ICME -7 图甲 O A 1A 2 A 3A 4A 5A 6A 7A 8图乙江苏省南通市届高三第二次调研考试 数学试卷·答案·评分标准·讲评建议A .必做题部分一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分. 1. 设集合102M x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭,{}210N x x =+>,则MN = ▲ .2. 已知复数z 满足z 2+1=0,则(z 6+i )(z 6-i )= ▲ .3. 在总体中抽取了一个样本,为了便于统计,将样本中的每个数据乘以100后进行分析,得出新样本平均数为3,则估计总体的平均数为 ▲ .说明:本题关注一下:222,().i i i i x ax b x ax b S a S '''=+⇒=+=4. 幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--,则满足()f x =27的x 的值是 ▲ .5. 下列四个命题:①2n n n ∀∈R ,≥; ②2n n n ∀∈<R ,;③2n m m n ∀∈∃∈<R R ,,;④n m m n m ∃∈∀∈⋅=R R ,,. 其中真命题的序号是 ▲ .说明:请注意有关常用逻辑用语中的一些特殊符号.如果题中的集合R 改成Z ,真命题的序号是①④,如果R 改成复数集C 呢?6. 如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME -7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的,其中11223781OA A A A A A A =====,如果把图乙中的直角三角形继续作下去,记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ,则此数列的通项公式为n a = ▲ .说明:本题是课本中的习题改编,重在建立观察、归纳意识. 7. 以下伪代码:Read xIf x ≤ 0 Then ()f x ← 4x Else()f x ←2x End IfPrint ()f x根据以上算法,可求得(3)(2)f f -+的值为 ▲ .说明:算法在复习中不应搞得太难,建议阅读《数学通报》2008.1中的一篇关于“四省”07年的高考中的算法的文章.8. 在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6六个点.则122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= ▲ .说明:此学生容易把两向量的夹角弄错.如改成12个点,边长1||i i A A +的求法就不一样了,难度会加大.9. 若()sin() 1 (0,||<π)f x A x ωϕωϕ=++>对任意实数t ,都有()()ππ33f t f t +=-+.记()cos()1g x A x ωϕ=+-,则π()3g = ▲ .说明:注意对称性.10.已知函数f (x )=log a | x |在(0,+∞)上单调递增,则f (-2) ▲ f (a +1).(填写“<”,“=”,“>”之一)说明:注意函数y =f (| x |)是偶函数.比较f (-2)与f (a +1)的大小只要比较-2、 a +1与y 轴的距离的大小. 11.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点,交准线于点C .若2CB BF =,则直线AB 的斜率为 ▲ .说明:涉及抛物线的焦点弦的时候,常用应用抛物线的定义.注意本题有两解.12.有一根长为6cm ,底面半径为0.5cm 的圆柱型铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕4圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的长度最少为 ▲ cm . 说明:本题是由课本例题改编的.关键是要把空间问题转化为平面问题. 13.若不等式组0,22,0,x y x y y x y a-⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥≤≥≤ 表示的平面区域是一个三角形及其内部,则a 的取值范围是▲ .说明:线性规划要注意数形结合,要综合运用多方面的知识.特别要注意区域的边界. 14.已知△ABC 三边a ,b ,c 的长都是整数,且a b c ≤≤,如果b =m (m ∈N*),则这样的三角形共有 ▲ 个(用m 表示).说明:本题是推理和证明这一章的习题,考查合情推理能力.讲评时可改为c =m 再探究.本题也可以用线性规划知识求解.填空题答案:1.{}1122x x -<< 2.2 3.0.03 4.13 5.④ 6 7.-8 8.3 9.-110.< 11. 12 13.4(0,1][,)3+∞ 14.(1)2m m +二、解答题:本大题共6小题,共90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,且tan 21tan A cB b+=. (Ⅰ)求角A ;(Ⅱ)若m (0,1)=-,n ()2cos ,2cos 2C B =,试求|m +n |的最小值.解:(Ⅰ)tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=,……………………………………………3分 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B+=, ∴sin()2sin sin cos sin A B CB A B+=,∴1cos 2A =. ………………………………………………5分 ∵0πA <<,∴π3A =.………………………………………………………………7分 (Ⅱ)m +n 2(cos ,2cos 1)(cos ,cos )2CB BC =-=, ∴|m+n |222222π1πcos cos cos cos ()1sin(2)326B C B B B =+=+-=--.…………10分 ∵π3A =,∴2π3B C +=,∴2π(0,)3B ∈. 从而ππ7π2666B -<-<.……………………………………………………………12分 ∴当πsin(2)6B -=1,即π3B =时,|m +n |2取得最小值12.……………………13分 所以,|m +n |A B CD DC 1 B 1A 1 min2=.