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2020届高三调研考试卷理科数学(一)(解析附后)

2020届高三调研考试卷理科数学(一)(解析附后)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}M x x x =+-≤,{1,0,1,2}N =-,则M N 的子集个数为( )A .2B .4C .8D .16 2.已知复数2z i =+,则1zi+在复平面上对应的点所在象限是( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.在等差数列{}n a 中,若35a =,424S =,则9a =( ) A .5- B .7- C .9- D .11-4.下列函数中,既是奇函数又在定义域内递增的是( ) A .3()f x x x =+ B .()31x f x =-C .1()f x x=-D .3()log f x x = 5.中国古代“五行”学说认为:物质分“金、木、水、火、土”五种属性,并认为:“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种,则抽到的两种物质不相生的概率为( )A .15B .14C .13D .126.设,αβ是两平面,,a b 是两直线.下列说法正确的是( ) ①若//,//a b a c ,则b c ∥ ②若,a b αα⊥⊥,则a b ∥ ③若,a a αβ⊥⊥,则αβ∥④若αβ⊥,b αβ=,a α⊂,a b ⊥,则a β⊥A .①③B .②③④C .①②④D .①②③④7.下图是一程序框图,若输入的12A =,则输出的值为( )A .25 B .512 C .1229 D .29608.函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,0ω>>A ,||2πϕ<)的图象如图所示,为了得到()y f x =的图象,只需把1()sin 2ωω=g x x x 的图象上所有点( )A .向左平移6π个单位长度 B .向左平移3π个单位长度 C .向右平移6π个单位长度 D .向右平移3π个单位长度 9.8(12)2y x +-的展开式中22x y 项的系数是( )A .420B .420-C .1680D .1680-10.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱,到楼观台、三茅宫标记物;从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……,太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分可表示为2222224(,)|(1)1(1)10x y A x y x y x y x ⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪=++≥+-≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎩⎩⎭或,设点(,)x y A ∈,则2z x y =+的取值范围是( )A.[2- B.[- C.[2- D.[4,2-+11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,,A B 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点,0AF BF ⋅=且线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上,则双曲线C 的离心率为( ) A.2 D12.已知函数()()=--+x f x e a e ma x ,(,m a 为实数),若存在实数a ,使得()0≤f x 对任意x R ∈恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .[)1,e -+∞ B .[,)-+∞e C .[1,]e e D .[1,]--e e二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.平面内不共线的三点O ,A ,B ,满足||1OA =,||2OB =,点C 为线段AB 的中点,若3||2OC =∠=AOB . 14.已知数列{}n a 中,11a =,且1230n n a a +++=,n ∈*N ,数列{}n a 的前n 项和为n S ,则6S = .15.已知直线l 经过抛物线2:4=x C y 的焦点F ,与抛物线交于,A B ,且8+=AB x x ,点D 是弧AOB(O 为原点)上一动点,以D 为圆心的圆与直线l 相切,当圆D 的面积最大时,圆D 的标准方程为 .16.已知正三棱柱111-ABC A B C 的侧面积为12,当其外接球的表面积取最小值时,异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值等于 .三、解答题:本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若1tan 2=B ,tan()2-=C A .(1)求A ;(2)当=a ABC △的面积.18.(12分)如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2,,D E 分别是1,AC CC 的中点. (1)求证:平面AEB ⊥平面1A BD ; (2)求二面角1D BE A --的余弦值.19.(12分)已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点,圆222:O x y c +=(122F F c =)与椭圆有且仅有两个交点,点33在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程;(2)过y 正半轴上一点P 的直线l 与圆O 相切,与椭圆C 交于点A ,B , 若PA AB =,求直线l 的方程.20.