期中数学试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列说法正确的是（）A. 类比推理、归纳推理、演绎推理都是合情推理B. 合情推理得到的结论一定是正确的C. 合情推理得到的结论不一定正确D. 归纳推理得到的结论一定是正确的2.下列求导数运算正确的是（）A. （x+）′=1+B. （）′=C. （x2cos x）′=-2x sinxD. （2sin2x）'=2cos2x3.下列结构图中要素之间表示从属关系的是（）A.B.C.D.4.若函数f（x）=sin x-kx存在极值，则实数k的取值范围是（）A. （-1，1）B. [0，1）C. （1，+∞）D. （-∞，-1）5.甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃.甲说：“是丙或丁打碎的.”乙说：“是丁打碎的.”丙说：“我没有打碎玻璃.”丁说：“不是我打碎的.”他们中只有一人说了谎，请问是( )打碎了玻璃.A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.用反证法证明命题：“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线；则正确的序号顺序为（）A. ①②③B. ③①②C. ①③②D. ②③①7.过点（0，1）且与曲线y=在点（3，2）处的切线垂直的直线的方程为（）A. 2x-y+1=0B. 2x+y-1=0C. x+2y-2=0D. x-2y+2=08.已知数列{a n}的前n项和为S n=n2•a n（n≥2），而a1=1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n等于（）A. B. C. D.9.已知函数y=-x3+3x-a在[0，2]上有两个零点，则常数a的取值范围为（）A. 0≤a＜2B. -2≤a≤2C. -2＜a＜2D. 0≤a≤210.若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是（）A. k＜6？B. k＜7？C. k＜8？D. k＜9？11.若函数f（x）=-x2+x+1在区间（，3）上单调递减，则实数a的取值范围为（）A. （，）B. （，+∞）C. [，+∞）D. [2，+∞）12.已知函数f（x）为R上的可导函数，其导函数为f'（x），且满足f（x）+f'（x）＜1恒成立，f（0）=2019，则不等式f（x）＜2018e-x+1的解集为（）A. （0，+∞）B. （-∞，0）C. （e，+∞）D. （-∞，e）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数（1-i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为______．14.观察下列等式：13=1，13+23=9，13+23+33=36，13+23+33+43=100…猜想：13+23+33+43+…+n3=______（n∈N*）．15.执行如图所示的程序框图，则输出的k值为______16.若函数f（x）=f'（1）e x-1-f（0）x+x2，则f'（1）=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设z=a+bi，a，b∈R，b≠0．，且ω=z+是实数，且-1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u=，求证：u为纯虚数．18.某校高三课外兴趣小组为了了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况，从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查，情况如表：打算观看不打算观看女生20b男生c25（1）求出表中数据b，c；（2）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关；（3）在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率．附：P（K2≥k0）0.100.050.0250.010.005K0 2.7063.8415.0246.6357.879K2=，其中n=a+b+c+d.19.某中学组织高二年级开展对某品牌西瓜市场调研活动．两名同学经过了解得知此品牌西瓜，不仅便宜而且口味还不错，并且每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（元/千克）满足关系式：y=+10（x-6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出此品牌西瓜11千克．若此品牌西瓜的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使该商场日销售此品牌西瓜所获得的利润最大．20.己知函数f（x）=e x-x2+a，x∈R，曲线y=f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=bx．（I）求函数f（x）的解析式：（Ⅱ）当x∈R时，求证；f（x）≥-x2+x；（Ⅲ）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．21.一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6温度x/℃212324272932产卵数y/个61120275777经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522．（i）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为，=-；相关指数R2=．22.