………………………………………………………………14分 评讲建议:本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识,要求学生涉及三角形中三角恒等变换时,要从化角或化边的角度入手,合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形;在第二小题中,要强调多元问题的消元意识,进而转化为函数的最值问题,注意定义域的确定对结论的影响,并指明取最值时变量的取值.16.(本小题满分14分) 直棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是直角梯形, ∠BAD =∠ADC =90°,222AB AD CD ===. (Ⅰ)求证:AC ∠平面BB 1C 1C ;(Ⅱ)在A 1B 1上是否存一点P ,使得DP 与平面BCB 1与 平面ACB 1都平行?证明你的结论.证明:(Ⅰ) 直棱柱1111ABCD A B C D -中,BB 1∠平面ABCD ,∴BB 1∠AC . (2)分又∠BAD =∠ADC =90°,222AB AD CD ===,∴2AC ∠CAB =45°,∴2BC =∴ BC ∠AC . (5)分又1BB BC B =,1,BB BC ⊂平面BB 1C 1C ,∴ AC ∠平面BB 1C 1C . ………………7分(Ⅱ)存在点P ,P 为A 1B 1的中点. ……………………………………………………………8分证明:由P 为A 1B 1的中点,有PB 1‖AB ,且PB 1=12AB .……………………………………9分又∵DC‖AB ,DC =12AB ,∴DC ∥PB 1,且DC = PB 1, ∴DC PB 1为平行四边形,从而CB 1∥DP .……………………………………………11分又CB 1⊂面ACB 1,DP ⊄面ACB 1,∴DP‖面ACB 1. (13)分同理,DP‖面BCB 1. (14)分评讲建议:本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识,第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD 中BC ∠AC ,第二小题,要求学生熟练掌握一个常用结论:若一直线与两相交平面相交,则这条直线一定与这两平面的交线平行;同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性,这里只需要指出结论并验证其充分性即可,当然亦可以先探求结论,再证明之,这事实上证明了结论是充分且必要的.变题:求证:(1)A1B⊥B1D;(2)试在棱AB上确定一点E,使A1E∥平面ACD1,并说明理由.17.(本小题满分15分)口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(Ⅰ)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率;(Ⅱ)这种游戏规则公平吗?试说明理由.解:(I)设“甲胜且两数字之和为6”为事件A,事件A包含的基本事件为(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个. (2)分又甲、乙二人取出的数字共有5×5=25(个)等可能的结果,……………………4分所以51()255P A==.………………………………………………………………………6分答:编号的和为6的概率为15.…………………………………………………………………7分(Ⅱ)这种游戏规则不公平.……………………………………………………………………9分设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C, (10)分则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5).所以甲胜的概率P(B)=1325,从而乙胜的概率P(C)=1-1325=1225. (14)分由于P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平. (15)分评讲建议:本题主要考查古典概率的计算及其相关知识,要求学生列举全面,书写规范.尤其注意此类问题的答题格式:设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答.引申:连续玩此游戏三次,若以D表示甲至少赢一次的事件,E表示乙至少赢两次的事件,试问D与E是否为互斥事件?为什么?(D与E不是互斥事件.因为事件D与E可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意;亦可分别求P(D)、P(E),由P(D)+P(E)>1可得两者一互斥.)18.(本小题满分15分)已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ,左、右顶点分别为A 、C ,上顶点为B .过F 、B 、C 作∠P ,其中圆心P 的坐标为(m ,n ). (Ⅰ)当m +n >0时,求椭圆离心率的范围;(Ⅱ)直线AB 与∠P 能否相切?证明你的结论. 解:(Ⅰ)设F 、B 、C 的坐标分别为(-c ,0),(0,b ),(1,0),则FC 、BC 的中垂线分别为12c x -=,11()22b y x b -=-.………………………………………………………………2分 联立方程组,解出21,2.2cx b c y b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩……………………………………………………………4分 21022c b cm n b--+=+>,即20b bc b c -+->,即(1+b )(b -c )>0, ∴b >c . ……………………………………………………………………………………6分从而22b c >即有222a c >,∴212e <.……………………………………………………7分 又0e >,∴0e <<. …………………………………………………………………8分 (Ⅱ)直线AB 与∠P 不能相切.…………………………………………………………………9分由AB k b=,22102PBb c b b k c --=--=2(1)b cb c +-. ………………………………………………10分如果直线AB 与∠P 相切,则b ·2(1)b c b c +-=-1. ………………………………………12分解出c =0或2,与0<c <1矛盾,………………………………………………………14分所以直线AB 与∠P 不能相切. …………………………………………………………15分评讲建议:此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识,要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点,从而大胆求出交点坐标,构造关于椭圆中a ,b ,c 的齐次等式得离心率的范围.