椭圆、双曲线、抛物线常用结论
1.),(),,(2211y x B y x A 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两点,),(00y x M 是AB 的中点,
则22
0202a
b k k y a x b k OM AB AB
-=•⇔-=
2.),(),,(2211y x B y x A 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上关于原点对称的两点, 点P 是椭圆上不同于B
A ,的动点,且P
B PA ,斜率都存在,则22
a
b k k PB
PA -=•
3. ),(),,(2211y x B y x A 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上的两点,),(00y x M 是AB 的中点,
则22
0202a
b k k y a x b k OM AB AB
=•⇔= 4.),(),,(2211y x B y x A 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上关于原点对称的两点, 点P 是双曲线上不同于
B A ,的动点,且PB PA ,斜率都存在,则22
a
b k k PB
PA =• 5. 若),(00y x P 是椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 上的一点, 则过点P 的切线方程是:12020=+b y y a x x
6. 若),(00y x P 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 外的一点,过点P 的两切线的切点分别为B A ,,
则切点弦AB 的方程是:
12020=+b
y
y a x x 7. 若),(00y x P 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 上的一点, 则过点P 的切线方程是:12020=-b y y a x x .
8. 若),(00y x P 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 开口外的一点,过点P 的两切线的切点分别为B A ,,
则切点弦AB 的方程是: 12020=-b
y
y a x x
9.直线与抛物线综合问题
一. 考点精析
1.主要考查直线与抛线的位置关系有关的问题:必须熟悉以下知识点:
(1)抛物线的定义,运用定义确定标准方程中的p 的值;(p 是焦点到准线的距离);
(2)熟悉2
2y px =(2
2x py =)(0)p >的图形的基本常识,能正确写出焦点坐标,准线方程; (3)会用焦半径,焦点弦及一般的弦长公式
一般的弦长公式:|AB |=212
1x x k -+或||1
1212y y k
-+
. 弦长公式实际上也是一条直线上两点间的距离公式. 2.常见的问题及一般解题流程
(1)第一问:根据定义,或动点满足给定条件确定抛物线的方程;也可能是一个简单的计算题. (2)第二问:一般离不开直线方程与抛物线方程联立.如
22
()
2202y kx b x my t x pkx pb x py
=+=+⎧⇒--=⎨=⎩12121212
x x y y x x y y +=+=
⎧⎧⇒⎨⎨
⋅=
⋅=⎩⎩或 然后根据具体的已知条件,列出相应的等式(或不等式)(注意0>∆).
(3)常见问题有:定点、定直线、定值问题;向量的数量积,及向量关系式的应用;如何用抛物线上的两点表
示直线的斜率;过抛物线上一点的直线与抛物线的另一交点如何求?过抛物线上的两点的切线的交点及过两切点的切点弦的方程问题;与动直线有关的三角形,四边形的面积的最值(换元,二次函数,基本不等式,求导)等等. (4)抛物线上两点的斜率一定可以化简(都化成横坐标或纵坐标).)2(222
12121px y y y p
x x y y k AB =+=--=
或)2(22
212121py x p
x x x x y y k AB =+=--=
(5)过抛物线上一点P 的直线与抛物线交于另一点Q ,则可用韦达定理求得Q 点的坐标. 3.关于抛物线的切线问题: (1)用判别式法求切线 ;
(2)焦点在y 轴上时,可用求导法求切线的斜率,写切线方程. (3)也可用代换法直接用切点坐标写出切线方程.
已知点),(00y x P 是抛物线C 上一点,则以P 为切点的切线方程为:
若)0(2:2
>=p py x C : )(00y y p x x +=
若)0(2:2
>=p px y C : )(00x x p y y +=
(即将抛物线方程中的:x x x 02→,y y y 02
→,20x x x +→
,2
y y y +→
) 4. 若点),(00y x P 是抛物线C 开口外一点,过P 作抛物线的两条切线,切点为A 、B ,
则切点弦AB 的方程为:若)0(2:2>=p py x C : AB : )(00y y p x x +=
若)0(2:2>=p px y C : AB : )(00x x p y y +=
5.典型问题
(1)过点),(00y x Q 作直线交抛物线)0(2:2>=p py x C 于),(),,(2211y x B y x A 两点,
则抛物线在B A ,两点处的切线的交点P 必在一条定直线上l 上; 反之也成立. 由p x x p x y PA 2:21
1-=
,p
x
x p x y PB 2:22
2-=
解得)2,2(2121p x x x x P +
(2)已知抛物线)0(2:2
>=p px y C ,直线l 与抛物线交于A ,B
若OB OA ⊥,则直线l 恒经过一个定点)0,2(p
推广:一般地,已知抛物线)0(2:2>=p px y C ,直线l 交于A ,B 两点,点),(00y x P 是抛物线上的一个异于A ,B 若PB PA ⊥,则直线l 恒过一定点.(定点坐标与00,y x 有关).
6.注意几点:
①在设动直线方程时选择更合理的形式可使计算简化(如用b kx y +=还是b my x +=?). ②条件中的等式或不等式结合韦达定理一一转化为具体含参数的数学式子并化简,一个式子就是 一个得分点.
③三角形或四边形的面积,一定要选择更好的表示形式(弦长公式、点线距离公式是主要工具). ④最值问题最终一定可转化为二次函数或对勾函数求最值.。