2021-2022学年四川省南充市高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线x−√3y+3=0的倾斜角是()A. π6B. 5π6C. π3D. 2π32.采用简单随机抽样的方法，从含有6个个体的总体中抽取1个容量为3的样本，某个个体被抽到的极率是()A. 16B. 15C. 13D. 123.不等式x+4y<4表示的区域在直线x+4y−4=0的()A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.已知直线l：y=kx+b，则“b>0”是“直线l过第一、二象限”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要5.已知命题p：∃x0∈(0,+∞)，3x0>x03，则￢p是()A. ∃x0∈(−∞,0],3x0≤x03B. ∃x0∈(−∞,0],3x0>x03C. ∀x∈(0,+∞)，3x>x3D. ∀x∈(0,+∞)，3x≤x36.已知圆C：x2+y2−2x+4y=0关于直线3x−2ay−11=0对称，则实数a的值为()A. −2B. 2C. 3D. 47.青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图2中12名青少年的视力测量值a i(i=1,2,3,⋯,12)(五分记录法)的茎叶图(图1)，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是()A. 4B. 5C. 6D. 78.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A. 至多有一次中靶B. 两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都不中靶9.已知实数x，y满足条件{x−y≥0x+y−3≤0x≥1，则yx+1的最大值为()A. 12B. 35C. 1D. 210.已知点P(m,n)在圆O：x2+y2=1内部，则直线mx+ny=1与圆O的公共点有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 1或2个11.设f(x,y)=√x2+y2+√(x+2)2+y2+√(2−x)2+(y+3)2+√x2+(y+4)2，其中−2≤x≤2，−4≤y≤0.则f(x,y)的最小值为()A. 8B. 9C. 6+√13D. 4+3√512.已知圆O：x2+y2=2，A，B为圆O上两个动点，且|AB|=2，M为弦AB的中点，C(√5,a−1)，D(√5,a+3).当A，B在圆O上运动时，始终有∠CMD为锐角，则实数a的取值范围是()A. (−∞,−3)∪(1,+∞)B. (−∞,−2)∪(0,+∞)C. (−3,1)D. (−2,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率为12，乙获胜的概率为14，则乙不输的概率为______．14. 将某班的60名学生编号为01，02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的第一个号码为03，则抽得的最大号码是______．15. 已知直线x −√3y +3=0与直线2x −ay +2=0平行，则这两直线之间的距离为______．16. 过定点M 的直线ax +y −1=0与过定点N 的直线x −ay +3a −2=0交于点P ，则|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知命题p ：∀x ∈[−1,3]，都有m ≥x 成立；命题q ：∃x 0∈[−1,3]，使m ≥x 0成立．若(￢p)∧q 为真命题，求实数m 的取值范围．18. 某省电视台为了了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东、西部各5个城市，得到观看节目的人数的统计数据(单位：千人)，并画出如图的茎叶图，其中西部人数一个数字被污损，用m 表示(m ∈N)．(Ⅰ)若东部各城市观看该节目的观众的中位数不超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数，求m 的值；(Ⅱ)该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习积累的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众周均学习成语知识的时间y(单位：小时)与年龄x(单位： 岁)，并制作了如下对照表：根据表中数据，用最小二乘法原理求出周均学习成语知识的时间y 与年龄x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂，并预测年龄为60岁的观众周均学习成语知识的时间． 