已知函数，其中a∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若在[1，e]上存在x0，使得f（x0）＜0成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：合情推理包含归纳推理和类推理，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．其得出的结论不一定正确，故选：C．根据演绎推理和合情推理的定义判断即可．本题主要考查推理的含义与作用．所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．演绎推理可以从一般到一般；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．2.【答案】B【解析】解：，，（x2cos x）′=2x cosx-x2sin x，（2sin2x）′=4cos2x．故选：B．根据基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的导数的求导公式对每个选项函数求导即可．本题考查了基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：分析四个答案中的要素之间关系，A、B、D均为逻辑关系，只有C是从属关系．故选C本题考查的知识点是结构图，由于结构图反映的要素之间关系有：从属关系和逻辑关系，我们逐一判断四个答案中结构图中要素之间的关系，即可得到答案．分析要素之间关系要建立在对模块知识熟练掌握的基础之上．4.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=sin x-kx，∴f′（x）=cos x-k，当k≥1时，f′（x）≤0，∴f（x）是定义域上的减函数，无极值；当k≤-1时，f′（x）≥0，∴f（x）是定义域上的增函数，无极值；当-1＜k＜1时，令f′（x）=0，得cos x=k，从而确定x的值，使f（x）在定义域内存在极值；∴实数k的取值范围是（-1，1）．故选：A．求f（x）的导函数，利用导数为0时左右符号不同的规律，求出k的取值范围．本题考查了导数知识的运用与函数的极值问题，也考查了一定的计算能力，是中档题．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了简单的合情推理及阅读理解能力，属简单题．先进行阅读理解，然后逐一分打碎玻璃的人是甲，乙，丙，丁进行检验即可．【解答】解：①若打碎玻璃的人是甲，由已知可得，则说谎的有甲、乙共2人，与已知不符，故错误，②若打碎玻璃的人是乙，由已知可得，则说谎的有甲、乙共2人，与已知不符，故错误，③若打碎玻璃的人是丙，由已知可得，则说谎的有乙、丙共2人，与已知不符，故错误，④若打碎玻璃的人是丁，由已知可得，则说谎的有丁共1人，与已知相符，故正确，故选：D．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，属于中档题．根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，可得结论．【解答】解：用反证法证明命题：“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程：假设直线AC、BD是共面直线，则A，B，C，D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾，故所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线，故选：B．7.【答案】A【解析】解：由y=，得到y′==-，把x=3代入y′得：y′x=3=-，则所求直线方程的斜率为2，又所求直线过（0，1），所求直线额方程为：y-1=2x，即2x-y+1=0．故选：A．根据求导法则求出函数的导函数，然后把x=3代入导函数求出切线方程的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的关系求出所求直线的斜率，由已知点的坐标和求出的斜率写出所求直线的方程即可．此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握两直线垂直时斜率满足的关系，是一道基础题．8.【答案】B【解析】解：（1）∵S n=n2a n，∴a n+1=S n+1-S n=（n+1）2a n+1-n2a n∴a n+1=a n，∴a2==，a3=•=，猜测；a n=，故选：B．利用数列{a n}的前n项和S n=n2a n（n≥2），a1=1，代入即可计算a2，a3，从而可以猜想a n．本题以数列为载体，考查归纳推理，解题的关键是根据条件，求出前几项，并发现其规律．9.【答案】A【解析】解：令f（x）=-x3+3x-a，x∈[0，2]．则f′（x）=-3x2+3=-3（x+1）（x-1），令f′（x）=0，解得x=1．x[0，1） 1（1，2]f′（x）+ 0-f（x）单调递增极大值单调递减由表格可知：当时，函数（）取得极大值即最大值，f（1）=2-a；又f（0）=-a，f（2）=-2-a．∴最小值为-2-a．①当a＜0时，f（1）＞0，f（0）＞0，f（2）≥-2，因此函数f（x）最多有一个零点；②当a≥2时，f（1）＜0，因此函数f（x）无零点；③当0≤a＜2时，f（1）＞0，f（0）≤0，f（2）＜0，因此函数f（x）有两个零点，满足条件．综上可得：只有当0≤a＜2时，函数f（x）有两个零点．故选：A．通过对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属于基础题．根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：第一次循环,S=log23,k=3;第二次循环,S=log23•log34,k=4;第三次循环,S=log23•log34•log45,k=5;第四次循环,S=log23•log34•log45•log56,k=6;第五次循环,S=log23•log34•log45•log56•log67,k=7;第六次循环,S=log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3,k=8;故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k＜8?．