绝密★启用前2020届河南省非凡联盟高三调研考试数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合121x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}23B x x =-<≤，则A B =I （ ）A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(]1,3- C ．(][]2,11,3--U D ．()12,1,33⎡⎤---⎢⎥⎣⎦U 答案：D解分式不等式求得集合A ，由此求得A B I . 解：由121xx -≤+得()()()12111301132011110x x x x x x x x x x --+⎧+--≤----==≤⇔⎨++++≠⎩， 解得1x <-或13x ≥-.∵{1A x x =<-或13x ⎫≥-⎬⎭，{}23B x x =-<≤，∴()12,1,33A B ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦I U . 故选：D 点评：本小题主要考查分式不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，且21z i =+，则2151z z =+（ ） A ．1i + B ．52i -C ．2i -D ．13i +答案：D根据两个复数对应点的对称关系，求得1z ，由此利用复数除法运算，化简求得正确结果. 解：由于复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，且21z i =+，所以11z i =-，故()()()()215525555151312225i i z i ii z i i i ++++====++--+.故选：D 点评：本小题主要考查复数对应点、实轴等概念，考查复数除法运算，属于基础题.3．为了庆祝第一个农民丰收节，西部山区某村统计了自2011年以来每年的年总收入，其中2018年统计的是1月到8月的总收入，统计结果如图所示.根据图形，下列四个判断中，错误的是（ ）A ．从2012年起，年总收入逐年增加B ．2017年的年总收入在2016年的基础上翻了番C ．年份数与年总收入成正相关D ．由图可预测从2014年起年总收入增长加快 答案：B根据条形图，对选项逐一分析，由此确定判断错误的选项. 解：从图形可以看出，从2012年起，年总收入逐年增加，A 是正确的；年份数与年总收入成正相关，C 是正确的；从2014年起总收入增长加快，D 是正确的；2017年的年总收入比2016年增加了400万元，并没有翻一番，所以选项B 是错误的. 故选：B 点评：本小题主要考查条形图的分析，属于基础题.4．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，3728a a +=，11187S =，则20a =（ ） A ．53 B ．56C ．59D ．62答案：C将已知条件转化为1,a d 的形式列方程组，解方程组求得1,a d 的值，进而求得20a . 解：由题知，37111128281111101872a a a d dS a +=+=⎧⎪⎨=+⨯⨯=⎪⎩，解得123a d =⎧⎨=⎩，所以()202201359a =+-⨯=. 故选：C 点评：本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，属于基础题.5．已知双曲线22122:13y x C m m -=+与222:132x y C -=的渐近线相同，则曲线1C 的方程为（ ）A ．22169y x -=B ．22196y x -=C ．22136y x -=D ．22147y x -=答案：A先求得2C 的渐近线，然后根据12,C C 的渐近线相同列方程，解方程求得m 的值. 解：2C的渐近线方程为y x =，1C的渐近线方程为y x =，所以=22233m m =+，∴26m =. 故选：A 点评：本小题主要考查同双曲线渐近线有关计算，属于基础题.6．甲、乙、丙、丁、戊、己6人参加A 、B 、C 社团的纳新，其中甲、乙、丙均只报名了A 社团，丁、戊、己均报名了A 、B 、C 三个社团，若这三个社团都只纳入一名新成员，则所有的方案的种数是（ ） A ．18 B ．20 C ．24 D ．36答案：C根据甲社团在“甲、乙、丙三人中选一人”和“不在甲、乙、丙三人中选，在丁、戊、己中选一人”分成两者情况进行分类讨论，由此求得所有方案的种数. 解：若A 社团在甲、乙、丙三人中选一人，则所有的情况为123318C A =种；若A 社团不在甲、乙、丙三人中选，在丁、戊、己中选一人，则所有的情况为336A =种，故所有的方案有18624+=种. 故选：C 点评：本小题主要考查分类加法计数原理，考查实际生活中的计数问题，属于基础题.7．如图，在AOB ∆中，2AOB π∠=，2OB =，点C 为AB 的中点，13OP OC =u u u r u u u r，则OP OB ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A ．23B ．23-C ．1-D ．1答案：A利用向量的线性运算化简OP OB ⋅u u u r u u u r ，结合数量积的运算，求得OP OB ⋅u u u r u u u r的值.