21·1 二次根式
1. 二次根式的定义
一般地，式子（a ≥0）叫做二次根式，a 叫被开方数，a 可以是数可以是单项式或
多项式，如，，判断一个式子是否为二次根式；要看它是否具备两个特征：
一是根指数是2，二是被开方数为非负数，二者缺一不可. 2．二次根式的性质1
（Ⅰ）文字语言是：非负数的算术平方根是一个非负数.
（Ⅱ）数学语言为：≥0（a ≥0），它的用途非常大，例如：若2＋＝0，
则a ＝0，b ＝0，若＋|b|＝0，则a ＝0，b ＝0，若＋b 2＝0，则a ＝0，b ＝0 思考：当a<0时，有意义吗?当a ≥0时，可能为负数吗?
3．二次根式的性质2
（Ⅰ）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数. （Ⅱ）数学语言为：()2≥0（a ≥0） （Ⅲ）证明：∵( a ≥0)是a 的算术平方根 ∴()2＝a
（Ⅳ）作用()2＝3，()2＝，（)2＝x （x ≥0）
反过来：若a ≥0则a ＝
，如：2＝，＝（)2
4．二次根式的性质3
（Ⅰ）文字语言：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值. （Ⅱ）数学符号：
＝|a|
（Ⅲ）说明：
①a 的取值范围是任意实数.
②＝a 的前提是a ≥0，＝－a 的前提是a ≤0 5．()2与的异同点
a 3xy
12+x a a 3
1
b a a a a a a a 33131
x ()2
a ()
2
221
212a 2
a 2
a a 2
a
（Ⅰ）区别：中a 必须取非负数即a ≥0，而
中的a 可以取任何实数.
（Ⅱ）相同点：
当被开方数都是非负数，即a ≥0时，＝（）2
a<0时，（）2无意义而＝－a
典型例题
例1. 当a 为实数时下列各式中哪些是二次根式.
，
，，，，
解：，，，是二次根式.
例2. x 为何实数时，式子在实数范围内有意义？
解：由x －2≥0得x ≥2，当x ≥２时在实数范围内有意义.
例3. 计算：
（1）（）2；（2）（3）2；
（3）（－2）2；（4）（）2 解：（1）（）2＝
（2）（3）2＝32×（）2＝9×2＝18
（3）（－2）2 ＝（－2）2×（）2＝4×＝
（4）（）2＝x 2＋y 2
例4. 计算： （1）；
（2）
；
（3）（a<３）； （4）（x<）
()2
a 2a 2
a a a 2a 10+a a
2a 12-a 12+a 2)1(-a a
2a 12+a 2)1(-a 2-x 2-x 52
231
22y x +52252
22313131342
2y x +252
)5.1(-2
)
3(-a 2
)32(-x 23
解：（1）＝＝5
（2）＝|－1.5|＝1.5
（3）
＝|a －3|＝－（a －3）＝3－a （a<3）
（4）＝|2x －3|＝－（2x －3）＝3－2x （x<）
例5. 在实数范围内分解因式：x 2＋2x －1
解：x 2＋2x －1＝ x 2＋2x ＋1－2＝（x ＋1）2－2
＝（x ＋1）2－（）2＝（x ＋1＋）（x ＋1－）
例6. 在△ABC 中，a 、b 、c 是三角形的三边，化简－2|c －a －b|
解：∵a 、b 、c 是△ABC 的三边 ∴a －b ＋c>0 c －a －b<0 ∴－2|c －a －b|＝|a －b ＋c|－2|c －a －b|
＝ a －b ＋c ＋2c －2a －2b ＝3c －a －3b
例7. 已知:a ＋b ＝
，a －b ＝.求（）2006的值.
解：∵＝＝
＝＝＋
＝－
，得
∴（）2006
＝[
]2006＝（－1）2006＝＋1
例8. 已知：＋＝10化简＋2|x －6|
解：由＋＝10
25252
)5.1(-2
)3(-a 2
)
32(-x 23
2222
)(c b a +-2
)(c b a +-625+625-14
22--b a 625+22323+⋅+2
2
)2(232)3(+⋅+2
)23(+32625-32∴+=+-=-⎧⎨⎪⎩⎪a b a b 3232a b ==⎧⎨⎪⎩⎪3214
22--b a 1)2(4)3(22--1682++x x 36122+-x x 2)82(+x 1682++x x 36122
+-x x
可得
＋
＝10
即|x ＋4|＋|x －6|＝10
要|x ＋4|＋|x －6|＝10成立，则|x ＋4|＝ x ＋4，|x －6|＝6－x 所以x ＋4≥0，6－x ≥0（或x －6≤0） ∴－4≤x ≤6，∴2x ＋8≥0，x －6≤0 ∴＋2|x －6|＝2x ＋8＋2（6－x ）＝20
例9. 已知：x 为实数，化简＋2
解：原式＝|x －2|＋2|1＋x|
①当x ≥2时，x －2≥0，1＋x>0 ∴原式＝x －2＋2＋2x ＝3x
②当－1≤x ＜2时， x －2<0， 1＋x ≥0 ∴原式＝2－x ＋2（x ＋1）＝x ＋4 ③当x<－1时， x －2<0， 1＋x ＜0 ∴原式＝2－x －2（x ＋1）＝－3x
说明：解决此类问题时需确定好讨论的范围，然后按范围去掉绝对值计算出结果.
2
)4(+x 2
)6(-x 2
)82(+x 442
+-x x 2
21x x ++。