附：参考公式：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．19. 已知△ABC 中，顶点A(0,6)，B(12,2)，∠ACB 的平分线所在直线的方程为x −y =0． (Ⅰ)求BC 边所在的直线方程； (Ⅱ)求△ABC 的内切圆方程．20. 某校在2021年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，并将成绩共分成五组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到的频率分布直方图如图所示．且同时规定成绩小于85分的学生为“良好”，成绩在85分及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入复试． (Ⅰ)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；(Ⅱ)如果第三、四、五组的人数成等差数列，求m 、n 的值；(Ⅲ)如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人发言，那么这两人中至少有一人是“优秀”的概率是多少？21.已知圆Q：(x−5)2+y2=1和点M(10,0)．(Ⅰ)点A在圆Q上运动，且A为线段MN的中点，求点N的轨迹曲线T的方程；(Ⅱ)设E为(Ⅰ)中曲线T上任意一点，过点E向圆Q引一条切线，切点为F.试探究：x轴上是否存在定点G(异于点Q)，使得|EF|2+1|EG|2为定值？若存在，请求出定点G的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．22.已知x，y满足0≤x≤2，0≤y≤3．(Ⅰ)若x，y∈N，求x+y<2的概率；(Ⅱ)若x，y∈R，求x+y<2的概率．23.某广告公司接到幸福社区制作疫情防控宣传标牌的任务，要制作文字标牌4个，绘画标牌5个，该公司现有两种规格的原料，甲种规格原料每张3m2，可做文字标牌1个和绘画标牌2个；乙种规格原料每张2m2，可做文字标牌2个和绘画标牌1个.问两种规格的原料各用多少张时，才能使总的用料面积最小？并求最小用料面积．答案和解析1.【答案】A【解析】解：将已知直线化为y=√33x+√3，所以直线的斜率为√33，所以直线的倾斜角为π6，故选：A．将直线方程化为斜截式，求出斜率再求倾斜角．本题考察直线的倾斜角，属基础题，涉及到直线的斜率和倾斜角问题时注意特殊角对应的斜率值，不要混淆．2.【答案】D【解析】解：由题意事件“抽取一个容量为3的样本，某个个体被抽到”包含了C52=10个基本事件，而总的基本事件数是C63=20，∴事件“某个个体被抽到的”概率是：1020=12，故选：D．由题意，此是一个等可能抽样，求出基本事件的总数以及满足条件的事件个数，由公式计算出结果即可选出正确选项．本题考点是等可能事件的概率，考察了基本事件个数求法，组合数公式，本题是概率的基本题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，不等式x+4y<4即x+4y−4<0，表示的区域在直线x+4y−4=0的左下方，故选：B．根据题意，不等式x+4y<4即x+4y−4<0，结合二元一次不等式的几何意义，分析可得答案．本题考查二元一次不等式的性质，涉及线性规划的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：对于直线l：y=kx+b，由于直线l必过点(0,b)，当b>0时，直线l必过第一、二象限；所以“b>0”推出“直线l过第一、二象限”；反之，直线l过第一、二象限，则直线在y轴的截距必大于0，即b>0；所以“直线l过第一、二象限”推出“b>0”；故“b>0”是“直线l过第一、二象限”的充要条件．故选：C．根据充分必要条件得定义和直线在直角坐标系中的位置与k，b的关系判断即可．本题考查了充分必要条件的定义，还考查了直线方程及几何意义，属于基础题5.【答案】D【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x∈(0,+∞)，3x≤x3，故选：D．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：由题意可得直线过圆的圆心(1,−2)，即3−2a×(−2)−11=0，解得a=2．故选：B．由题意可知直线过圆心，据此可得实数a的值．本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由程序框图可知， 该程序实现了统计a i ≤4.3的个数， 由茎叶图知，a i ≤4.3共有5个， 故选：B ．