(12分)随着经济的发展,个人收入的提高,自2019年1月1日起,个人所得税起征点和税率的调整,调整如下:纳税人的工资、薪金所得,以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额,依照个人所得税税率表,调整前后的计算方法如下表:某税务部门在某公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入,并制成下面的频数分布表:(1)若某员工2月的工资、薪金等税前收入为7500元时,请计算一下调整后该员工的实际收入比调整前增加了多少?(2)现从收入在[3000,5000)及[5000,7000)的人群中按分层抽样抽取7人,再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员,用x表示抽到作为宣讲员的收入在[3000,5000)元的人数,y表示抽到作为宣讲员的收入在[5000,7000)元的人数,设随机变量X x y=-,求X的分布列与数学期望.21.(12分)已知函数2()ln 1f x x a x =--,()a ∈R . (1)若函数()f x 有且只有一个零点,求实数a 的取值范围;(2)若函数2()()10x g x e x ex f x =+---≥对[1,)x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围.(e 是自然对数的底数, 2.71828e =)请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程是222813(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩(k 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=.(1)曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程; (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围.23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】 设函数()212f x x x a =-+-,x ∈R . (1)当4a =时,求不等式()9f x >的解集;(2)对任意x ∈R ,恒有()5f x a ≥-,求实数a 的取值范围.2020届高三调研考试卷理科数学(一)解析版一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}M x x x =+-≤,{1,0,1,2}N =-,则M N 的子集个数为( )A .2B .4C .8D .16 【答案】C【解析】∵集合{}2{|20}=|21M x x x x x =+-≤-≤≤,{1,0,1,2}N =-, ∴{1,0,1}MN =-,则其子集的个数为328=个.2.已知复数2z i =+,则1zi+在复平面上对应的点所在象限是( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 【答案】D【解析】∵2z i =+,∴2131122z i i i i -==-++,在复平面对应的点的坐标为13(,)22-,所在象限是第四象限.3.在等差数列{}n a 中,若35a =,424S =,则9a =( ) A .5- B .7- C .9- D .11- 【答案】B【解析】{}n a 为等差数列,设首项为1a ,公差为d ,由414624S a d =+=,3125a a d =+=,解得19,2a d ==-, 所以9112,7n a n a =-=-.4.下列函数中,既是奇函数又在定义域内递增的是( ) A .3()f x x x =+ B .()31x f x =-C .1()f x x=-D .3()log f x x = 【答案】A【解析】B 中函数非奇非偶,D 中函数是偶函数,C 中函数是奇函数,但不在定义域内递增,只有A 中函数符合题意.5.中国古代“五行”学说认为:物质分“金、木、水、火、土”五种属性,并认为:“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种,则抽到的两种物质不相生的概率为( )A .15B .14 C .13 D .12【答案】D【解析】从五种不同属性的物质中随机抽取2种,共2510C =种,而相生的有5种,则抽到的两种物质不相生的概率511102P =-=. 6.设,αβ是两平面,,a b 是两直线.下列说法正确的是( ) ①若//,//a b a c ,则b c ∥ ②若,a b αα⊥⊥,则a b ∥ ③若,a a αβ⊥⊥,则αβ∥ ④若αβ⊥,b αβ=,a α⊂,a b ⊥,则a β⊥A .①③B .②③④C .①②④D .①②③④ 【答案】D【解析】由平行公理知①对, 由线面垂直的性质定理知②对, 由线面垂直及面面平行定理知③对,由面面垂直性质定理知④对.7.下图是一程序框图,若输入的12A =,则输出的值为( )A .25 B .512 C .1229 D .2960【答案】C【解析】运行程序框图,2,25A k ==;5,312A k ==;12,4329A k ==>, 输出1229A =. 8.函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,0ω>>A ,||2πϕ<)的图象如图所示,为了得到()y f x =的图象,只需把1()sin 2ωω=g x x x 的图象上所有点( )A .向左平移6π个单位长度 B .向左平移3π个单位长度C .向右平移6π个单位长度 D .向右平移3π个单位长度 【答案】B【解析】由题意知1=A ,由于741234T πππ=-=,故2T ππω==, 所以2ω=,()sin(2)f x x ϕ=+, 由()(2sin 0)33f ππϕ=+=,求得3πϕ=, 故()[()]()sin 2sin 236f x x x ππ=+=+,1()sin sin[2()]26πωω==-g x x x x ,故需将()g x 图像上所有点向左平移3π个单位长度得到()f x . 