解：()()2211112236663OP OB OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=⋅=+⋅=⋅+=⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：A 点评：本小题主要考查平面向量线性运算和数量积运算，属于基础题.8．函数()2ln f x x a x =+的图象在1x =处的切线过点()0,2，则a =（ ）A ．2B ．2-C ．3D ．3-答案：D先求得切点坐标，然后求得切线的斜率，写出切线方程，并将点()0,2代入，由此求得a 的值.解：当1x =时，()11f =，故切点为()1,1.()2af x x x'=+，斜率()12k f a '==+，所以切线方程为()()121y a x -=+-，因为切线过点()0,2，所以()()21201a -=+-，解得3a =-. 故选：D 点评：本小题主要考查利用导数求切线方程，考查根据切线经过点的坐标求参数值，属于基础题.9．十五巧板，又称益智图，为清朝浙江省德清知县童叶庚在同治年间所发明，它能拼出草木、花果、鸟兽、鱼虫、文字等图案.十五巧板由十五块板组成一个大正方形（如图1），其中标号为2,3,4,5的小板为等腰直角三角形，图2是用十五巧板拼出的2019年生肖猪的图案，则从生肖猪图案中任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．59B ．23C ．49D ．12答案：C求得大正方形的面积以及阴影部分的面积，然后利用几何概型概率计算公式，计算出所求概率. 解：设图1中大正方形的边长为6，则大正方形的面积为36S =，由图2可知，阴影部分中的图案是由图1中的标号为4,5,15,3,13组成的，其中标号为4与5的图案组成一个边长为2的正方形，其面积为4；标号为15的图案可视为长为4、宽为2的长方形面积一半，即面积为4；标号为3的三角形面积为14242⨯⨯=；标号为13的图案可视为长为4，宽为2的长方形面积一半，即面积为4，所以阴影部分面积为4416S =⨯=阴影.由几何概型的概率公式得所求概率为164369S P S ===阴影. 故选：C 点评：本小题主要考查面积型几何概型概率的计算，考查中国古代数学文化，属于中档题. 10．如图是某圆锥的三视图，A ，B 为圆锥表面上两点在正视图中的位置，其中B 为所在边中点，则在该圆锥侧面上A ，B 两点最短的路径长度为（ ）A．5 B ．6 C ．3D ．3答案：A根据三视图求出圆锥母线长，并将圆锥侧面展开，在展开图中,A B 两点距离，即为所求. 解：设圆锥的顶点为S ，由三视图可得母线21(3)2+=， 将圆锥沿SA 展开如下图所示扇形， 扇形圆心角为22ππ=，所以圆锥的侧面展开图为半圆， 连AB ，AB 长为圆锥侧面上A ，B 两点最短的路径，,2ASB B π∠=为母线中点，1SB =，225AB SA SB ∴=+=.故选:A.点评：本题考查圆锥表面上两点距离的最小值，应用侧面展开图是解题的关键，属于中档题.11．已知数列{}n a 满足113a =，141nn na a a +=+，则数列{}1n n a a +的前10项和10S =（ ） A ．8105B ．113C ．10129D ．11141答案：C先对已知条件变形可得1114n n a a +-=，进而可得141n a n =-，利用裂项相消法可求10S . 解： 因为141n n n a a a +=+，所以1114n n a a +-=， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3、公差为4的等差数列，所以141n n a =-，所以141n a n =-， 所以()()11111414344143n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以1011111111110437471143943129S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， 故选：C. 点评：本题主要考查裂项相消法求和，根据条件求解出数列的通项公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 12．已知函数2()sin()13xf x x πϕ=+-（其中0ϕπ<<）的图像经过点(3,2)P ，令()n a f n =，则1232019a a a a ++++=LA ．2019B ．20192-C ．6057D ．60572-答案：B由题意易得ϕ，进而得2πcos 13n n a n =-，分别计算32313,,k k k a a a --，观察规律即可得解. 解：由()2πsin 13x f x x ϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭()0πϕ<<的图象经过点()3,2P ， 则()()33sin 2π+φ13sin 12f ϕ=-=-=，所以sin 1ϕ=，结合0πϕ<<可得π2ϕ=， 2πcos13n n a n =-， 所以()321332122k a k k -⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭，()31131311222k a k k -⎛⎫=---=-- ⎪⎝⎭，331k a k =-，所以3231332k k ka a a --++=-，所以12320193201967322a a a a ⎛⎫++++=⨯-=- ⎪⎝⎭L ， 故选B. 