南宁三中上学期高三月考（三）理科数学试题、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

A . {0,1,2}B . {0,1}C.{1,2} D . {1}2.复数「满足•一-, 则：（）A . *B . 1-i3.下列各式中的值为的是（）A . 2sin215：-l1 •已知全集U = R，集合A = {1,2,3,4,5} ,B= {x€C• 2sinl5：cosl5：1 .C. ：D.( A B. ____ ....D. :：: __4 .设P是△ABC所在平面内的一点，一- ，则（）D .忑+菖+乔:S5.已知a为实数，“a 1 ”是a2 <a3”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6 .已知某一随机变量X的分布列如下，且E（X）=6.3,则a的值为（B . 6C . 8 X49 p0.5ai b7.函数八；m的部分图象大致是图中的（C.8.已知则下列关系正确的是（A. 2<y<工B. 2<『<y C x<y<2 D. y<z<x9•三棱锥‘m:中,£丿磴为等边三角形，二—邙-- /，•工.1.:,三棱锥d 的外接球的表面积为A .二B .［密C. D.且…「关于原点对称，则••的取值范围是（）9 ）9A .昭,+00）C.卩砧測D【也化]11.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的•如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）12.已知双曲线_-的离心率为2, 一，一分别左、右焦点，点M（-叫N㈣，点P为线段上的动点，若昭平取得最小值和最大值时，A PF I F2的面积分别为1, 一，则•- （）C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x< 3x + y> 213•若实数Q满足I ys，则"+y的最大值为 ________________________ .（2x--）s314. 若' __________________________________ r的展开式式中含工的项为.15. 直线I与抛物线卩二8丁相交于A、B两点且AB的中点为M （1、1）,则I的方程为 __________16. A ABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, - ： ................ -…匚…丄则角A的取值范围是__________ .三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

10.已知函数y=a+2lnx（ie[ /的图象上存在点函数. -的图象上存在点是双曲线的(一)必考题：共60分。

17. (本小题12分)$=2瓯+2笹萨4设正项等比数列｛氏」的前.项和为-，且满足(I)求数列的通项公式；(n)设数列力=啦，求.•的前.项和•.18. （本小题12分）如图，平面_______ 平面，其中一…为矩形，为梯形，」m二程二】.（I）求证：二_平面二」；（n）若二面角A-BF-D 的平面角的余弦值为•，求.丄的长.19. （本小题12分）质检部门从某超市销售的甲、乙两公司生产的糖果中分别各随机抽取100颗糖果检测某项质量指标，由检测结果得到如图的频率分布直方图：（I）求出频率分布直方图（甲）中「•的值；记甲、乙两个公司各抽取的100颗糖果的质量指标方差分c2 r2 c2 c2别为'.'_，试比较一的大小（只要求写出答案）；（n）用样本情况估计甲乙另个公司的产品情况，估计在甲、乙两个公司的糖果中各随机抽取1颗，恰有一颗的质量指标大于20,且另一颗糖果的质量指标不大于20的概率；（川）由频率分布直方图可以认为，乙公司生产的糖果质量指标值 -服从正态分布•’广•其中近似为样本平均数•'，「近似为样本方差I,设一.表示从乙公司生产的糖果中随机抽取10颗，其品质指标值位于（14.55, 38.45）的颗数，求一.的数学期望•注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得I ' ■- ':② 若—,则PQ/-5<Z<//+5) = 0*682620. （本小题12分）已知椭圆_ ''''的离心率为，左右端点为 1 -,其中•一的横坐标为 2.过点讹:巴的直线交椭圆于：.两点，-在•.的左侧，且「「二-；• 丁二，点:.关于.轴的对称点为二射线「与—I交于点…（1 ）求椭圆的方程；（2）求…点在直线.