9.8(12)2y x +-的展开式中22x y 项的系数是( )A .420B .420-C .1680D .1680- 【答案】A【解析】展开式中22x y 项的系数是22228612()4202C C -=.10.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱,到楼观台、三茅宫标记物;从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……,太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分可表示为2222224(,)|(1)1(1)10x y A x y x y x y x ⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪=++≥+-≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎩⎩⎭或,设点(,)x y A ∈,则2z x y =+的取值范围是( )A .[2-B .[-C .[2-+D .[4,2-+ 【答案】C【解析】如图,作直线20x y +=,当直线上移与圆22(1)1x y +-=相切时,2z x y =+取最大值,此时,圆心(0,1)到直线2z x y =+的距离等于11=,解得max 2z =当下移与圆224x y +=相切时,2x y +取最小值,2=,即min z =-所以[2z ∈-+.11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ,,A B 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点,0AF BF ⋅=且线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上,则双曲线C 的离心率为( )A .2 D 【答案】C【解析】如图,由题知AF BF ⊥,则OA OB OF ==,点M 是线段AF 的中点,则OM AF ⊥,故60AOM MOF ∠=∠=︒,则tan 60ba=︒=,所以2e ==.12.已知函数()()=--+x f x e a e ma x ,(,m a 为实数),若存在实数a ,使得()0≤f x 对任意x R ∈恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .[)1,e -+∞ B .[,)-+∞e C .[1,]e e D .[1,]--e e【答案】A【解析】()()=--+x f x e a e ma x ,则()()1'=-+x f x e a e ,若0e a -≥,可得()0'>f x ,函数()f x 为增函数,当x →+∞时,()→+∞f x , 不满足()0≤f x 对任意x R ∈恒成立;若0e a -<,由()0'=f x ,得1xe a e =-,则1ln x a e=-, ∴当1,ln()x a e ∈-∞-时,()0'>f x ,当,()1ln x a e∈+∞-时,()0'<f x , ∴1ln max111()ln ()ln 1ln()-==--+=--+---a e f x f e a e ma ma a e a e a e, 若()0≤f x 对任意x R ∈恒成立,则11ln0()ma a e a e--+≤>-恒成立, 若存在实数a ,使得11ln0ma a e--+≤-成立,则11lnma a e ≥-+-,∴1ln()()a e m a e a a-≥-->, 令1ln()()a e F a a a-=--, 则222ln()1()ln()()()aa e a e a e ea e F a a a a a e ------'=-=-.∴当2a e <时,()0F a '<,当2a e >时,()0F a '>,则min 1()(2)F a F e e==-.∴1m e ≥-.则实数m 的取值范围是[)1,e-+∞.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.平面内不共线的三点O ,A ,B ,满足||1OA =,||2OB =,点C 为线段AB 的中点,若3||2OC =∠=AOB . 【答案】120︒或23π 【解析】∵点C 为线段AB 的中点,∴1()2OC OA OB =+, 22211(2)(14212cos )44OC OA OB O AO A OB B =++⋅=++⨯⨯⨯∠,解得1cos 2AOB ∠=-, ∴120AOB ∠=︒.14.已知数列{}n a 中,11a =,且1230+++=n n a a ,n ∈*N ,数列{}n a 的前n 项和为n S ,则6S = . 【答案】48-【解析】因为123+=--n n a a ,所以112(1)++=-+n n a a ,因为1120a +=≠,所以数列{1}n a +是以2为首项,以2-为公比的等比数列,所以112(2)-+=⨯-n n a ,即12(21)--=⨯-n n a ,2(1(2))3n n S n =---,所以662(12)6483S =--=-.15.已知直线l 经过抛物线2:4=x C y 的焦点F ,与抛物线交于,A B ,且8+=A B x x ,点D 是弧AOB(O 为原点)上一动点,以D 为圆心的圆与直线l 相切,当圆D 的面积最大时,圆D 的标准方程为 .【答案】22(4)(4)5-+-=x y【解析】24-+===-A B A BAB A B y y x x k x x ,(0,1)F ,:21=+AB l y x ,点D 到直线l 距离最大时,圆D 的面积最大, 令22'==xy ,解得4=x ,即(4,4)D 到直线l距离最大,此时=d 所以所求圆的标准方程为22(4)(4)5-+-=x y .16.已知正三棱柱111-ABC A B C 的侧面积为12,当其外接球的表面积取最小值时,异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值等于 .