课时跟踪检测（二十七） 函数的零点与方程的解
A 级——学考合格性考试达标练
1．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是( ) A ．－1
2，－1
B ．12，1
C ．1
2
，－1
D ．－12
，1
解析：选B 方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝1
2，所以函数f (x )＝2x 2－3x
＋1的零点是1
2
，1.
2．函数y ＝x 2－bx ＋1有一个零点，则b 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．±2
D ．3
解析：选C 因为函数有一个零点，所以Δ＝b 2－4＝0，所以b ＝±2.
3．若函数f (x )的图象是一条连续不断的曲线，且f (0)>0，f (1)>0，f (2)<0，则y ＝f (x )有唯一零点需满足的条件是( )
A ．f (3)<0
B ．函数f (x )在定义域内是增函数
C ．f (3)>0
D ．函数f (x )在定义域内是减函数
解析：选D 因为f (1)>0，f (2)<0，所以函数f (x )在区间(1，2)上一定有零点．若要保证只有一个零点，则函数f (x )在定义域内必须是减函数．
4．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．⎝⎛⎭
⎫0，1
2 D ．⎝⎛⎭⎫
12，1
解析：选C 因为f (0)＝e 0－3<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e 1
2
＋2－3>0，所以函数的零点所在的区间为
⎝⎛⎭
⎫0，12，故选C. 5．若函数f (x )＝ax ＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >1
B ．a <1
C ．a <－1或a >1
D ．－1<a <1
解析：选C 函数f (x )＝ax ＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则f (－1)·f (1)<0，即(1－a )·(1＋a )<0，解得a <－1或a >1，故选C.
6．函数f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10)的零点有______个． 解析：∵f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10) ＝(x －1)(x ＋5)(x －2)，
∴由f (x )＝0得x ＝－5或x ＝1或x ＝2. 答案：3
7．若f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________．
解析：由f (x )＝x ，
得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x 或⎩
⎪⎨⎪⎧－1<x <2，
x ＝1， 解得 x ＝1＋2或x ＝1. 答案：1，1＋ 2
8．函数f (x )＝ln x ＋3x －2的零点个数是________．
解析：由f (x )＝ln x ＋3x －2＝0，得ln x ＝2－3x ，设g (x )＝ln x ，h (x )＝2－3x ，图象如图所示，两个函数的图象有一个交点，故函数f (x )＝ln x ＋3x －2有一个零点．
答案：1
9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝－x 2＋2x －1； (2)f (x )＝x 4－x 2；
(3)f(x)＝4x＋5；
(4)f(x)＝log3(x＋1)．
解：(1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，
所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.
(2)因为f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，
所以x＝0或x＝1或x＝－1，
故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.
(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5＜0，
∵4x＞0恒成立，∴方程4x＋5＝0无实数解．
所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．
(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，
所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.
10．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？
解：有解．因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－1
2＜0，
f(0)＝20－02＝1＞0，
且函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1，0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有解．
B级——面向全国卷高考高分练
1．函数f(x)＝x3－4x的零点为()
A．(0，0)，(2，0)B．(－2，0)，(0，0)，(2，0)
C．－2，0，2 D．0，2
解析：选C令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C.
2．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是()
A．a＞0 B．a≤0
C．a≥0 D．a＜0
解析：选B 函数y ＝x 2＋a 存在零点，则x 2＝－a 有解，所以a ≤0. 3．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1，2)上的零点( ) A ．至多有一个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个
D ．一个也没有
解析：选C 若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数，由f (1)·f (2)<0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若f (x )在(1，2)上有两个零点，则必有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾．故选C.
4．方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为( ) A ．(0，2) B ．(1，2) C ．(2，3)
D ．(3，4)
解析：选C 令f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (2)＝log 32＋2－3＝log 32
3＜0，f (3)＝log 33＋3－3
＝1＞0，那么方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为(2，3)．
5．函数f (x )＝|x －2|－ln x 的零点的个数为________．
解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，函数f (x )在(0，＋∞)内的零点就是方程|x －2|－ln x ＝0的根．令y 1＝|x －2|，y 2＝ln x (x >0)，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，由图知，两
个函数图象有两个交点，故方程|x －2|－ln x ＝0有2个根，即对应函数有2个零点．
答案：2
6．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
解析：因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f (0)＝0.又因为f (－2)＝0，所以f (2)＝－f (－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.
答案：3 0
7．已知函数f (x )＝x 2－bx ＋3. (1)若f (0)＝f (4)，求函数f (x )的零点．
(2)若函数f (x )一个零点大于1，另一个零点小于1，求b 的取值范围．
解：(1)由f (0)＝f (4)得3＝16－4b ＋3，即b ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋3，令f (x )＝0即x 2
－4x ＋3＝0得x 1＝3，x 2＝1.
所以f (x )的零点是1和3.
(2)因为f (x )的零点一个大于1，另一个小于1，如图． 需f (1)＜0，即1－b ＋3＜0，所以b ＞4. 故b 的取值范围为(4，＋∞)．
C 级——拓展探索性题目应用练
已知函数f (x )＝log 12
x ＋
12x －172
. (1)用单调性的定义证明：f (x )在定义域上是单调函数； (2)证明：f (x )有零点；
(3)设f (x )的零点x 0落在区间⎝⎛⎭⎫1n ＋1，1
n 内，求正整数n 的值．
解：(1)证明：显然，f (x )的定义域为(0，＋∞)．
任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，则
12x 1－12x 2＝x 2－x 1
2x 1x 2
>0，log 12
x 1>log 12
x 2，即log 12
x 1－log 12
x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)＝(log 12
x 1－log 12
x 2)＋⎝⎛⎭
⎫12x 1－1
2x 2>0，所以f (x 1)>f (x 2)．故f (x )在定义域(0，＋∞)上是减函数．
(2)证明：因为f (1)＝0＋12－172＝－8<0，f ⎝⎛⎭⎫116＝4＋8－172＝72>0，所以f (1)·f ⎝⎛⎭⎫116<0，又因为f (x )在区间⎝⎛⎭
⎫1
16，1上是连续的，所以f (x )有零点． (3)f ⎝⎛⎭⎫111＝log 12
111＋112－17
2
＝log 211－3>log 28－3＝0， f ⎝⎛⎭⎫110＝log 12
110＋5－172
＝log 210－72＝log 25－5
2
＝log 225－log 232<0， 所以f ⎝⎛⎭⎫110f ⎝⎛⎭⎫
111<0，
所以f (x )的零点x 0落在区间⎝⎛⎭⎫111，110内．故n ＝10.。