第二小题亦可以用平几的知识:圆的切割线定理,假设直线AB 与∠P 相切,则有AB 2=AF ×AC ,易由椭圆中a ,b ,c 的关系推出矛盾. 19.(本小题满分16分)已知函数21()2,()log 2a f x x x g x x ==-(a >0,且a ≠1),其中为常数.如果()()()h x f x g x =+ 是增函数,且()h x '存在零点(()h x '为()h x 的导函数). (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)(x 1<x 2)是函数y =g (x )的图象上两点,21021()y y g x x x -'=-(()g'x 为()g x 的导函数),证明:102x x x <<. 解:(Ⅰ)因为21()2log 2a h x x x x =-+(0)x >, 所以21ln 2ln 1()2ln ln x a x a h x x x a x a-+'=-+=. …………………………………………3分因为h (x )在区间(0,)+∞上是增函数,所以2ln 2ln 10ln x a x a x a-+≥在区间(0,)+∞上恒成立.若0<a <1,则ln a <0,于是2ln 2ln 10x a x a -+≤恒成立.又()h x '存在正零点,故△=(-2ln a )2-4ln a =0,ln a =0,或ln a =1与ln a <0矛盾.所以a >1.由2ln 2ln 10x a x a -+≥恒成立,又()h x '存在正零点,故△=(-2ln a )2-4ln a=0,所以ln a =1,即a =e . ……………………………………………………………………7分(Ⅱ)由(Ⅰ),001()g x x '=,于是210211y y x x x -=-,21021ln ln x x x x x -=-.…………………………9分以下证明21121ln ln x x x x x -<-. (※)(※)等价于121121ln ln 0x x x x x x --+<. ……………………………………………11分令r (x )=x ln x 2-x ln x -x 2+x ,…………………………………………………………13分r ′(x )=ln x 2-ln x ,在(0,x 2]上,r ′(x )>0,所以r (x )在(0,x 2]上为增函数.当x 1<x 2时,r (x 1)< r (x 2)=0,即121121ln ln 0x x x x x x --+<, 从而01x x >得到证明.……………………………………………………………………15分对于21221ln ln x x x x x ->-同理可证……………………………………………………………16分所以102x x x <<.评讲建议:此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识.评讲时注意着重导数在研究函数中的应用.本题的第一小题是常规题比较容易,第二小题是以数学分析中的中值定理为背景,作辅助函数,利用导数来研究函数的性质,是近几年高考的热点.第二小题还可以这样证明:要证明21121ln ln x x x x x -<-,只要证明21211ln x x x x ->1,令21x t x =,作函数h (x )=t -1-ln t ,下略.20.(本小题满分16分)已知数列{}n a 中,0122,3,6a a a ===,且对3n ≥时,有123(4)4(48)n n n n a n a na n a ---=+-+-.(Ⅰ)设数列{}n b 满足1,n n n b a na n *-=-∈N ,证明数列1{2}n n b b +-为等比数列,并求数列{}n b 的通项公式;(Ⅱ)记(1)21!n n n ⨯-⨯⨯⨯=,求数列{}n na 的前n 项和S n .(Ⅰ) 证明:由条件,得112234[(1)]4[(2)]n n n n n n a na a n a a n a ------=-----,则1112(1)4[]4[(1)]n n n n n n a n a a na a n a +----+=----.……………………………………2分即111244.1,0n n n b b b b b +-=-==又,所以1122(2)n n n n b b b b +--=-,21220b b -=-≠. 所以1{2}n n b b +-是首项为-2,公比为2的等比数列. …………………………………4分2122b b -=-,所以112122(2)2n n n n b b b b -+-=-=-.两边同除以12n +,可得111222n n n n b b ++-=-.…………………………………………………6分 于是2n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以12首项,-12为公差的等差数列. 所以11(1),2(1)2222n n n nb b n n b =--=-得.………………………………………………8分 (Ⅱ)111122(2)n n n n n n a na n n a -----=-=-,令2n n nc a =-,则1n n c nc -=.而111 (1)21(1)21n c c n n c n n =∴=-⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅,.∴(1)212n n a n n =-⋅⋅⋅+. ……………………………………………………………12分(1)212(1)!!2n n n na n n n n n n n =⋅⋅-⋅⋅⋅+=+-+⋅,∴2(2!1!)(3!2!)(1)!!(12222)n n S n n n =-+-+++-+⨯+⨯++⨯.………………14分 令T n =212222n n ⨯+⨯++⨯,① 则2T n =2311222(1)22n n n n +⨯+⨯++-⨯+⨯.②①-②,得-T n =212222n n n ++++-⨯,T n =1(1)22n n +-+.∴1(1)!(1)21n n S n n +=++-+.……………………………………………………………16分评讲建议:此题主要考查数列的概念、等差数列、等比数列、数列的递推公式、数列的通项求法、数列前n 项和的求法,作新数列法,错项相消法,裂项法等知识与方法,同时考查学生A EBCD O·A EBCDO·yA B的分析问题与解决问题的能力,逻辑推理能力及运算能力.