点评：本题主要考查了数列的周期性，属于中档题.二、填空题13．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()262,1,7,10,x x f x x x -≤-⎧=⎨+-<≤⎩则()122f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______. 答案：694结合函数的奇偶性，利用分段函数解析式，求得所求表达式的值. 解：()()()2111692276222224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-++-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：694点评：本小题主要考查分段函数求函数值，考查函数的奇偶性，属于基础题.14．已知变量,x y 满足3403400x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则1yx +的最小值为_______．答案：12作出不等式组表示的平面区域，由1yx +表示点(),x y 与定点()1,0D -连线的斜率，结合图象可得最优解,利用斜率公式,即可求解. 解：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中()()40,,1,1,0,43A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，又由1yx +表示点(),x y 与定点()1,0D -连线的斜率，当过点B 时,此时直线斜率最小为()101112-=--．点评：本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义,其中求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二找、三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键． 15．已知抛物线28y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为,M N 为抛物线上的一点，且满足2NF MN =，则点F 到直线MN 的距离为______. 答案：23利用抛物线的定义，求得cos NMF ∠，由此求得sin NMF ∠，进而求得F 到直线MN 的距离. 解：由抛物线28y x =，可得4MF =，设点N 到准线的距离为d .由抛物线定义可得d NF =.因为2NF MN =，由题意得1cos 2NF d NMF MN MN ∠===， 所以213sin 122NMF ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭.所以点F 到MN 的距离为3sin 432MF NMF ⋅∠=⨯=故答案为：23点评：本小题主要考查抛物线的定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.16．已知正方体1111ABCD A B C D-中，5AB=，点P在线段11A C上，若直线1BB与直线CP所成角的正切值为225，则平面PBD截正方体1111ABCD A B C D-所得的截面面积为______.答案：512作出截面PBD MNDB⇒，根据直线1BB与直线CP所成的角的正切值求得MN的长，求得截面等腰梯形MNDB的高，由此求得截面面积.解：如图，过P作MN BD∥，则11MN AC⊥.直线1BB与直线CP所成的角为1PCC∠，111122tan55PC PCPCCCC∠===，122PC=42MN=MNDB是等腰梯形，52BD=26BM=MNDB的高为25242102262⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭，所以截面面积为4252102951222+⨯=.951点评：本小题主要考查正方体截面面积的计算，考查根据线线角求边长，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且3sin cos c a B b A =. （1）求角B ；（2）若14b =，ABC ∆的面积为153，求ABC ∆的周长. 答案：（1）2π3B =；（2）30. （1）利用正弦定理将边化为角，结合()sin ?sin C A B =+展开化简可得tan B ，从而得解；（2）由面积公式1S sinB 2ac =可得ac ，结合余弦定理可得a c +，从而得解. 解： (1)由3sin cos c B b A +=及正弦定理可得3sin sin sin cos C A B B A =， 即()3sin sin sin cos A B A B B A ++=, 整理得3sin cos 03A B B ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭， 因为0πA <<,sin 0A ≠, 所以3cos 03B B +=,tan 3,B =- 2π0π3B B <<=，. （2）由2π3B =及△ABC 的面积为153 ，得12πsin15323ac =，所以60ac =. 