(2)当m+n=p+q时， am+an=ap+aq
1+2+3+…+98+99+100=？
高斯10岁时曾很快算出 这一结果，如何算的呢？
高斯， (1777— 1855） 德国 著名数学家。
我们先看下面的问题。
怎样才能快速 计算出一堆钢管有 多少根呢？
一 二
4+10=14 5+9=14
三 四
6+8=14 7+7=14
1( 2
？首项 + ？尾项 )
？项数
Sn
n(a1 an) 2
以下证明 {an}是等差数列，Sn是前n项和，则
Sn
n(a1 an) 2
证：
Sn= 即Sn=
aa1+n+aa2n-+1+a3an+-2+…+a+a1…ana+-n21+a++na-32++aan-21++aan11
把+得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
n(n-1)
2
×4 =54
整理得： n 2－6n－27=0
解得： n1=9, n2=－3（舍去）
答： 等差数列－10，－6，－2，2，···前9项的和 是54。
.
例3 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上 每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支. 这个V 形架上共放着多少支铅笔？
多媒体教学课件
数列{an}前项n和的定义:
Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an
叫做数列 an 的前n项和。
等差数列： an+1-an=d（常数）
公 差 ：
d
通项公式： an=a1+(n-1)d 等差中项： 2A=a+b
注意：这里 m,n,p,qN*
重要性质: (1)an=am+(n-m)d
( ((1 S 2 3 ) 5 ) )a a S a 0 1 1 1 15 0 5 1 1 0 3 2 ,1 a ,0 n a 0 , 0 ( n d 5 25 0 9 （ 0 9 5 0 ,2 )5 5 n 2 2 3 0 ,1 ,n 5 )n 1 0 (. ;5 1 0 2 0); ;4 0 2Sn5 SSnnn5 1ann0 （ （ n（ aan211221)aadnn))
+ +++
+++
作 加
反序S100=100+99+98+…+ 3+ 2+ 1 法
// // // //
// \\ \\
2S100=101+101+101+…101+101+101 这就是等
差数列前n
多1少00个个110011 ?
项和的公式！
所以S100=
1 2
(1+100)×100 =5050
？总和
S 14 1 4 [2/3 2 ( 3/2 ) ]3 6.5
(4 n) a 312 0.171 4.5.5 14 ,d 26, 0 S2 .7 6 ,a 2 n 6(3 12 ..5 4 2 3a)n2 6 a1 0 .5 (.n41)d
练习1
(1) 根据下列各题中的条件，求
相应的等差数列｛an｝的Sn： (1)a1=5, an=95,n=20前n项和公式的其它形式
Sn
n（a1an) 2
a na 1(n 1 )dSnn1an（n21)d
a 1a n(n 1 )dSnnnan（ n21)d
返回
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
等差数列的前n项和例题
S 1. 根据下列条件，求相应的等差数列 a n 的 n
解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，
且自下而上各层的铅笔数组成等差数
列，记为 a n
a 1 1 ,a 12 1 0 2 ,n 0 120Sn S12 012(01 212) 072.60
n（a1an) 2
答：V形架上共放着7260支铅笔.
练习2
（1）求等差数列5，4，3， 2，···前多少项的和是－30？
由等差数列的性质：当m+n=p+q时， am+an=ap+aq 知：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为：
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) = n(a1+an)
共多有少个n (个a1(+aa1n+)an?)
因此，
Sn
n(a1 an) 2
Snn1an（n 21)d ana1(n1)d
结论：知 三 求 二
解题思路一般是:建立方程(组)求解
例2：
等差数列－10，－6，－2，2，···前多少项的和是54？
解: 设题中的等差数列为｛an｝，前n项
和是Sn，则a1=－10，d=-6－（-10）=4
令Sn=54，根据等差数列前项和公式，得：
－10n ＋
S10=1000
(2)a1=100, d=－2,n=50;
S50=2550
(2)在等差数列中S10=120，求 a3+a18的值。
由已知得a1+a10=24,故a3+a8=24
想
一 想
在等差数列 {an} 中，如果已知五个 元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?
课堂小结
本堂课主要学习了等差数列前项 和的求和公式及其应用，本堂课的重 点内容是求和公式及推导过程难点是 求和公式的灵活应用。通过本堂课的 学习，我们还应该掌握倒序相加的基 本解题方法，希望大家课后加以固。
课后作业：
1：课本P118习题3.3 1, 2, 3 2: 预习课本P117，例3，例4
a1=5 d=－1 sn=－30
a 即 n
1
＋
n(n-1)d
2
=－30
n=15
（2）某长跑运动员7天里每天的训练量(单位: m)是:
这位长跑运动员7天共跑了多少米? 解:这位长跑运运员每天的训练量成等差数列,记为{an} 其中a1=7500,a7=10500,根据等差数前n项和公式,得
S7=7×(7500+10500)/2=63000
五 8+6=14
六 9+5=14
七 10+4=14
(1)先算出各层的根数， 哇，每层都是14根；
(2)再算出钢管的层数，共7层哩。
所以钢管总根数是：
1(410)749(根) 2
1+2+3+···+100=?
下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法。
设S100=1 + 2 + 3 +…+98+99+100