故选：C．11.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=-x2+x+1，∴f′（x）=x2-ax+1，若函数f（x）在区间（，3）上递减，故x2-ax+1≤0在（，3）恒成立，即a≥x+在（，3）恒成立，令g（x）=x+，x∈（，3），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：x＜1，∴g（x）在（，1）递减，在（1，3）递增，而g（）=，g（3）=，故a≥故选：C．求出函数f（x）的导数，问题转化为a≥x+在（，3）恒成立，令g（x）=x+，x∈（，3），根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，是中档题．12.【答案】A【解析】解：令g（x）=e x[f（x）-1]，∵f（x）+f'（x）＜1恒成立，则g′（x）=e x[f（x）+f′（x）-1]＜0，即g（x）在R上单调递减，∵f（0）=2019，∴g（0）=2018，由f（x）＜2018e-x+1可得，e x f（x）-e x＜2018即g（x）＜g（0），所以x＞0，即不等式的解集（0，+∞）．故选：A．令g（x）=e x[f（x）-1]，然后结合已知可判断g（x）的单调性，即可求解不等式的解．本题主要考查了利用单调性求解不等式，解题的关键是根据已知进行合理的构造函数．13.【答案】（-∞，-1）【解析】解：∵复数（1-i）（a+i）=a+1+（1-a）i在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得a＜-1．∴实数a的取值范围是（-∞，-1）．故答案为：（-∞，-1）．复数（1-i）（a+i）=a+1+（1-a）i在复平面内对应的点在第二象限，可得，求解即可得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义以及不等式的解法，是基础题．14.【答案】[]2【解析】解：将这些算式进行整理．13=1，13+23=9=32=（1+2）3，13+23+33=36=62=（1+2+3）2，13+23+33+43=100=102=（1+2+3+4）2，由以上规律可得13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2=[]2．故答案为：[]2观察等式右边的数的规律，从中发现右边数是（1+2+3++n）2，从而可求出所求．本题主要考查合情推理能力和等差数列知识，提醒学生从等号右侧数都为平方数入手寻找发现规律，属于基础题．15.【答案】9【解析】解：k=1，S=2，继续循环；S=-3，k=3，继续循环；S=-，k=5，继续循环；S=，k=7，继续循环；S=2，k=9，跳出循环；故答案为：9．根据程序框图，一步一步进行运算，直到跳出循环．本题考查程序框图，属于基础题．16.【答案】2e【解析】解：f'（x）=f'（1）e x-1-f（0）+2x，则f'（1）=f'（1）-f（0）+2，∴f（0）=2；故f（x）=f'（1）e x-1-2x+x2，则有f（0）=f'（1）e-1，解得：f'（1）=2e，故答案为：2e．求导，当x=1时，求得f（0）=2，f（x）=f'（1）e x-1-2x+x2，当x=1时，即可求得f'（1）．本题考查导数的运算，考查导数的求导法则，考查计算能力，属于基础题．17.【答案】解：（1）∵z=a+bi，a，b∈R，b≠0．∴，∵ω是实数，b≠0，∴a2+b2=1即|z|=1，∵ω=2a，-1＜ω＜2∴z的实部的取值范围是；…（5分）（2）证明：，∵，∴u为纯虚数．…（10分）【解析】（1）利用复数的除法以及加法运算法则化简复数为a+bi的形式，然后求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）化简u=，然后判断复数的实部为0，虚部是非零实数，即可证明u为纯虚数．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模以及复数的基本概念的应用，考查计算能力．18.【答案】解：（1）根据分层抽样方法抽得女生为125×=50（人），男生为125-50=75（人），所以b=50-20=30（人），c=75-25=50（人）；（2）因为观测值k=≈8.66＞6.635，所以有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关．（3）设5名男生分别为A、B、C、D、E，2名女生分别为a、b，由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访，相当于从7人中挑选2人不接受采访，其中一男一女，所有可能的结果有：{A，B}{A，C}{A，D}{A，E}{A，a}{A，b}{B，C}{B，D}{B，E}{B，a}{B，b} {C，D}{C，E}{C，a}{C，b}{D，E}{D，a}{D，b}{E，a}{E，b}{a，b}，共21种；其中恰为一男一女的包括：{A，a}{A，b}{B，a}{B，b}{C，a}{C，b}{D，a}{D，b}{E，a}{E，b}，共10种．因此所求的概率值为．【解析】（1）根据分层抽样方法求得抽取人数，计算b、c的值；（2）计算K2的观测值，对照数表得出结论；（3）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值.本题考查了抽样方法与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．19.