由2π,143B b ==， 由余弦定理可得：222222π142cos3a c ac a c ac =+-=++=()()2260a c ac a c +-=+-， 所以16a c +=，所以△ABC 的周长为30. 点评：本题主要考查了三角形的正余弦定理及面积公式的应用，属于基础题.18．已知平行四边形ABCD 中，135BAD ∠=o ，4DA =，22DC =，E 是线段AD 的中点，现沿EC 进行翻折，使得D 与E '重合，得到如图所示的四棱锥E ABCE '-.（1）证明：CE ⊥平面AEE '；（2）若AEE '∆是等边三角形，求平面AEE '和平面E BC '所成的锐二面角的余弦值. 答案：（1）见解析（2）217（1）利用余弦定理求得CE 的长，由此利用勾股定理证得CE DE ⊥，从而得到CE EA ⊥、'CE E E ⊥，由此证得CE ⊥平面AEE '.（2）建立空间直角坐标系，利用平面AE E '和平面E BC '的法向量，求得二面角的余弦值. 解：（1）证明：∵E 是线段AD 的中点，∴2DE EA ==， 在EDC ∆中，由余弦定理得，22222cos 4584222242CE DC ED DC ED =+-⋅⋅=+-⨯⨯=o ， ∴2CE DE ==，∵2228CE DE DC +==，∴CE DE ⊥，∴CE EA ⊥，CE E E '⊥，AE E E E '=I ， ∵AE ⊂平面AEE '，E E '⊂平面AEE '，∴CE⊥平面AEE'.（2）取AE的中点O，以O为坐标原点，过点O与CE平行的直线为x轴，EA所在直线为y轴，OE'所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系.设x轴与BC交于点M，∵2EA EE E A''===，∴3OE'=，易知1OE OA CM===，∴3BM=，则()0,0,0O，(3E'，()0,1,0E-，()2,1,0C-，()2,0,0M，()2,3,0B，()0,4,0BC=-u u u r，(2,1,3E C'=--u u u u r，∵CE⊥平面AE E'，∴可取平面AE E'的法向量()11,0,0n=u r，设平面E BC'的法向量()2,,n x y z=u u r，平面AE E'和平面E BC'所成的锐二面角为θ，则22n BCn E C⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪'⎩u u v u u u vu u v u u u u v，∴40230yx y z=⎧⎪⎨--=⎪⎩，得3yx z=⎧⎪⎨=⎪⎩，令1z=，则23,0,12n⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u r，从而12123212cos771n nn nθ⋅===⋅⨯u r u u ru r u u r，故平面AEE'和平面E BC'21.点评：本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．淘汰落后产能，对生产设备进行升级改造是企业生存发展的重要前提.某企业今年对旧生产设备的一半进行了升级，剩下的一半在今后的两年内完成升级.为了分析新旧设备的生产质量，从新旧设备生产的产品中各抽取了100件作为样本，对最重要的一项质量指标进行检测，该项质量指标值落在[)25,45内的产品为合格品，否则为不合格品.检测数据如下：表1：日设备生产的产品样本频数分布表表2：新设备生产的产品样本频数分布表（1）根据表1和表2提供的数据，试从产品合格率的角度对新旧设备的优劣进行比较； （2）面向市场销售时，只有合格品才能销售，这时需要对合格品的品质进行等级细分，质量指标落在[)30,35内的定为优质品，质量指标落在[)25,30或[)35,40内的定为一等品，其它的合格品定为二等品.完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与新旧设备有关；（3）优质品每件售价200元，一等品每件售价160元，二等品每件售价120元根据表1和表2中的数据，用该组样本中优质品、一等品、二等品各自在合格品中的频率代替从合格产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为ξ（单位：元），求ξ的分布列和数学期望（结果保留整数）. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++. 答案：（1）新设备的性能更高.（2）见解析，有（3）见解析，347（1）分别计算出新、旧设备生产的产品的合格率，由此确定新设备的性能更高. （2）填写22⨯列联表，计算2K 的值，由此判断有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.（3）利用相互独立事件概率计算公式，计算出ξ的分布列，并由此求得数学期望. 解：（1）由表1可知，旧设备生产的产品合格率约为944710050=， 由表2可知，新设备生产的合格率约为984910050=. 