］：=-上.证：21. （本小题12分）设了 =；二少是:瑋在点处的切线.（1）求证： -■-:-;（2）设；「-- _,其中•上「.若—：-对•「…恒成立，求..的取值范围.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22. ［选修4—4 :坐标系与参数方程］（本小题10分）卩二亍+ tcosa已知直线的参数方程为，（为参数），在平面直角坐标系■'中，以一为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线.-的方程为“：凉「二；-i.（1）求曲线.一的直角坐标方程；（2）若直线与曲线只有一个公共点，求倾斜角一.的值•23. ［选修4—5:不等式选讲］（本小题10 分）已知，且：：' J 二. ，证明:南宁三中上学期高三月考(三)理科数学参考答案［解析】 二_ — ： , _ _•- - ' - " _［所以【解析】由二倍角公式得到----；由二倍角公式得到一_1 ：''"；由二倍角公式得到 山皿「皿芒"| …| 一_ =1. ||4. B 【解析】23.5. C 【解析】a ：：： a 1 ：：： a6. D 【解析】 根据分布列的性质得 0.5+0.1+b=1,所以b=0.4. 因为 E(X)=6.3，所以 4X 0.5+0.1 X a+9X 0.4=6.3，所以 a=7. 7. B 【解析】由题意，函数 亶工-立小丁为偶函数，.••函数的图象关于 .轴对称，故可以排除一，」答案. 又•••函数九匚-：0Svlr ：'在区间」 上为增函数，排除 B ,故选8. A 【解析】T - 1 5 1, _，/ (5 ”,因为一，即.―一 • •，故选 A.9. B 【解析】 三棱锥Pm 中，丄二-为等边三角形，…一•二一 •- 一 一，A APAB 豊APA 胆APBC , ‘凹丄 P&・：P 虫丄PCPB 丄 PC ,以匸工为过同一顶点的三条棱，作长方体如图， 则长方体的外接球也是三棱锥 「一二一 一外接球， 长方体的对角线为■,球直径为•，半径为裂-,2因此，三棱锥：外接球的表面积是 几#…几二：.「〔！门门:，故选B.X 4 a 9 P0.50.1b单选题【解析】由题意得，图中阴影部分所表示的集合为 A' $ B •T B = lx R | x _ 3' e B = x R | x ： 3： ••• A c (e u B ) ={1,2,3,4,5 }c{x ^ R|x <3} = {l ,2}兰=<344)(1-2.1 5-Si ‘1+-Z1.C2.D3.CBC BA =2BP,移项得 BC BA-2BP =O,BC - BP BA - BP = PC PA =0占fl=A21m+2有解，令他二»恥+2")=2「：故函数在11. D 【解 析】 设 AB=4,贝U OG=GH=FD=HI=IE= . .,DE=2, 所 以S OGHI = X v7 = 2,S PIED -2X 1=2所以点取自阴影部分的枇率杲P =寻=扌12. A 【解析】由已知 飞・二-得「一 _「.，一 ■ '■,故线段•「所在直线的方程为.八雹工卜门又点「在线段、上，可设八；)〕，其中少丘—；：，由F L (-C 」O 〕，為(匚0〕，得阳二(一2a-m -V3(E +Q )〕，陌= (2a-g-V5(m+cO 〕， 则陌•陌=4加+6伽_，=4(m+討尸一凱匸，由用F [_Z O]，可知当用=-丰时，PF 、-疋取得最小值，此时Si 二才X2r- -I- T- 当.一时，一 一取得最大值，此时込心;,所以匚-..第II 卷(非选择题)二、填空题13. 9【解析】详解：画出可行域如图所示， ，可知当目标函数经过点 时取最大值，最大值为J X 纟十$ — 2 14•一 ■一〔【解析】 八—的展开式中通项公式为r r+1 = q - (2 或叶.仔『=(-i/-2s -q:-护卡, 令 一时，展开式中含「的项为：二『匸―•応 相减可得：—；；—二M 「有 :-■'疝中点为门；-匕厂一 ：；一 £故.「' - ' & : :的方程为：一 .即 <-•故答案为<-16. !o n 【解析】由已知及正弦定理得 sinAcosC- 2sinBccsC= 2sinCcosB-sinCcosA即 sinAcosC+ sinCcosA = 2(sinBcosC + sinCcosB) sto(A+C) = 2sin (B + C)... sin B = 2sin A , a 时取等号，••• A 为三角形的内角，且 y = cos x 在(0, n 上是减函数，.0<A < ； 则角A 的取值 范围是o , 6.