讲评时着重在正确审题,怎样将复杂的问题化成简单的问题,本题主要将一个综合的问题分解成几个常见的简单问题.事实上本题包含了好几个常见的数列题.本题还有一些另外的解法,如第一问的证明还可以直接代.B.附加题部分一、选做题:本大题共4小题,请从这4题中选做2小题,如果多做,则按所做的前两题记分.每小题10分,共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.选修4-1:几何证明选讲如图,四边形ABCD内接于O,AB AD=,过A点的切线交CB的延长线于E点.求证:2AB BE CD=⋅.证明:连结AC.…………………………………………………1分因为EA切O于A,所以∠EAB=∠ACB.…………3分因为AB AD=,所以∠ACD=∠ACB,AB=AD.于是∠EAB=∠ACD.…………………………………5分又四边形ABCD内接于O,所以∠ABE=∠D.所以ABE∆∠CDA∆.于是AB BECD DA=,即AB DA BE CD⋅=⋅.………………9分所以2AB BE CD=⋅.…………………………………10分2.选修4-2:矩阵与变换如图所示,四边形ABCD和四边形AB C D''分别是矩形和平行四边形,其中点的坐标分别为A (-1,2),B (3,2),C (3,-2), D (-1,-2),B '(3,7),C '(3,3).求将四边形ABCD 变成 四边形AB C D ''的变换矩阵M .解:该变换为切变变换,设矩阵M 为1 0 1k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,…………………3分 则1 033 123k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦.………………………………………………6分 ∴323k -=,解得53k =.…………………………………………………………………9分所以,M为1 05 13⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.………………………………………………………………………10分 说明:掌握几种常见的平面变换.3. 选修4-4:坐标系与参数方程过点P (-3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A 、B 两点.求线段AB 的长.解:直线的参数方程为3,()12x s y s ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数,………………………………………………3分 曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数可以化为224x y -=.……………………………………………5分将直线的参数方程代入上式,得2100s -+=.设A 、B 对应的参数分别为12s s ,,∴121210s s s s +==.…………………………8分AB12s s =-==.…………………………………………………10分说明:掌握直线,圆,圆锥曲线的参数方程及简单的应用.4. 选修4-5:不等式选讲已知x ,y ,z 均为正数.求证:111.x y z yz zx xy x y z ++++≥证明:因为x ,y ,z 无为正数.所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥,………………………………4分同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥,≥,………………………………………………………7分 当且仅当x =y =z 时,以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得111x y z yz zx xy x y z++++≥.…………10分二、必做题:本大题共2小题,每小题10分,共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.5.已知(nx 的展开式中前三项的系数成等差数列.(∠)求n 的值;(∠)求展开式中系数最大的项.解:(Ⅰ)由题设,得 02111C C 2C 42n n n+⨯=⨯⨯, ………………………………………………3分即2980n n -+=,解得n =8,n =1(舍去).……………………………………………4分(Ⅱ)设第r +1的系数最大,则1881188111C C 2211C C .22r r r r r r r r ++--⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥,≥……………………………………………6分 即1182(1)11.291r r r ⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪-⎩≥,≥ 解得r =2或r =3. ………………………………………………8分所以系数最大的项为537T x =,9247T x =.………………………………………………10分说明:掌握二项式定理,展开式的通项及其常见的应用.6. 动点P 在x 轴与直线l :y =3之间的区域(含边界)上运动,且点P 到点F (0,1)和直线l 的距离之和为4.(∠)求点P 的轨迹C 的方程; (∠)过点Q (0,-1)作曲线C 的切线,求所作的切线与曲线C 所围成的区域的面积.解:(Ⅰ)设P (x ,y ),根据题意,34y -=.……………………………3分化简,得21(3)4y x y =≤.…………………………………………………………………4分 (Ⅱ)设过Q 的直线方程为1y kx =-,代入抛物线方程,整理,得2440x kx -+=. ∴△=216160k -=.解得1k =±.………………………………………………………6分所求切线方程为1y x =±-(也可以用导数求得切线方程), 此时切点的坐标为(2,1),(-2,1),且切点在曲线C 上. (8)分由对称性知所求的区域的面积为2223021142(1)()041223x S x x dx x x =-+=-+=⎰.…………………………………………10分说明:抛物线在附加题中的要求提高了,定积分要求不高.附加题部分说明:本次附加题考查内容尽量回避一模所考内容,没有考查概率分布和空间向量解立体几何问题.这两部分内容很重要,希望在后期的复习中不可忽视.。