a)3
C2 x2
D2
目录
B B x
FBy
§6.3 用积分法求弯曲变形
4）由边界条件确定积分常数
位移边界条件
x1 0, y1(0) 0 x2 l, y2(l) 0 光滑连续条件
x1 x2 a, 1(a) 2 (a)
x1 x2 a, y1(a) y2 (a)
代入求解，得
C1
C2
y M (x) > 0
M (x) > 0
d2y
dx 2 > 0
x
O
y M (x) < 0
M (x) < 0
d2y
dx 2 < 0
x
O
目录
§6.2 挠曲线的微分方程
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶 导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：
d 2 y M (x) dx2 EI z
由上式进行积分，求出梁横截面的转角和挠度。
目录
§6.3 用积分法求弯曲变形
挠曲线的近似微分方程为：
d2y dx2
M(x) EI z
EI z
d2y dx2
M(x)
积分一次得转角方程为：
EI z
dy dx
EI z
M( x)dx C
再积分一次得挠度方程为：
EIz y M( x)dxdx Cx D
7-3
目录
§6.3 用积分法求弯曲变形
材料力学
龚峰 gongfeng@
第6章 弯曲变形
§6.1 工程中的弯曲变形问题 §6.2 挠曲线的微分方程 §6.3 用积分法求弯曲变形 §6.4 用叠加法求弯曲变形 §6.5 简单超静定梁 §6.6 提高弯曲刚度的一些措施
目录
目录
§6.1 工程中的弯曲变形问题
7-1
目录
§6.1 工程中的弯曲变形问题
7-2
目录
§6.2 挠曲线的微分方程
2. 挠曲线的近似微分方程
推导弯曲正应力时，得到：
1M
EIz
忽略剪力对变形的影响
1 M (x)
(x) EIz
目录
§6.2 挠曲线的微分方程
由数学知识可知：
1
d2y dx2 [1 ( dy )2 ]3
dx
略去高阶小量，得
1 d2y
dx2
d2 y M(x) 所以 dx2 EIz
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。
位移边界条件
光滑连续条件
AA
A AA A A AA A A
A AA AA A AAA A
A AAA A
~ ~
~~ ~
~
~ ~ ~ ~
~
~ ~~~ ~ ~ ~~~
yA 0
yA 0
A 0
yA
－弹簧变形
yAL yAR
AL AR
yAL yAR
目录
§6.3 用积分法求弯曲变形
例题6.1：求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
y
F
FAx 0, FAy F(), M A Fl( ) A
2）写出x截面的弯矩方程
x
yB
l
Bx
B
M(x) F(l x) F(x l)
3）列挠曲线近似微分方程并积分
目录
§6.1 工程中的弯曲变形问题
目录
§6.2 挠曲线的微分方程
1. 基本概念
y
x
转角
挠度
y
挠曲线
x
挠曲线方程：
y y(x)
挠度y：截面形心在y 方向的位移
y 向上为正
转角θ：截面绕中性轴转过的角度。
逆时针为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
挠度转角关系为：
tan dy
dx
CB 段： a x2 l
y
F
A
A
DC
F Ay x1
x2
a
ymax b
E I 2
Fb 2l
x22
F 2
( x2
a)2
Fb (l 2 6l
b2 )
B B x
FBy
EIy2
Fb 6l
x23
F 6
( x2
a)3
Fb (l 2 6l
b2 )x2
目录
§6.3 用积分法求弯曲变形
6）确定最大转角和最大挠度
d2y
EI dx2 积分一次
M(x) F(x l)
EI dy EI 1 F(x l)2
C
dx
2
再积分一次 EIy 1 F (x l)3 Cx D
6
目录
§6.3 用积分法求弯曲变形
4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, A 0
x 0, yA 0
y
代入求解 C 1 Fl 2 ,
3l 2 4b2
(a>b)
令 d 0 得，
dx
x
l,max
B
Fab 6EIl
(l
a)(
)
令 dy 0 得， dx
y
F
A
A
DC
F Ay x1
x2
a
ymax b
x
l2 b2 ,
3
Fb (l 2 b2 )3 ymax 9 3EIl ( )
而梁中点 C 处的挠度为：
B B x
FBy
Fb
yC
y1
x1 l 2
48EI
D 1 Fl 3
A
x
yB
2
6
l
5）确定转角方程和挠度方程
EI 1 F ( x l)2 1 Fl 2
2
2
EIy 1 F ( x l)3 1 Fl 2 x 1 Fl 3
6
2
6
6）确定最大转角和最大挠度
x l,
max
B
Fl 2 , 2EI
ymax
yB
Fl 3 3EI
目录
F
Bx
B
§6.3 用积分法求弯曲变形
1 6
Fbl
Fb 3 6l
D1 D2 0
y
F
A
A
DC
F Ay x1
x2
a
ymax b
B B x
FBy
目录
§6.3 用积分法求弯曲变形
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0 x1 a
EI1
Fb 2l
x2 1
Fb 6l
(l 2
b2 )
EIy 1
Fb 6l
x3 1
Fb 6l
(l 2
b2 )x1
x1 ,0
x1
a
Mx2
FAy
x2
ห้องสมุดไป่ตู้
F( x2
a)
Fb l
x2
F( x2
a),
a x2 l
目录
§6.3 用积分法求弯曲变形
3）列挠曲线近似微分方程并积分
AC 段： 0 x1 a
EI
d 2 y1 dx12
M( x1 )
Fb l
x1
EI dy1 dx1
EI ( x1 )
Fb 2l
x2 1
C1
EIy 1
Fb 6l
x3 1
C1 x1
D1
CB 段：
a x2 l
y
F
A
A
DC
F Ay x1
x2
a
ymax b
EI
d 2 y2 dx22
M(x2 )
Fb l
x2
F(x2
a)
EI
dy2 dx2
EI ( x2 )
Fb 2l
x2 2
F 2
( x2
a)2
C2
EIy 2
Fb 6l
x3 2
F 6
( x2
例题6.2：求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知，l=a+b，a>b。
y
F
解 1）由梁整体平衡分析得：
Fb
Fa
FAx 0, FAy l , FBy l
2）弯矩方程
AC 段：
A
A
DC
F Ay x1
x2
a
ymax b
B B x
FBy
M x1 FAy
CB 段：
x1
Fb l