该程序实现了统计a i ≤4.3的个数，结合茎叶图得到答案． 本题综合考查了茎叶图与程序框图，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：“至多有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故A 错误； “两次都中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故B 错误； “只有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故C 错误； “两次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同时发生，故D 正确． 故选：D ．利用互斥事件的概念求解．本题考查互斥事件的判断，是基础题，解题时要熟练掌握互斥事件的概念．9.【答案】B【解析】解：实数x ，y 满足条件{x −y ≥0x +y −3≤0x ≥1， 作出可行域如图阴影部分所示， 令z =yx+1，则z 表示可行域中的点Q(x,y)与点P(−1,0)连线的斜率，联立方程组{x +y −3=0x −y =0，解得x =y =32， 所以点A(32,32)，当点Q 在点A 处时，z 取得最大值为3232+1=35．故选：B．的几何意义，由图象分析求解即可．先利用不等式组作出可行域，然后利用yx+1本题考查了简单的线性规划问题，两条直线交点坐标的求解，两点间斜率公式的理解与应用，解题的关键是正确作出可行域，考查了逻辑推理能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：因为点P(m,n)在圆O：x2+y2=1内部，所以m2+n2<1，>1，圆O的圆心到直线mx+ny=1的距离d=1√m2+n2所以圆与直线相离，没有公共点．故选：A．圆心到直线的距离与圆的半径比较大小即可．本题主要考查直线与圆的位置关系，直线与圆公共点个数的确定等知识，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：∵−2≤x≤2，−4≤y≤0，∴P(x,y)在由直线x=±2与y=−4、y=0围成的矩形区域内(含边界)，如图，则二元函数设f(x,y)=√x2+y2+√(x+2)2+y2+√(2−x)2+(y+3)2+√x2+(y+4)2表示动点P到定点O(0,0)，A(−2,0)，C(2,−3)，B(0,−4)的距离的和，在平形四边形ABCO边界及内部任取点P，连接PO，PA，PB，PC，于是有|PO|+|PB|≥|OB|，当且仅当点P在线段OB上取等号；①|PA|+|PC|≥|AC|，当且仅当点P在线段AC上取等号，②于是f(x,y)=|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥|OB|+|AC|=4+√[2−(−2)]2+(−3−0)2=4+5=9，当且仅当点P是线段OB与AC的交点时取等号，故选：B．先将问题转化为动点P到定点O(0,0)，A(−2,0)，C(2,−3)，B(0,−4)的距离的和，再利用数形结合思想求解即可．本题考查函数的最值及其几何意义，着重考查两点的距离公式及三角不等式的运用，考查转化化归思想和数形结合思想，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：连接OM，则|OM|=√2−1=1，所以点M在以O为圆心，1为半径的圆上，设CD的中点为N，则N(√5,a+1)，且|CD|=4，因为当A，B在圆O上运动时，始终有∠CMD为锐角，所以以O为圆心，1为半径的圆与以N为圆心，2为半径的圆相离，故√5+(a+1)2>1+2，解得a<−3或a>1，即a∈(−∞,−3)⋃(1,+∞)，故选：A．先确定点M是在以O为圆心，1为半径的圆上，根据当A，B在圆O上运动时，始终有∠CMD 为锐角，可知点M应在以CD的中点N为圆心，2为半径的圆外，由此可列出关于参数a的不等式，即可求得答案．本题主要考查直线与圆的位置关系，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．13.【答案】34【解析】解：由已知可得甲，乙获胜事件为相互独立事件，则乙不输表示的事件为乙胜和两人和棋，则所求事件的概率为P=12+14=34，故答案为：34．利用相互独立事件的概率计算公式即可求解．本题考查了相互独立事件的概率计算公式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．14.