2022-2023学年度上学期期末考试高二数学试卷(文科)第Ⅰ卷(选择题,满分60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设a ∈R ,则“1a >”是“21a >”的( ). A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件D .既非充分也非必要条件2.直线1:30l x ay ++=和直线()2:230l a x y a -++=互相平行,则a 的值为( ). A .1-或3B .3-或1C .1-D .3-3、设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ). A .若m α∥,n α∥,则m n ∥B .若αβ∥,m α⊂,n β⊂,则m n ∥C .若m αβ⋂=,n α⊂,n m ⊥,则n β⊥D .若m α⊥,m n ∥,n β⊂,则αβ⊥4.已知圆的方程为2260x y x +-=,则过点()1,2的该圆的所有弦中,最短弦长为( ).A .12B .1C .2D .45.函数()1sin f x x =+,其导函数为()f x ',则π3f ⎛⎫'=⎪⎝⎭( ). A .12B .12-C .32 D 36.已知抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为3,则点M 到x 轴的距离为( ). A .12B .1C .2D .47.已知命题:p x ∀∈R ,210ax ax ++>;命题:q x ∃∈R ,20x x a -+=.若p q ∧是真命题,则a 的取值范围是( ).A .(),4-∞B .[]0,4C .10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D .10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减,则实数a 的取值范围是( ). A .12a <≤B .4a ≥C .2a ≤D .03a <≤9.已知长方体1111ABCD A B C D -中,4AB BC ==,12CC =,则直线1BC 和平面1DBBD 所成角的正弦值等于( ). A .32B .52C .105D .101010.已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直,且5AB =,7BC =,2AC =.则此三棱锥的外接球的体积为( ). A .8π3B .82π3C .16π3D .32π311.已知函数()21,12,1ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增,则实数a 的取值范围是( ). A .[]0,1B .(]0,1C .[]1,1-D .(]1,1-12.已知1F ,2F 是椭圆与双曲线的公共焦点,P 是它们一个公共点,且12PF PF >,线段1PF 的垂直平分线过2F ,若椭圆的离心率为1e ,双曲线的离心率为2e ,则2122e e +的最小值为( ). A .6B .3C .6D .3第Ⅱ卷(非选择题,满分90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡相应的位置上) 13.曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为__________. 14.当直线()24y k x =-+和曲线24y x =-有公点时,实数k 的取值范围是__________. 15.点P 是椭圆221169x y +=上一点,1F ,2F 分别是椭圆的左,右焦点,若1212PF PF ⋅=.则12F PF ∠的大小为__________.16.若方程22112x y m m+=+-所表示曲线为C ,则有以下几个命题: ①当()1,2m ∈-时,曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆; ②当()2,m ∈+∞时,曲线C 表示双曲线; ③当12m =时,曲线C 表示圆; ④存在m ∈R ,使得曲线C 为等轴双曲线. 以上命题中正确的命题的序号是__________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题10分)已知2:280p x x --+≥,()22:2100q x x m m -+=≤>.(1)若p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围.(2)若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件,求实数m 的取值范围. 18.(本小题12分)求下列函数的导数:(1)sin xy e x =; (2)2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭; (3)(3)sin cos 22x xy x =-. 19.(本小题12分)如图,四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,12AB BC AD ==,90BAD ABC ∠=∠=︒.(1)证明:直线BC ∥平面PAD ;(2)若PCD △的面积为7P ABCD -的体积. 20.(本小题12分)已知抛物线()21:20C y px p =>过点()1,1A . (1)求抛物线C 的方程;(2)过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ,N 两个不同的点(均与点A 不重合),设直线AM ,AN 的斜率分别为12k k ,求证:12k k 为定值. 21.(本小题12分)已知若函数()34f x ax bx =-+,当2x =时,函数()f x 有极值43-. (1)求函数解析式; (2)求函数的极值;(3)若关于x 的方程()f x k =有三个零点,求实数k 的取值范围. 22.(本小题12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>3. (1)求椭圆C 的离心率;(2)点33,M ⎭在椭圆C 上,不过原点O 与直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,与直线OM 相交于点N ,且N 是线段AB 的中点,求OAB △的最大值.