新设备生产的产品合格率更高，所以新设备的性能更高. （2）由表1和表2，得22⨯列联表将22⨯列联表中的数据代入公式计算得：()2220072128828810010016040K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯， 因为8 6.635>，所以有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. （3）将表1和表2合并，得由表可知，从合格品中随机抽取一件产品，是优等品的频率（即概率）是12， 从合格品中随机抽取一件产品，是一等品的频率（即概率）是13， 从合格品中随机抽取一件产品，是二等品的频率（即概率）是16.由已知得随机变量ξ的可能取值为240,280,320,360,400.()1112406636P ξ==⨯=，()12111280369P C ξ==⨯⨯=，()1211115320263318P C ξ==⨯⨯+⨯=，()12111360233P C ξ==⨯⨯=，()111400224P ξ==⨯=.所以随机变量ξ的分布列为：所以()115112402803203604003473691834E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈. 点评：本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的计算，考查数据分析与处理的能力，属于中档题.20．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，以原点O 为圆心，短半轴长为半径的圆恰好经过椭圆C 的两焦点，且该圆截直线10x y +-=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过定点()2,0P 的直线交椭圆C 于两点A 、B ，椭圆上的点M 满足OA OB OM +=uu r uu u r uuu r，试求OAB ∆的面积.答案：（1）2212x y +=（2）4（1）根据圆和椭圆的位置关系得到b c =，根据圆截直线10x y +-=所得的弦长求得b ，由此求得a ，进而求得椭圆C 的标准方程.（2）设过点P 的直线方程为2x my =+，联立直线的方程和椭圆C 的方程，消去x 并写出判别式和根与系数关系，由OA OB OM +=uu r uu u r uuu r求得M 点坐标，将M 点坐标代入椭圆方程，结合根与系数关系进行化简，由此求得2m 的值，从而求得12y y -的值，进而求得三角形OAB 的面积. 解：（1）以原点为圆心，短半轴长为半径的圆的方程为222x y b +=. ∵圆222x y b +=过椭圆C 的两焦点，∴b c =. ∵圆222x y b +=截直线10x y +-=.∴=，解得1b =.∴222222a b c b =+==.∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）设过点P 的直线方程为2x my =+.,A B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程22122x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222420m y my +++=，2281602m m ∆=->⇒>，∴12242m y y m +=-+，12222y y m =+， ∵OA OB OM +=uu r uu u r uuu r，∴点()1212,M x x y y ++，∵点M 在椭圆C 上，∴有()()22121222x x y y +++=， 即()()221212422m y y y y ++++=⎡⎤⎣⎦， ∴()()()22121228140m y y m y y +++++=，即()2222442814022m m m m m m ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得214m =， ∴12y y -==，∴121224OAB S y y ∆=⋅⋅-=. 点评：本小题主要考查根据直线和圆相交所得弦长求参数，考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积问题，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()()21xf x x ax e =-+，()()11xg x x e-=+-.（1）若函数()f x 有一正一负两个极值点，求实数a 的范围； （2）当02a ≤≤时，证明：对12,x x R ∀∈，()()12f x g x ≥. 答案：（1）0a >.（2）见解析（1）求得函数的导函数()()221xf x x a x a e '⎡⎤=+-+-⎣⎦，构造函数()()221h x x a x a =+-+-，结合()f x 有一正一负两个极值点则()h x 有一正一负两个零点列不等式，解不等式求得a 的取值范围.（2）利用导数求得()g x 的最大值为0；通过结合导数，对a 进行分类讨论，求得()f x 的最小值大于零，由此证得对12,x x R ∀∈，()()12f x g x ≥. 