【答案】51【解析】解：根据系统抽样方法知，抽样间隔为60÷5=12，因为抽得的第一个号码为03，所以抽得的最大号码是3+12×4=51．故答案为：51．求出抽样间隔，根据抽得的第一个号码数求出抽得的最大号码是什么．本题考查了系统抽样的应用问题，是基础题．15.【答案】1【解析】解：因为直线x−√3y+3=0与直线2x−ay+2=0平行，所以1×(−a)−(−√3)×2=0，解得a=2√3，所以直线2x−ay+2=0，即为2x−2√3y+2=0，即x−√3y+1=0，所以这两直线之间的距离为√1+3=1．故答案为：1．由平行关系求出a的值，再利用两条平行直线间的距离公式求解即可．本题主要考查两平行直线间的关系，以及两条平行直线间的距离，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】4【解析】解：由题意可知，动直线ax +y −1=0经过定点M(0,1)， 动直线x −ay +3a −2=0即x −2+(−y +3)a =0，经过点定点N(2,3)，∵过定点M 的直线ax +y −1=0与过定点N 的直线x −ay +3a −2=0始终垂直，P 又是两条直线的交点， ∴有PM ⊥PN ，∴|PM|2+|PN|2=|MN|2=4+4=8． 故|PM|⋅|PN|≤|PM|2+|PN|22=4(当且仅当|PM|=|PN|=2时取“=”)，|PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为4． 故答案为：4．由题意可得M(0,1)，N(2,3)，且两直线始终垂直，可得|PM|2+|PN|2=|MN|2=2.由基本不等式可得|PM|⋅|PN|≤|PM|2+|PN|22，验证等号成立即可．本题考查直线过定点问题，平面向量的数量积的最值，涉及基本不等式求最值，属中档题．17.【答案】解：命题p ：∀x ∈[−1,3]，都有m ≥x 成立为真命题，则m ≥x max ，即m ≥3，命题q ：∃x 0∈[−1,3]，使m ≥x 0成立为真命题， 则m ≥(x 0)min ，即m ≥−1， 由(¬p)∧q 为真命题知p 假q 真， 故{m <3m ≥−1， 即m 的取值范围是[−1,3)．【解析】结合复合命题真假关系进行转化求解即可本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键，属于基础题．18.【答案】解：(I)东部各城市观看该节目的观众的中位数为90，西部各城市观看该节目的观众的平均人数为90+15(−7−7−3+m +9)=90+15(m −8)由题意可得90≤90+15(m −8)⇒m ≥8，m ∈N ，0≤m ≤9，∴m =8或9； (II)由表中数据得∑x i4i=1y i =525,∑x i24i=1=5400,x −=35,y −=3.5∴b ̂=∑x i 4i=1y i −4xy−∑x i 24i=1−4x−2=525−4×35×3.55400−4×35×35=0.07，a ̂=y −−b ̂x −=1.05故线性回归方程为y ̂=0.07x +1.05可预测年龄为60岁的观众周均学习成语知识时间y ̂=0.07×60+1.05=5.25小时．【解析】(Ⅰ)根据茎叶图求出东部各城市观看节目的观众的中位数和西部各城市观看该节目的观众的平均人数，列出不等式求解m ；(Ⅱ)根据表中数据进行计算，求得回归方程，将x =60代入可得结果． 本题考查了茎叶图中的数字特征，线性回归方程，属于基础题．19.【答案】解：(I)根据题意，∠ACB 的平分线所在直线的方程为x −y =0，即点A(0,6)关于∠ACB 的平分线所在直线的对称点A′在BC 边所在的直线上设A′(m,n)，则{m2−n+62=0n−6m ⋅1=−1⇒{m =6n =0，故A ′(6,0)，则k BC =k BA′=13，故BC 边所在的直线方程为y =13(x −6)，即x −3y −6=0 (Ⅱ)由△ABC 的内切圆圆心在∠ACB 的平分线x −y =0上， 设为M(a,a)又k AB =−13得AB 边所在的直线方程为y =−13x +6，即x +3y −18=0， 由M(a,a)到BC 和AB 边距离相等得√10=√10⇒a =2或a =12(舍)，故圆心为M(2,2)，此时圆半径r =√10，所以△ABC 的内切圆方程(x −2)2+(y −2)2=10．【解析】(Ⅰ)设点A(0,6)关于∠ACB 的平分线所在直线的对称点为A′，求出A′的坐标，结合B 的坐标计算可得答案；(Ⅱ)根据题意，设为M(a,a)，求出直线AB 的方程，进而可得内切圆的半径，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程的计算，属于基础题．20.