四平市第一高级中学2019-2020学年度上学期期末考试高二数学试卷(文科)参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDCACDACBCC13.10x y -+= 14.3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15.π316.②③ 三、解答题17.解:(1)因为2:280p x x --+≥,()22:2100q x x m m -+-≤>.故:42p x -≤≤,:11q m x m -≤≤+.若p 是q 的充分条件,则[][]4,21,1m m --⊆-+, 故4121mm-≥-⎧⎨≤+⎩,解得5m ≥.(2)若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件,即q 是p 的充分条件,则[][]1,14,2m m -+⊆-,即14120m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩,解得01m <≤.即实数m 的取值范围为(]0,1.18.解:(1)()()sin sin sin cos xxxx y ex e x ex e x '''=+=+.(2)因为3211y x x =++,所以2323y x x '=-. (3)因为1sin 2y x x =-,所以11cos 2y x '=-. 19.解:(1)四棱锥P ABCD -中,因为90BAD ABC ∠=∠=︒,所以BC AD ∥. 因为AD ⊂平面PAD ,BC ⊄平面PAD , 所以直线BC ∥平面PAD . (2)由12AB BC AD ==,90BAD ABC ∠=∠=︒. 设2AD x =,则AB BC x ==,2CD x =.设O 是AD 的中点,连接PO ,OC . 设CD 的中点为E ,连接OE ,则22OE x =.由侧面PAD 为等边三角形,则3PO x =,且PO AD ⊥.平面PAD ⊥底面ABCD ,平面PAD ⋂底面ABCD ,且PO ⊂平面PAD . 故PO ⊥底面ABCD .又OE ⊂底面ABCD ,故PO OE ⊥,则2272x PE PO OE =+=, 又由题意可知PC PD =,故PE CD ⊥.PCD △面积为271272PE CD ⋅=,即:1722722x x =, 解得2x =,则3PO = 则()()111124223433232P ABCD V BC AD AB PO -=⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=. 20.解:(1)由题意抛物线22y px =过点()1,1A ,所以12p =. 所以抛物线的方程为2y x =.(2)设过点()3,1P -的直线l 的方程为()31x m y -=+, 即3x my m =++,代入2y x =得230y my m ---=,设()11,M x y ,()22,N x y ,则12y y m +=,123y y m =-, 所以()()1212122212121211111111111y y y y k k x x y y y y ----⋅=⋅=⋅=----++ ()()12121111312y y y y m m ===-++++--+.所以12k k ⋅为定值.21.解:(1)()23f x ax b '=-.由题意知()()2120428243f a b f a b '=-=⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩,解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 所以所求的解析式为()31443f x x x =-+. (2)由(1)可得()()()2422f x x x x '=-=+-. 令()0f x '=得2x =或2x =-.当x 变化时,()f x ',()f x 随x 的变化情况如下表:x(),2-∞-2-()2,2-2 ()2,+∞()f x ' + 0 - 0 + ()f x↑极大值↓极小值↑所以当2x =-时,函数()f x 有极大值()23f -=; 当2x =时,函数()f x 有极小值()423f =-. (3)由(2)知,可得当2x <-或2x >时,函数()f x 为增函数; 当22x -<<时,函数()f x 为减函数. 所以函数()31443f x x x =-+的图象大致如图,由图可知当42833k -<<时,()f x 与y k =有三个交点,所以实数k 的取值范围为428,33⎛⎫-⎪⎝⎭. 22.解:(1)由题意,得3a c -=,则()2213a cb -=. 结合222b ac =-,得()()22213a c a c -=-,即22230c ac a -+=. 亦即22310e e -+=,结合01e <<,解得12e =. 所以椭圆C 的离心率为12. (2)由(1)得2a c =,则223b c =.将33,2M ⎭代入椭圆方程2222143x y c c +=,解得1c =. 所以椭圆方程为22143x y +=. 易得直线OM 的方程为12y x =. 当直线l 的斜率不存在时,AB 的中点不在直线12y x =上, 故直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠,与22143x y +=联立, 消y 得()2223484120k x kmx m +++-=, 所以()()()2222226443441248340k m k mk m ∆=-+-=+->.设()11,A x y ,()22,B x y ,则122834kmx x k +=-+,212241234m x x k -=+.由()121226234m y y k x x m k +=++=+,得AB 的中点2243,3434km m N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 因为N 在直线12y x =上,所以224323434km m k k -=⨯++,解得32k =. 所以()248120m ∆=->,得1212m -<<,且0m ≠.则()222212121313412394122236m AB x x x x m m -=+-=-=-又原点O 到直线l 的距离213m d =所以()2222221393312121232666213AOBm m m S m m m -+=-=-⋅=△. 当且仅当2212m m -=,即6m =时等号成立,符合1212m -<<0m ≠.所以AOB △3。