两式相加得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…
+(an+a1)=n(a1+an),故 Sn= n(a1 an ) .这是一 2
种重要的思想方法,通常称为倒序相加法)
(2)等差数列的前 n 项和公式的两种形式
Sn= n(a1 an ) =na1+ 1 n(n-1)d,在具体应用时,应
试一试:(1)已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该
数列的前 9 项和 S9 等于( C )
(A)18 (B)27 (C)36 (D)45
(2)已知数列{an}中,a1=-7,an+1=an+2,则 a1+a2+…
+a17=
.
解析:(1)∵a1+a9=a2+a8=8,
∴S9= 9(a1 a9 ) = 9 8 =36.故选 C.
名师导引:有了等差数列的奇数项之和与偶 数项之和的值及最后一项与第一项之差,要 求 a1,d,n 应怎样应用条件求解?(法一:设数 列的项 n=2k(k∈N*),由 S 偶-S 奇=kd 及 an-a1=(2k-1)d 建立方程组求解. 法二:根据等差数列中的奇数项依次仍成等 差数列,偶数项依次仍成等差数列可求解)
2
(3)由已知得
naa11
2n 1 11, n n 1 35,
解得
an1
3, 5
或
an1
1, 7.
等差数列前 n 项和性质的
应用
【例 2】 (12 分)一等差数列共有偶数项,且奇 数项之和与偶数项之和分别为 24 和 30,最后一 项与第一项之差为 10.5,求此数列的首项、公差 以及项数.
∴604.5=
,解得 n=26.
2
nn 1
(2)由已知得
m na1 n ma1 m
2 m 2
d,
1
d,
m n 1
两式相减得 a1+
d=-1.
2
n(n 1)
再由 Sn=na1+
d 可得
2
m nm n 1
Sm+n=(m+n)a1+
d
2
m n 1
=(m+n)(a1+
d)=-(m+n).
等差数列前 n 项和公式
你知道高斯是怎样求和的吗? (1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+… +(50+51)=101×50=5050)
如果等差数列{an}的首项为 a1,公差
为 d,第 n 项为 an,则前 n 项和 Sn= n(a1 an ) , 2
若将前 n 项和用 a1,d,n 表示,可表示成
2
2
(2)由题意得 an+1-an=2,
∴数列{an}是公差为 2 的等差数列, 又 a1=-7,
17 16
∴a1+a2+…+a17=17×(-7)+
×2=153.
2
答案:(1)C (2)153
等差数列的前 n 项和的基本
运算
【例 1】 在等差数列{an}中, (1)d=3,an=20,Sn=65,求 n; (2)已知 a16=3,求 S31.
2 13
得 n=10,n= (舍去).
3
(2)S31= (a1 a31) ·31=a16·31=3×31=93. 2
已知等差数列的五个量 a1、d、an、n、 Sn 的任意三个求其他两个量时,常用的思想方法是 什么?(一般需建立方程(组),在求解过程中通常 用到代入消元法或加减消元法.同时要注意等差 数列的性质和整体代入思想的应用)
名师导引:(1)已知 d、an、Sn,求 n 还需知道什 么量?(需知 a1 的值,代入前 n 项和公式
Sn= n(a1 an ) 求解) 2
(2)由 a16 怎么求 S31?(S31=31a16)
解:(1)d=3,an=20,Sn=65,
由 Sn= n(a1 an ) ,得 2
65= n 20 3 n 1 20 .
2.2 等差数列的前 n 项和 第一课时 等差数列前 n 项
和公式及性质
【课标要求】. 2.理解等差数列前 n 项和公式推导所体现的数 学思想. 3.掌握等差数列前 n 项和公式,会应用公式解 决等差数列问题.
栏
目
课前预习
导 航
课堂探究
【实例】 近代数学奠基者之一,德国数学家、物理学 家、天文学家、大地测量学家高斯,与阿基米德、牛 顿、欧拉并列为历史上最伟大的数学家.人们用天才、 早熟、高产、创造力不衰、数学王子等称赞高斯是“人 类的骄傲”,爱因斯坦也说:“高斯对于近代物理学的 发展,尤其是对于相对论的数学基础所作的贡献,其 重要性是超越一切,无与伦比的.”传说高斯 3 岁便能 纠正他父亲的借债账目问题,10 岁时用很短的时间算 出老师布置的任务:对自然数 1 到 100 求和.
n(n 1) Sn= na1 2 d .
质疑探究:(1)等差数列前 n 项和是用什么方法 得出的? (在推导等差数列前 n 项和时,充分利用等差数 列性质 a1+an=a2+an-1=… =ai+an-i+1(i=1,2,…,n-1)
Sn Sn
a1 an
a2 L an1 L
an a1
解:法一 设此数列首项为 a1,公差为 d,项数为 2k(k∈N*), 由已知得
2
2
采取哪种形式运算比较合理?
(在求等差数列的和时,一般地,若已知首项 a1 及末
项 an,用公式 Sn= n(a1 an ) 较好,若已知首项 a1 2
n n 1
及公差 d,用公式 Sn=na1+
d 较好)
2
(3)如何理解等差数列{an}中五个量
a1,an,n,d,Sn 之间的关系?
(由等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 和
前 n 项和公式
Sn= n(a1 an ) =na1+ 1 n(n-1)d,可以看
2
2
到等差数列中的五个量 a1,an,d,n,Sn,已知
其中的任意三个,可求出剩余的两个)
(4)在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,… 之间有什么关系? (在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成 等差数列,公差为 n2d)
跟踪训练 1-1:(1)已知 a1=14.5,an=32,Sn=604.5, 求 n. (2)已知 Sn=m,Sm=n,其中 m≠n,m,n∈N*,求 Sm+n. (3)已知 an=11,Sn=35,d=2,求 a1,n.
解:(1)已知 a1=14.5,an=32,Sn=604.5,
n(14.5 32)