【答案】解：(I)根据样本频率分布直方图估计样本的众数为12(80+85)=82.5；(II)由第三、四、五组的人数成等差数列得(0.02+n)×5×40=2m ×5×40⇒0.02+n =2m ，①“良好”的学生频率为(0.01+0.07)×5=0.4，“优秀”学生频率为1−0.4=0.6； 故(n +0.02+m)×5=0.6，② 由①②可得m =0.04，n =0.06(III)由分层抽样可得“良好”的学生有5×0.4=2人，“优秀”的学生有3人， 将三名优秀学生分别记为A ，B ，C ，两名良好的学生分别记为a ，b ，则这5人中选2人的基本事件有：AB ，AC ，BC ，Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10种，其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：AB ，AC ，BC ，Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb 共9种所以至少有一人是“优秀”的概率是P =910【解析】(Ⅰ)根据图像和众数的定义即可求解；(Ⅱ)根据等差数列的定义和优秀学生的人数，就可求出结果； (Ⅲ)运用列举法就可求出概率．本题考查频率分布直方图的性质，是一个概率与统计的综合题目，属于中档题．21.【答案】解：(I)设A(x 0,y 0)，N(x,y)，则{x 0=x+102y 0=y2， 由点A 在圆Q 上运动，有(x 0−5)2+y 02=1，∴(x 2)2+(y2)2=1⇒x 2+y 2=4即为点N 的轨迹曲线T 的方程． (II)设E(x,y)为曲线T ：x 2+y 2=4上任意一点，假设存在x 轴上定点G(异于点Q)满足条件，设G(t,0)，(t ≠5) 则|EF|2+1|EG|2=|EQ|2|EG|2=(x−5)2+y 2(x−t)2+y 2=x 2+y 2−10x+25x 2+y 2−2tx+t 2=−10x+29−2tx+t 2+4，对x ∈[−2,2]恒为定值，必有−10−2t =29t 2+4⇒5t 2−29t +20=0⇒t =45或t =5(舍)，所以存在x轴上定点G(45,0)使得|EF|2+1|EG|2=|EQ|2|EG|2=254为定值．【解析】(I)设A(x0,y0)，N(x,y)，推出{x0=x+102y0=y2代入圆Q的方程，即可得到点N的轨迹曲线T的方程．(II)设E(x,y)为曲线T：x2+y2=4上任意一点，假设存在x轴上定点G(异于点Q)满足条件，设G(t,0)，(t≠5)，化简|EF|2+1|EG|2表达式，推出t的值，即可得到结果．本题考查轨迹方程的求法，圆的方程的综合应用，恒成立条件的转化，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：(I)设“x，y∈N，x+y<2”为事件A，由x，y∈N，0≤x≤2，0≤y≤3，得x=0，1，2，y=0，1，2，3，则(x,y)包含的基本事件有：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共12个，其中满足事件A的基本事件(x,y)有(0,0)，(0,1)，(1,0)共3个，所以p(A)=312=14.即x，y∈N，x+y<2的概率14．(II)设“x，y∈R，x+y<2”为事件B，因为x，y∈R，0≤x≤2，0≤y≤3，则基本事件(x,y)构成如图长方形OABC区域满足事件B的基本事件(x,y)包括的区域为其中的阴影部分，即△OAD，所以p(B)=S△OADS长方形OABC =12×2×22×3=13，故x，y∈R，x+y<2的概率为13．【解析】(I)根据已知条件，结合列举法，以及古典概型的概率公式，即可求解．(II)根据已知条件，结合结合概型的概率公式，即可求解．本题主要考查几何概型的概型公式，考查列举法，属于基础题．23.【答案】解：设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则{2x +y ≥5x +2y ≥4x ≥0,y ≥0x,y ∈N，所用原料的总面积z =3x +2y ． 由约束条件作出可行域如图，联立{x +2y =42x +y =5，解得x =2，y =1，即A(2,1)，由z =3x +2y ，得y =−32x +z2，由图可知，当直线y =−32x +z2过A 时， z 取得最小值为3×2+2×1=8．故需要甲种原料2张，乙种原料1张，才能使总的用料面积最小，为8m 2．【解析】设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则所用原料的总面积z =3x +2y ，由题意列出关于x ，y 的不等式组，作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．。