二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的运算（1）因式的外移和移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）；b ba a=（b ≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．八年级（上）《二次根式》同步学习检测（一）（整章检测）（时间90分钟 满分100分）一、选择题（共12分）1．在根式15、22b -a 1b a -、3ab 、631、b a a221中，最简二次根式有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．在二次根式32，-256，611，4951和232中，与6是同类根式的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 3．在下列各式中，等号不成立的是（ ）A ．a-1＝-aa B ．2x y ＝y 4x 2(x ＞0) C ．32a -＝a 2a - D ．(x+2xy +y)÷(x +y )＝x +y4．在下列各式的化简中，化简正确的有（ ）①3a ＝a a ②5x x -x ＝4x x ③6a2b a ＝ab 2b3a ④24+61＝106 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．已知二条线段的长分别为2cm 、3cm ，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是（ ） A ．1cmB ．5cmC ．5cmD ．1cm 或5cm6．已知a ＜0，化简：aa a 22+的结果是 （ ）A ．1B ．-1C ．0D ．2a二、填空题（每题2分，共20分）7．52-的绝对值是__________，它的倒数__________ 8．当x ___________时，x311--是二次根式． 9．当x ______时，52+x 有意义，若xx-2有意义，则x ______。

10．当m >n 时，2)(m n -＝______，当a _______时，3132-=a a 11．化简=⨯04.0225_________，=-22108117_________。

12．计算：=⋅b a 10253___________．13．若最简二次根式1522+x 与－172-x 是同类二次根式，则x =______。

14．把根式aa 1-根号外的a 移到根号，得___________。

15．二次根式x 33-与ax 2的和是一个．．二次根式，则正整数a 的最小值为 ；其和为 。

16．观察下列各式：322322+=⨯；833833+=⨯；15441544+=⨯；……则依次第四个式子是 ；用)2(≥n n 的等式表达你所观察得到的规律应是 。

三、解答题（共68分）17．（5分）计算：ba b aba a ---18．（5分）计算：)483814122(22-+19．（5分）解方程：3548015+=+x x 20．（5分）解不等式：)1(6)3(2+≥-x x21．（5分）已知：2420-=x ，求221xx +的值． 22．（5分）化简并求值a a a a a a a -+---+-22212121 其中321+=a23．（5分）已知实数a 满足|2003－a |+a －2004 =a ，则a －20032的值是多少？24．（5分）已知正数a 和b ，有下列命题：（1）若2=+b a ，则ab ≤1； （2）若3=+b a ，则ab ≤23； （3）若6=+b a ，则ab ≤3；根据以上三个命题所提供的规律猜想：若9=+b a ，则ab ≤ 。

25．（6分）阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答。

已知m 为实数，化简：mm m 13---- 解：原式＝m mm m m -⋅---1＝()m m ---126．（6分）如图，ABC ∆中，∠=∠Rt ACB ，2,8==BC AB ，求斜边AB 上的高CD ．27．（8分）观察下列等式：①12)12)(12(12121-=-+-=+；②23)23)(23(23231-=-+-=+；③34)34)(34(34341-=-+-=+；……回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：11321+（2）计算：1031 (2)31321211++++++++28．（8分）水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与AE 的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE =30米，坝顶宽CD =10米，求大坝的截面的周长。

八年级（上）《二次根式》同步学习检测（二）一、选择题1、如果－3x+5是二次根式，则x 的取值围是（ ） A 、x ≠－5 B 、x>－5 C 、x<－5 D 、x ≤－5 2、等式x 2－1 =x+1 ·x －1 成立的条件是（ ）A 、x>1B 、x<－1C 、x ≥1D 、x ≤－1ACBE DF3、已知a=15 －2,b=15 +2，则a 2+b 2+7 的值为（ ）A 、3B 、4C 、5D 、64、下列二次根式中，x 的取值围是x ≥2的是（ ）A 、2－xB 、x+2C 、x －2D 、1x －25、在下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A 、a 2 +1B 、2x+1C 、2b4D 、0.1y6、下面的等式总能成立的是（ ） A 、a 2 =a B 、aa 2 =a 2 C 、a ·b =ab D 、ab =a ·b7、m 为实数，则m 2+4m+5 的值一定是（ ）A 、整数B 、正整数C 、正数D 、负数8、已知xy>0,化简二次根式x －yx 2 的正确结果为（ ） A 、y B 、－y C 、－y D 、－－y9、若代数式(2－a)2 +(a －4)2 的值是常数2，则a 的取值围是（ ）A 、a ≥4B 、a ≤2C 、2≤a ≤4D 、a=2或a=4 10、下列根式不能与48 合并的是（ ） A 、0.12 B 、18 C 、113D 、－7511、如果最简根式3a －8 与17－2a 是同类二次根式，那么使4a －2x 有意义的x的围是（ ）A 、x ≤10B 、x ≥10C 、x<10D 、x>1012、若实数x 、y 满足x 2+y 2－4x －2y+5=0,则x +y 3y －2x的值是（ ） A 、1 B 、32 +2 C 、3+2 2 D 、3－22二、填空题 1、要使x －13－x 有意义，则x 的取值围是 。

2、若a+4 +a+2b －2 =0，则ab= 。

3、若1－a 2 与a 2－1 都是二次根式，那么1－a 2 +a 2－1 = 。

4、若y=1－2x +2x －1 +(x －1)2 ，则(x+y)2003= 。

5、若 2 x>1+ 3 x ，化简(x+2)2 －3(x+3)3 = 。

6、若(a+1)2 =(a －1)2 ，则a= .7、比较大小：⑴3 5 26 ⑵11 －10 －138、若最简根式m 2－3 与5m+3 是同类二次根式，则m= . 9、已知223=223,338=338,4415 =4415 ,…请你用含n 的式子将其中蕴涵的规律表示出来： . 10、若5 的整数部分是a ，小数部分是b ，则a －1b = 。

11、已知x =1a － a ，则4x+x 2 = 。

12、已知a=3－ 5 －3+ 5 ，则化简a 得 .三、计算与化简1、( 3 + 2 )－1+(－2)2 +3－8 2、13 +1 + 15 －3 +15 +33、(1+ 2 － 3 )(1－ 2 + 3 )+2 64、9a + a 31a+12aa 3四、先化简再求值 1、已知a=3,b= 4，求[4( a +b )(a －b )+ a + b ab (b －a )]÷ a － b ab的值。

2、化简：a+2+a 2－4a+2－a 2－4 －a+2－a 2－4a+2＋a 2－4 取自己喜爱的a 的值计算。

3、当a=3 + 2 3 － 2，b=3 － 23 ＋2时，求a 2－3ab+b 2 的值。

4、当a=21－ 3时，求a 2－1a －1 －a 2＋2a+1 a 2＋a－ 1a的值。