乃馨的价格高
C ．价格相同
D ．不确定 解析：选A.设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为x 元、y 元，则6x ＋3y >24，4x ＋4y <20⇒2x ＋y >8，x ＋y <5，因此2x －3y ＝5(2x ＋y )－8(x ＋y )> 5×8－8×5＝0，所以2x >3y ，因此
2枝玫瑰的价格高，故选A.
6．已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A ．a 2<b 2<c 2
B ．a |b |<c |b |
C ．ba <ca
D ．ca <cb
解析：选D.因为a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a <0，c >0，b 的符号不定，对于b >a ，两边同时
乘以正数c ，不等号方向不变，故选D.
7．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：
①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若a >b ，则a ·2c >b ·2c .
其中正确的是________(把正确命题的序号都填上)．
解析：①正确．②中由2c >0可知式子成立．
答案：①②
8．(2016·郑州联考)已知a ，b ，c ∈R ，给出下列命题：
①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ab ≠0，则a b ＋b a ≥2；
③若a >|b |，则a 2>b 2. 其中真命题的个数为________．
解析：当c ＝0时，ac 2＝bc 2＝0，故①为假命题；当a 与b 异号时，a b <0，b a <0，a b ＋b a ≤－2，
故②为假命题；因为a >|b |≥0，所以a 2>b 2，故③为真命题．
答案：1
9．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 cm ，要求菜园的面积不
小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．
解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x 2 m ，即⎝
⎛⎭⎪⎫15－x 2 m ， 根据题意知⎩⎪
⎨⎪⎧0<x≤18，
x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧0<x≤18，x ⎝
⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216 10．(2016·盐城一模)若－1<a ＋b <3，2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为________．
解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，
则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.
又因为－52<52
(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1， 所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132. 即－92<2a ＋3b <132. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132 11．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e （a －c ）2>e （b －d ）2
. 证明：因为c <d <0，
所以－c >－d >0，
又因为a >b >0，所以a －c >b －d >0.
所以(a －c )2>(b －d )2>0.
所以0<1（a －c ）2<1（b －d ）2.
又因为e <0，所以e （a －c ）2>e （b －d ）2. 12．已知12<a <60，15<b <36，求a －b ，a b
的取值范围． 解：因为15<b <36，
所以－36<－b <－15.
又12<a <60，
所以12－36<a －b <60－15，
所以－24<a －b <45，
即a －b 的取值范围是(－24，45)．
因为136<1b <115
， 所以1236<a b <6015
， 所以13<a b
<4， 即a b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4.。