【答案】514【解析】设正三棱柱的底面边长为a ,高为h ,球的半径为R ,由题意知312=ah ,即4=ah ,底面外接圆半径2sin3π==a r 由球的截面圆性质知2224=+≥=h R r当且仅当2=a h 时取等号,将三棱柱补成一四棱柱,如图,知11AC DB ∥,即1∠DB C 为异面直线1AC 与1B C 所成角或补角,11==B C DB=DC ,所以2221222()35cos 2()14+-∠==+a h a DB C a h .三、解答题:本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若1tan 2=B ,tan()2-=C A .(1)求A ;(2)当=a ABC △的面积. 【答案】(1)45A =︒;(2)125. 【解析】∵1tan tan()B C A =-,∴sin cos()cos()cos sin()sin cos sin()B C A C A B C A B B C A -=⇒-=-- cos()0C A B ⇒-+=,即cos(1802)0A ︒-=.∴cos20A =,0180A ︒<<︒,290A =︒,则45A =︒. (2)∵1tan 2=B,∴sin B = ∵tan )1tan(4521tan C C C --︒==+,∴tan 3sin C C =-⇒=,由正弦定理4sin 2==a A,可得=b=c所以1112csin 2252===S b A . 18.(12分)如图,正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2,,D E 分别是1,AC CC 的中点. (1)求证:平面AEB ⊥平面1A BD ; (2)求二面角1D BE A --的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)14. 【解析】(1)∵AB BC CA ==,D 是AC 的中点,∴BD AC ⊥, ∵1AA ⊥平面ABC ,∴平面11AAC C ⊥平面ABC ,∴BD ⊥平面11AAC C ,∴BD AE ⊥.又∵在正方形11AAC C 中,D ,E 分别是AC ,1CC 的中点, 易证得:1A AD ACE ≅△△,∴1A DA AEC ∠=∠,∵90AEC CAE ∠+∠=︒,∴190A DA CAE ∠+∠=︒,即1A D AE ⊥. 又1A DBD D =,∴AE ⊥平面1A BD ,AE ⊂平面AEB ,所以平面AEB ⊥平面1A BD .(2)取11AC 中点F ,以DF ,DA ,DB 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,(0,0,0)D ,(1,1,0)E -,B ,1(2,1,0)A ,DB =,(1,1,0)DE =-,1(2,1,BA =,1(1,2,0)EA =,设平面DBE 的一个法向量为(,,)x y z m,则0000DB x y DE ⎧⋅==⎪⇒⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩m m , 令1x =,则(1,1,0)=m ,设平面1BA E 的一个法向量为(,,)a b c =n ,则11020200BA a b a b EA ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩n n , 令1b =,则(2,1,=-n ,设二面角1D BE A --的平面角为θ,观察可知θ为锐角,,1cos ,||||4<>==m n m n m n , 故二面角1D BE A --的余弦值为14. 19.(12分)已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点, 圆222:O x y c +=(122F F c =)与椭圆有且仅有两个交点,点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程;(2)过y 正半轴上一点P 的直线l 与圆O 相切,与椭圆C 交于点A ,B ,若PA AB =,求直线l 的方程.【答案】(1)2212x y +=;(2)22y x =±+. 【解析】(1)依题意,得c b =,所以a ==,所以椭圆C 为222212x y b b +=,将点代入,解得1b =,则a = 所以椭圆的标准方程为2212x y +=. (2)由题意知直线l 的斜率存在,设l 斜率为k ,(0,)P m (1m >),则直线l 方程为y kx m =+,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,直线l 与圆O 1=,即221m k =+,联立直线与椭圆方程,消元得222(12)4220k x kmx m +++-=,00Δk >⇒≠,122412km x x k +=-+,2212222221212m k x x k k -==++, 因为PA AB =,所以212x x =,即1243(12)km x k =-+,221212k x k =+,所以221619(12)m k =+,解得272k =,即,22k m =±=,所求直线方程为22y x =±+. 20.(12分)随着经济的发展,个人收入的提高,自2019年1月1日起,个人所得税起征点和税率的调整,调整如下:纳税人的工资、薪金所得,以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额,依照个人所得税税率表,调整前后的计算方法如下表:某税务部门在某公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入,并制成下面的频数分布表:(1)若某员工2月的工资、薪金等税前收入为7500元时,请计算一下调整后该员工的实际收入比调整前增加了多少?(2)现从收入在[3000,5000)及[5000,7000)的人群中按分层抽样抽取7人,再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员,用x 表示抽到作为宣讲员的收入在[3000,5000)元的人数,y 表示抽到作为宣讲员的收入在[5000,7000)元的人数,设随机变量X x y =-,求X 的分布列与数学期望.【答案】(1)220;(2)见解析.【解析】(1)按调整前起征点应缴纳个税为:15003%250010%295⨯+⨯=元,调整后应纳税:25003%75⨯=元,比较两纳税情况,可知调整后少交个税220元,即个人的实际收入增加了220元.