【答案】解：由题意可知，当x=5时，y=11，即，解得a=2，∴，设该商场每日销售此品牌西瓜所获得的利润为L（x），则L（x）==10x3-150x2+720x-1078（3＜x＜6），则L'（x）=30x2-300x+720，∴当3＜x＜4时，L'（x）＞0，L（x）为增函数；当4＜x＜6时，L'（x）＜0，L（x）为减函数，故x=4是函数L（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点，即x=4时函数L（x）取得最大值42，∴当销售价格为4元/千克时，该商场每日销售此品牌西瓜所获得的利润最大．【解析】先利用已知条件求出a的值，得到y关于x的解析式，再得到利润函数L（x），利用导数得到x=4是函数L（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点，从而求出利润的最大值．本题主要考查了函数的实际应用，以及利用导数研究函数的最值，是中档题．20.【答案】（Ⅰ）f（x）=e x-x2+a，f'（x）=e x-2x．由已知f（0）=1+a，f′（0）=1，由在点x=0处的切线方程y=bx，可得1+a=0，b=1，解得a=-1，b=1，∴f（x）=e x-x2-1．（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x2-x=e x-x-1，φ'（x）=e x-1，由φ'（x）=0，得x=0，当x∈（-∞，0）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增．∴φ（x）min=φ（0）=0，从而f（x）≥-x2+x．（Ⅲ）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立即为＞k对任意的x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=，x＞0，∴g′（x）=．由y=e x-x-1的导数为e x-1，当x＞0时，函数递增，当x＜0时，函数递减，可得x=1取得最小值0，可知当x∈（0，+∞）时，e x-x-1＞0恒成立，令g'（x）＞0，得x＞1；g'（x）＜0，得0＜x＜1．∴g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．g（x）min=g（1）=e-2．∴k＜g（x）min=g（1）=e-2，∴实数k的取值范围为（-∞，e-2）．【解析】（Ⅰ）利用图象在点x=0处的切线为y=bx，求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）令φ（x）=f（x）+x2-x=e x-x-1，确定函数的单调性，可得φ（x）min=φ（0）=0，即可证明：f（x）≥-x2+x；（Ⅲ）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立等价为＞k对任意的x∈（0，+∞）恒成立，k＜g（x）min=g（1）=e-2，即可求实数k的取值范围．本题主要考查了利用导数求某点处的切线和函数的单调区间、极值和最值问题，考查了函数的单调性，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）依题意，n=6，，≈33-6.6×26=-138.6，∴y关于x的线性回归方程为=6.6x-138.6；（Ⅱ）（i）利用所给数据，，得，线性回归方程=6.6x-138.6的相关指数R2=．∵0.9398＜0.9522，因此，回归方程=0.06e0.2303x比线性回归方程=6.6x-138.6拟合效果更好；（ii）由（i）得温度x=35℃时，=0.06=0.06×e8.0605，又∵e8.0605≈3167，∴≈0.06×3167≈190（个），所以当温度x=35℃时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个.【解析】本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了相关指数的应用问题，是中档题．（Ⅰ）求出n的值，根据最小二乘法计算相关系数，求出回归方程即可；（Ⅱ）（i）根据相关指数的大小，即可比较模型拟合效果的优劣；（ii）代入求值计算即可．22.【答案】解：（Ⅰ）当a≥0时，在x∈（0，+∞）上f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；①当a＜0时，在x∈（0，-a）上f'（x）＜0；在x∈（-a，+∞）上f'（x）＞0；所以f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．综上所述，当a≥0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＜0时，f（x）的单调递减区间为（0，-a），单调递增区间为（-a，+∞）．（Ⅱ）若在[1，e]上存在x0，使得f（x0）＜0成立，则f（x）在[1，e]上的最小值小于0．①当-a≤1，即a≥-1时，由（1）可知f（x）在[1，e]上单调递增，f（x）在[1，e]上的最小值为f（1），由f（1）=1-a＜0，可得a＞1，②当-a≥e，即a≤-e时，由（1）可知f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）在[1，e]上的最小值为f（e），由，可得③当1＜-a＜e，即-e＜a＜-1时，由（1）可知f（x）在（1，-a）上单调递减，在（-a，e）上单调递增，f（x）在[1，e]上的最小值为f（-a）=（a+1）ln（-a）-a+1，因为0＜ln（-a）＜1，所以（a+1）＜（a+1）ln（-a）＜0，即（a+1）ln（-a）-a+1＞2，即f（-a）＞2，不满足题意，舍去．综上所述，实数a的取值范围为．【解析】（Ⅰ）先求出函数的单调区间，通过讨论a的范围，确定函数的单调性；（Ⅱ）通过讨论a的范围，得到f（x）在[1，e]的单调性，求出[1，e]的最小值即可求出a的范围．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．。