三、解答题 17. 【解析】(I) 设正项等比数列-••的公比为，则• -且'-10. A 【解析】由题知15」「• 一 .【解析】设 …•、-pi 2 =8yi 则-由已知二 有八…_门 工，即■ ■--- —一故•一 一或： ］（舍） 叽-込—-/ - P 故当：_ 时， =対+切+・“+叽二呼工=一£+字r» =占1+鸟+・“+b? _ ｛如+鮎+…bj—2 （力4~bj+…+切》一（坷+血十…+ fcj —18. 【解析】（I ）平面.一…一平面…二/,且一二…为矩形， _ _ 平面 ，又二二平面 .'.L ：l 平面二上(n )设AB= x .以F 为原点，AF , FE 所在的直线分别为 x 轴，y 轴建立空间直角坐标系一 >〔则 F(0 , 0, 0) , A( — 2, 0, 0) , E(0, 一，0) , D(- 1 , -, 0) , B( — 2 , 0, x),所以 ?._=(1 , — - ' , 0), 二=(2 , 0, — x).因为EF 丄平面ABF,所以平面 ABF 的法向量可取■. = (0 , 1, 0). 设 '< =(x i , y i , z i )为平面 BFD 的法向量，-则2闿一 zpr 二 0,Xi~43y 1 = 01所以，可取«2=(祁,1,2；3 h )因为cos<"l , ”2>=恤卜丽=4 ,得x=V3 ,所以 AB=祸.19.【解析】⑴xO.Oi 5序＞ 必；（n ）设事件£ 1：在甲公司产品中随机抽取1颗，其质量指标不大于 20 ,事件二：在乙公司产品中随机抽取 1颗，其质量指标不大于 20 ,:在甲、乙公司产品中随机抽各取1颗，恰有一颗糖果的质量指标大于 20 ,且另（n ）由（I ）知：r ■当■— 时，当. 时,-y+^n<7 号一字+ 42Q 7事件一个不大于 20,则 P(』｝ = 0・20+0・10二 OT , P(ff) = 0.10+0.20= 0.3‘ 一J 一「：亠 二-1 —「二；（川）计算得：［_由条件得-■' -■: ---从而「二一m 二 「二,I从乙公司产品中随机抽取 10颗，其质量指标值位于（14.55 , 38.45）的概率是0.6826 ,依题意得 y 逊10』・6826），■点二 10x0,6826二 6,826.20.【解析】；1（1）因为离心率为，所以.一因为•-的横坐标为2，所以西=■ - L = I.匚二■- i-.- L"二＜3.(2 )设，.._ .' _ _ 由珅+4护=12与仁砒+ 4联立，得（3m 2+4）护+24阿+ 36 = 0363r+4 直线：'：—'，直线」—-，联立解出…. •一「一21【解析】 （1 ）设乳〜，则只；却"「，所以:.•所以所以24ffl当二匚〔时II ，故单调递减；当匸汇时，汕，故单调递增.所以，朋（x|2用（0）二0 （枷E 去）•所以 /U ）＜gUi（2）法一：用M 的定义域是；x X①当_；二时，由（I ）得冷］所以'.■ I - !■'■ ■ ' 丨- :TI • z+l x+l所以 址i 在区间［①他丨上单调递增， 所以 妣x 它ktQ ）二1恒成立，符合题意. ②当―］时，由」.「⑴，且「「的导数,J ■---'' '-", （兀 + 1） （A + 1）所以；门苗在区间|匚：T 上单调递增.因为'I - 「J T , '-,1 M. JU 于是存在' H'J ,使得务【―：•所以'「在区间II. ?；, I 上单调递减，在区间 「•⑴丨上单调递增, 所以：. — 1,此时：」二1不会恒成立，不符合题意. 综上，二的取值范围是 E.打法二令」. -=令h(x) =xt?J +^--e J!-ln(x+l) + 1 用(龙)二工(尸一匚寻)> 0:' hex) > h(O) =0J ®fW>0, iftrfflt(x)在◎ + x)递增综上，■ O22.【解析】（1 ）..••-. ■ ■-- ---....*+y2 + b=l ,即 ^+2^=1,此即为曲线…的直角坐标方程•(2 )将 _ 一；代入一 一一 —•得' 厂， •••直线与曲线…只有一个公共点，• A =〔^^2皿严一4 x 扌x (1+sin 2©) = 0 即 sir^a = 5^=±1 又住E[0jr),rW 或带.23【解析】当 I '）厂=…O"R.V _ .二匚 当 -_ ■ -(1 )•••_；-- -一，...4a2+b2=(4^ + b2)(a2 + 护)二4a4 + b4 +Sa2&2 > 4a2b3 +5aW =9a2b2当且仅当.时，取得等号•(2)因为一1--，且所以「一，所以丁y：、¥:护< .?■ I詁所以(a3+ b3)2 < (a2 + &2)2= 1.。