(2)由题意,知[3000,5000)组抽取3人,[5000,7000)组抽取4人,当2x y ==时,0X =,当1,3x y ==或3,1x y ==时,2X =,当0,4x y ==时,4X =,所以X 的所有取值为:0,2,4,22344718(0)35C C P X C ===,133134344716(2)35C C C C P X C +===, 0434471(4)35C C P X C ===, 所求分布列为1816136()024********E X =⨯+⨯+⨯=. 21.(12分)已知函数2()ln 1f x x a x =--,()a ∈R .(1)若函数()f x 有且只有一个零点,求实数a 的取值范围;(2)若函数2()()10x g x e x ex f x =+---≥对[1,)x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围.(e 是自然对数的底数, 2.71828e =)【答案】(1)(,0]{2}-∞;(2)[0,)+∞.【解析】(1)2()ln 1f x x a x =--,22()2a x a f x x x x -'=-=. ①当0a ≤时,()0f x '>恒成立,所以()f x 单调递增,因为(1)0f =,所以()f x 有唯一零点,即0a ≤符合题意;②当0a >时,令()0f x '=,解得x =由表可知,min ()f x f =,函数()f x 在上递减,在)+∞上递增.(i 1=,即2a =时,min ()(1)0f x f ==,所以2a =符合题意;(ii 1<,即02a <<时,(1)0f f <=,因为122()110a a a f ee e ---=+-=>,11a e -<,故存在11(a x e -∈,使得1()(1)0f x f ==,所以02a <<不符题意;(iii 1>,即2a >时,(1)0f f <=, 因为2(1)(1)ln(1)1(2ln(1))f a a a a a a a -=----=---,设11a t -=>,2ln(1)1ln ()a a t t h t ---=--=,则1()10h t t'=->,所以()h t 单调递增,即()(1)0h t h >=,所以(1)0f a ->,所以1a ->,故存在21)x a ∈-,使得2()(1)0f x f ==,所以2a >不符题意; 综上,a 的取值范围为(,0]{2}-∞.(2)()ln x g x a x e ex =+-,则()x a g x e e x '=+-,2()x a g x e x''=-,[1,)x ∈+∞. ①当0a ≥时,()0g x '≥恒成立,所以()g x 单调递增,所以()(1)0g x g ≥=,即0a ≥符合题意; ②当0a <时,()0g x ''>恒成立,所以()g x '单调递增,又因为(1)0g a '=<,(1ln())(ln())0ln()ln()a a e a g e a a e a e a --'-=-=>--, 所以存在0(1,ln())x e a ∈-,使得0()0g x '=,且当0(1,)x x ∈时,()0g x '<,即()g x 在0(1,)x 上单调递减,所以0()(1)0g x g <=,即0a <不符题意.综上,a 的取值范围为[0,)+∞.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程是222813(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩(k 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=.(1)曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程;(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围. 【答案】(1)221(3)169x y y +=≠-,:6l x y -=;(2)22d ≤≤ 【解析】(1)222241:131x k k C y kk ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,平方后得221169x y +=, 又263(3,3]1y k =-+∈-+,C 的普通方程为221(3)169x y y +=≠-.cos()4πρθ+=,即cos sin 6ρθρθ-=, 将cos ,sin x y ρθρθ==代入即可得到:6l x y -=.(2)将曲线C 化成参数方程形式为4cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数),则d ==3tan 4ϕ=,所以22d ≤≤ 23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】 设函数()212f x x x a =-+-,x ∈R .(1)当4a =时,求不等式()9f x >的解集;(2)对任意x ∈R ,恒有()5f x a ≥-,求实数a 的取值范围.【答案】(1)712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或;(2)[3,)+∞. 【答案】(1)当4a =时,145,21()3,2245,2x x f x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩, 所以()9f x >的解集为712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或. (2)()21221(2)1f x x x a x x a a =-+-≥---=-,由()5f x a ≥-恒成立, 有15a a -≥-,当5a ≥时不等式恒成立,当5a <时,由221(5)a a -≥-得35a ≤<,综上,a 的取值范围是[3,)+∞.。

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