11 5-1梁的位移
目录
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
挠曲线的近似微分方程： 推导弯曲正应力时，得到：
1 M ρ EI z

忽略剪力对变形的影响
1 M ( x) ( x) EI z
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§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
由数学知识可知：
1


w" (1 w )
目录
EIw" M ( x) F (l x)
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§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, wA 0 x 0, A 0
代入求解
F A
y
C1 0,
C2 0
B
x
l
yB
B
x
5）确定转角方程和挠度方程 Flx Fx 2 EI 2 2 EI 3 Flx Fx w 2 EI 6 EI 6）确定最大转角和最大挠度 Fl 2 x l , max B , 2 EI
w 向下为正
转角θ：截面绕中性轴转过的角度。
顺钟向为正
10 5-1梁的位移
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§5-1 梁的位移——挠度及转角
基本概念： 挠曲线：梁变形后的轴线。
转角 挠曲线

挠曲线方程： x
y f ( x) w f ( x)
x
y
y
挠度
挠度转角关系为： tan w' f ' ( x)—转角方程
3 '2 2
x
y
M
略去高阶小量，得
M 0 w" 0
M M
M
1

所以
"
w
"
x
M ( x) w EI z
y
M 0 " w 0
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§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号相反，所以挠曲线的近似微分方 程为：
M ( x) w EI z
B
x
最大转角和最大挠度分别为：
ql max A B （ ） 24EI 5ql4 wmax w l () x 384EI 2
第 五 章
梁弯曲时的位移
1
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第五章
§5-1 §5-2 §5-3 §5-5 §5-6
梁弯曲时的位移
梁的位移——挠度及转角 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 按叠加原理计算梁的挠度和转角 梁的刚度校核 提高梁刚度的措施 梁内的弯曲应变能
2
目录
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概述 在工程实践中，对某些受弯构件，除要 求具有足够的强度外，还要求变形不能过大， 即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机 器正常工作。
解 1）由梁的整体平衡分析可得： FAx 0, FAy F (), M A Fl (
2）写出x截面的弯矩方程
F
)
A
y
B
x
l
yB
B
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
3）列挠曲线近似微分方程并积分
2 Fx EIw' EI Flx C1 积分一次 2 3 1 Fx 再积分一次 EIw Flx 2 C1 x C2 2 6
"
即： EIw" M ( x)
由上式进行积分，并根据边界条件来确定积分 常数后就可以求出梁横截面的转角和挠度。
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§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
挠曲线的近似微分方程为：
M ( x) w EI z
"
EIw" M ( x)
积分一次得转角方程为：
EIw M ( x)dx C1
'
再积分一次得挠曲线方程为：
EIw [ M ( x)dx]dx C1 x C2
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§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
积分常数C1 、C2 由梁的位移边界条件和位移连 续条件确定。 位移连续条件 位移边界条件：
（全梁只有一个弯矩方程）
~ ~
（弯矩方程须分段写出）
~
A
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
件）确定。
④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
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§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
例1 求梁的转角方程和挠曲线方程，并求最大转角和最大挠 度，梁的EI已知。
由边界条件：
x 0时，w 0 x l时，w 0
得：
ql C1 ,C2 0 24
21
3
目录
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
q (4 x 3 6lx 2 l 3 ) 24 EI
q
x
A qx w ( x 3 2lx 2 l 3 ) 24 EI y
3
θA
l
θB
wmax
Fl 3 wB 3EI
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§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
例2：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在
均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确
定θmax和wmபைடு நூலகம்x。
q
l
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§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
解：
q
ql q 2 x M ( x) x x 2 2 ql q 2 l EI w x x y 2 2 ql 3 q 4 ql 2 q 3 x C1 x C2 EI w x x C1 , EIw x 12 24 4 6
P 2
P 2
P
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目录
8
目录
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充
方程）。
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§5-1 梁的位移——挠度及转角
基本概念：
转角 挠曲线

x
x
y
y
挠度
挠度w：截面形心 在y方向的位移。 由于小变形，截 面形心在x方向的 位移忽略不计。
A
~ ~ ~ ~
~
~
A A AA A
~ ~
~
~
~
wA 0
wA 0
wA
－弹簧变形
wAL wAR
~
wAL wAR
A 0
AL AR
目录
~
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~
A
A A AA
A
A A AA
A
A A A
A AA
~
A
~
A
~
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
积分法求位移的讨论：
3
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摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就
会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
4
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桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走
困难，出现爬坡现象。
5
目录
6
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但在另外一些情况下，有时却要求构件具有
较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。
例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车 辆受到的冲击和振动作用。