解：（1）对()()21xf x x ax e =-+求导，得()()221xf x x a x a e '⎡⎤=+-+-⎣⎦，令()()221h x x a x a =+-+-，因为函数()f x 有一正一负两个极值点， 所以函数()h x 有一正一负两个零点， 则()010h a =-<，解得0a >. （2）对于()()11xg x x e-=+-，求导得()xxg x e -'=， 当0x <时，()0g x '>；0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递减， 所以0x =时，()g x 取得最大值，()()max 00g x g ==. 由（1）知()()221xf x x a x a e '⎡⎤=+-+-⎣⎦，令()()2210h x x a x a =+-+-=，解得1x =-或1x a =-. ①当02a <≤时，11a -<-，则(),1x ∈-∞-时，()0h x >，()f x 单调递增；()1,a 1x ∈--时，()0h x <，()f x 单调递减； ()1,x a ∈-+∞时，()0h x >，()f x 单调递增.所以1x =-时，()f x 取得极大值，()()112f a e --=+，因为0a >，所以()()1120f a e--=+>.1x a =-时，()f x 取得极小值，()()112a f a a e --=-，因为2a ≤，所以()()1120a f a a e--=-≥.又当x →-∞时，210x ax -+>，0x e >，所以()0f x >， 当x →+∞时，210x ax -+>，0x e >，所以()0f x > 因为()max 0g x =，所以()()max f x g x ≥. ②当0a =时，()()210xf x x e =+>恒成立，综上知，当02a ≤≤时，对12,x x R ∀∈，()()12f x g x ≥. 点评：本小题主要考查根据极值点求参数，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 22．在平面直角坐标系中，已知直线l 过()1,0M 且倾斜角为56π，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos sin22θθρ=.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于,P Q ，求11MP MQ+.答案：（1）222x y y +=（21（1）结合二倍角公式以及极坐标和直角坐标转化公式，求得曲线C 的直角坐标方程. （2）求得直线l 的参数方程，代入曲线C 的直角坐标方程，写出根与系数关系，根据直线参数的几何意义，求得11MP MQ+. 解：（1）∵4cossin22θθρ=，∴2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，将222x y ρ=+，sin y ρθ=代入上式得，222x y y +=，∴曲线C 的直角坐标方程为222x y y +=.（2）由题知直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入222x y y +=整理得)2110t t -+=，设点,P Q 对应的参数分别为12,t t ，∴1210t t +=>，1210t t =>，∴10t >，20t >，∴121212121MP MQ t t t t MP MQ t t t t +++===. 点评：本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标系，考查利用直线参数方程中参数的几何意义求值，属于中档题. 23．已知函数()21f x x =+.（1）求不等式()()13f x f x +->的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()()235f x f x a a ++>+恒成立，求实数a 的取值范围.答案：（1）33|44x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或（2）()6,1- （1）对不等式()()13f x f x +->利用零点分段法去绝对值，由此求得不等式的解集. （2）先利用绝对值三角不等式，求得()()3f x f x ++的最小值为6，由此通过解不等式256a a +<求出a 的取值范围.解：（1）不等式()()13f x f x +->即为21213x x ++->， 等价于1221213x x x ⎧<-⎪⎨⎪---+>⎩或112221213x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+-+>⎩或1221213x x x ⎧>⎪⎨⎪++->⎩， 解得34x <-或34x >， ∴原不等式的解集为33|44x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或. （2）∵()()()3212721276f x f x x x x x ++=+++≥+-+=，当且仅当()()21270x x ++≤，即7122x -≤≤-时，()()3f x f x ++取最小值6， ∴256a a +<，解得61a -<<， ∴实数a 的取值范围为()6,1-.点评：本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式求参数的取值范围，属于中档题.。