高三数学上学期第四次月考试题数学试卷(理)时量:120分钟 满分: 150分一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1、已知直角ABC ∆中，090=∠C ，1sin sin 2=B A ，则A tan 的值为A33 B 1 C 22 D 32、已知函数1log 2+=x y 的定义域为A ，函数xy -=2值域为B ，则A B A ⊆ B A B ⊆ C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1,21B A D R B A =3、设γβα,,为平面，l n m ,,为直线，则β⊥m 的一个充分条件为!A l m l ⊥=⊥,,βαβαB γβγαγα⊥⊥=,,mC αγβγα⊥⊥⊥m ,,D αβα⊥⊥⊥m n n ,,4、圆422=+y x 被直线0323=-+y x 截得的劣弧所对的圆心角的大小为A3π B 6π C 4π D 2π 5、过抛物线x y 42=的焦点F 作直线m 交抛物线于点A 、B ，则AOB ∆是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不确定 6、函数|2sin 32cos |x x y -=的一条对称轴方程为 A 12π=x B 6π=x C 4π=x D 12π-=x7、已知三棱锥BCD A -中，060,,1,90=∠⊥===∠ADB BCD AB CD BC BCD 面，点E 、F 分别在AC 、AD上，使面CD EF ACD BEF //,且面⊥，则平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的正弦值为A66 B 77 C 42 D 31 `8、对于函数x x x f -+=11lg)(，有三个数满足1,1,1<<<c b a ，且1)1(=++ab b a f ，2)1(=--bc c b f ，那么)1(acca f ++的值是A 1-B 2lg C10 D 39、若不等式)1()8)(8(2+<-+x x x x λ对于一切实数()2,0∈x 都成立，则实数λ的取值范围是 A ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,41 B ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41 C ()+∞,4 D [)+∞,410、数列{}n a 满足：51,4121==a a ，且1113221...++=+++n n n a na a a a a a a 对于任何的正整数n 成立，则97211....11a a a +++的值为 A 5032 B 5044 C 5048 D 5050二、填空题:本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11、已知等差数列{}n a 中，16,1842=+=a a a ，则=10a12、已知0>≥b a ，而αsin 是一元二次方程02=-+b bx ax 的根，则αsin 的最大值 为 …13、已知21,F F 分别为双曲线的左、右焦点，P 是为双曲线12222=-by a x 左支上的一点，若a PF PF 8122=，则双曲线的离心率的取值范围是14、如图，O 、A 、B 是平面上三点， 向量b OB a OA ==,，在平面AOB 上，P 是线段AB 的垂直平分线上任意 一点， 向量p OP =23==， 则)(b a p -•=15、已知二次函数c x ax x f ++=2)(2的值域为[)+∞,0，则1122+++c c a a 的最 值为1，1122+++c aa c 的最 值为1。
（填入“大”或“小”）三、解答题:本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.~16、（本小题满分12分）已知A 、B 、C 的坐标分别为A （4，0），B （0，4），C （ααsin 3,cos 3）。
（Ⅰ）若)0,(πα-∈=，求角α的大小；（Ⅱ）若⊥，求αααtan 12sin sin 22++的值。
{17、（本小题满分12分）设数列{a n }的前n 项和S n ，且*)(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-. 其中m 为常数，且.0,3≠-≠m m（Ⅰ）求证{a n }是等比数列，并写出它的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n }的公比)(m f q =，数列{b n }满足)2,)((23,111≥∈==-n N n b f b a b n n ，求n b . 18、（本小题满分12分）如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，⊥PA 面ABCD ，PA=AB=1，BC=2 （Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； ：（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅲ）在BC 上是否存在一点G ，使得D 到平面PAG 的距离为1若存在，求出BG ；若不存在，请说明理由。
#/19、（本小题满分13分）已知某企业的原有产品每年投入x 万元，获得的年利润可表示为函数：P(x)8)30(10012+--x （万元）。
现开发一个回报率高、技术含量高的新产品，据预测，新产品每年投入x 万元，获得年利润)100(5257)100(10099)(2x x x Q -+--=（万元），新产品的开发从“十五”计划的第一年开始，用两年时间完成，这两年，每年从100万元的生产准备资金中，拿出80万元投入新产品的开发，从第三年开始这100万元就可随意分配且全部用于新旧产品的生产投入。
为解决资金缺口，第一年年初向银行贷款1000万元，年利率%5.5（不计复利，即先一年的利息不计入下一年的本金）。
（Ⅰ）第五年底一次性向银行偿还本息共计多少万元（Ⅱ）从新产品开发的第三年开始，从100万元的生产准备资金中，新旧产品各应投入多少万元，才能使年利润最大最大为多少（Ⅲ）从新旧产品的五年最高利润的总和中拿出70%来，能否还清对银行的贷款/PBCDAE'20、（本小题满分13分）设定义在()+∞,0上的函数)(x f 满足：（1）对于任意的a 、b ，都有p b f a f b a f -+=⋅)()()(，其中：p 为正实数； （2）1)2(-=p f ； （3）当1>x 时，总有p x f <)( （Ⅰ）求)1(f 及)21(f 的值；（用含p 的式子表示）； （Ⅱ）求证：)(x f 在()+∞,0上为减函数；（Ⅲ）设))(2(*N n f a n n ∈=，数列{}n a 的前n 项的和为n S ，当且仅当n=5时，n S 取得最大值，求p 的取值范围。
,21、（本小题满分13分）如图，以A 1、A 2为焦 点的双曲线E 与半径为c 的圆O 相交于C 、D 、C 1、D 1，连接CC 1与OB 交于点H ，且有B A A HB OH ,,,)323(21其中+=是圆O 与坐标轴的交点，c 为双曲线的半焦距. （Ⅰ）当c=1时，求双曲线E 的方程； 【（Ⅱ）试证：对任意正实数c ，双曲线E 的离心率为常数；（Ⅲ）连接A 1C ，与双曲线E 交于点F ，是否存在实数λ，使FC F A λ=1恒成立若存在试求出λ的值；若不存在，请说明理由.~第四次月考试题答案一、选择题： BCDAC ， ABADB 二、填空题 11、15 12、215- 13、(]3,1 14、2515、大、小 三、解答题16、解、（Ⅰ）由已知得：2222)4sin 3(cos 9sin 9)4cos 3(-+=+-αααα-则ααcos sin = ……….4分 因为 )0,(πα-∈ 43πα-=∴ ……….6分 （Ⅱ）由0)4sin 3(sin 3cos 3)4cos 3(=-⋅+⋅-αααα 得 43cos sin =+αα 平方得 1672sin -=α ………..9分 而1672sin cos sin 2cos sin cos sin 2cos sin 2tan 12sin sin 2222-===++=++αααααααααααα ………..12分17、解：（Ⅰ）由32)3(32)3(11+=+-+=+-++m ma S m m ma S m n n n n 得，两式相减得n n ma a m 2)3(1=++ …………3分32301+=∴-≠≠+m ma a m m n n ，且， ∴{a n }是等比数列 …………6分 又11)32(,1-+=∴=n n m m a a …………6分 ?（Ⅱ）b 1=a 1=1，时且，232)(≥∈∴+==n N n m mm f q ，3111,33,3223)(23111111=-=++⋅==------n n n n n n n n n n b b b b b b b b b f b ……9分 ∴}1{n b 是1为首项31为公差的等差数列 ∴23,323111+=∴+=-+=n b n n b n n …………12分 18、解、以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建系， 则 )1,0,0(),21,1,0(),0,2,0(),0,2,1(),0,0,1(),0,0,0(P E D C B A)1,2,1(),21,1,0(),1,0,0(),0,2,0(),0,0,1(-====-=∴（Ⅰ）易证得CD ⊥AD ，CD ⊥AP 则CD ⊥面PAD ⇒平面PDC ⊥平面PAD …..4分（Ⅱ）,cos =>=<PC AE y所以 所求角的余弦值为1030……………………………………..8分~（Ⅲ）假设存在，设BG=x ，则)0,,1(x G ，作DQ ⊥AG ，则DQ ⊥平面PAG ，即DG=1，ABCD ADG S S =∆2 ，=3212=⇒=+=∴x x AG,故存在点G ，当3=BG 时，D 到平面PAG 的距离为1。
……….12分19、解、（Ⅰ）五年利息为2755055.01000=⨯⨯万元 本息总计1275元 …….3分 （Ⅱ）设从新产品开发的第三年年初开始每年旧产品投入x 万元， 则新产品投入100—x 万元，于是每年的利润是：[][])100(1005257)100(100100998)30(1001)100()(22x x x x Q x P W --+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-+=675)26(15222+--=-+-=x x x ……….8分所以新旧产品各应投入74，26万元时年利润最大，最大为675。
……….9分（Ⅲ） 前两年利润14)20(21==P W 万元，后三年最高利润202567532=⨯=W ，203921=+W W …….11分"而12753.1427%702039>=⨯所以：从新旧产品的五年最高利润中拿出70%能还清对银行的贷款 …..13分 20、解、（Ⅰ）令a=b=1，则p f p f f =⇒-=)1()1(2)1( ……..1分 又1)21()21()2()212()1(+=⇒-+=⨯=p f p f f f f …….3分 （Ⅱ）设210x x <<，则p x xf x x <⇒>)(11212 所以)()()()()()()(1112111212x f p x f x xf x f x x x f x f x f --+=-⋅=- 0)(12<-=p x x f 即)(x f 在()+∞,0上为减函数 ……….7分（Ⅲ）由11)2()2()2(11-=--+=-+==++n n nn n a p p a p f f f a所以数列{}n a 为等差数列，11-=p a ……….10分p n a n +-=∴~由题意⎩⎨⎧<+-=>+-=060565p a p a 65<<∴p ………..13分21、解（Ⅰ）由c=1知B （0，1），)323(+=23324323,0=++==∴H H y x 即)23,0(H ，点C 在单位圆上，)23,21(=∴C 设双曲线E 的方程为 ).0,0(12222>>=-b a by a x由点C 在双曲线E 上，半焦距c=1有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=+23231143411222222b a b a b a 解得所以双曲线E 的方程为：12323122=--y x …………3分（Ⅱ）证明：HB OH c B c A )323(),,0(),0,(1+=-由 得：);23,21(),23,0(c c C c H 设双曲线E 的方程为).0,0(12222>>=-b a by a x⎪⎩⎪⎨⎧=-++∴14342222222b cac c b a ①代入②，化简整理得0634224=-+b b a a 03)(6)(24=--∴a b a b 解得323)(2+=ab又.324)(12222+=+==a b ac e13324+=+=∴e ，即双曲线E 的离心率是与c 无关的常数. ……8分（Ⅲ）假设存在实数λ，使FC F A λ=1恒成立，)23,2(),0,(1c cC c A - 有λλλλ+⋅=+⋅+-=123,12FF y c c x 点))1(23,)1(2)2((λλλλ++-=c c F ，故有 ①②③ ④ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=-1)1(43)1(4)2(1434222222222222λλλλb c a c b c ac 由③得3443222222-=⇒==e bc b c e ⑤⑤代入④得1)1(4)4()1(4)2(222222=+⋅--+-λλλλe e 化简整理得1222+=+-λλe e 即利用,2122+-=e e λ（2）小题的结论得：431326323+=++=λ 故存在实数431+=λ，使FC F A λ=1恒成立. ………13分。